13.7 Parabolen >

Hoofdstukken > Formules en figuren

De figuur hieronder komt uit: Nollet, Leçons de physique experimentale, tome second, Paris, MDCCLIII. Hierin worden onder andere kogelbanen bestudeerd.

Een projectiel wordt in $(0,0)$ afgevuurd met horizontale snelheid $20$ m/s en verticale snelheid $30$ m/s. De zwaartekracht vermindert de verticale snelheid. Die is na $t$ seconden: $30 - 10 t$ m/s. De afgelegde weg na $t$ seconden in verticale richting is: $y = 30 t - 5 t^{2}$ meter. Voor het gemak is de valversnelling $t$ afgerond op $10$ m/s². Als we de luchtweerstand verwaarlozen, is de horizontale snelheid constant $20$ m/s en de afgelegde weg in horizontale richting $x = 20 t$ .

Maak een tabel voor $t$ , $x$ en $y$ , met $t$ tussen $0$ en $6$ .

Teken de baan van het projectiel met behulp van de tabel en controleer deze met de GR.

De baan is een parabool.

Stel een vergelijking (met de variabelen $x$ en $y$ ) op van die parabool.

Bepaal die vergelijking ook door $t$ te elimineren.

Jan woont even ver van zee als van de supermarkt $F$ aan de rand van het nabijgelegen dorp. We veronderstellen dat de kustlijn perfect recht is.

Zoek op het werkblad waar de plekken ongeveer liggen waar Jan kan wonen.

We gaan het probleem van opgave 52 systematisch aanpakken in een assenstelsel. Omdat de afstanden tot een punt en tot een lijn een rol spelen, tekenen we cirkels rond dat punt en lijnen evenwijdig aan die lijn.

$F$ is een punt en $r$ is een lijn. Hieronder zijn getekend de cirkels om $F$ met straal $1$ , $2$ , $3$ , … en de lijnen boven $r$ op afstand $1$ , $2$ , $3$ , … van $r$ . De tekening staat ook op het werkblad.

Kleur op het werkblad met behulp van de cirkels en lijnen punten die even ver van $r$ als van $F$ liggen.

De gekleurde figuur heeft een symmetrieas.

Geef die aan in de tekening.

Hieronder staat de figuur van alle punten die even ver van de $y$ -as als van het punt $F (2,0)$ liggen.

Laat met een berekening zien dat de roosterpunten $A$ , $B$ en $C$ precies op de figuur liggen.

Bereken exact de eerste coördinaat van het punt van de figuur met tweede coördinaat $5$ .

De figuur hieronder staat ook op het werkblad. In elk van de drie gevallen zijn er oneindig veel punten die even ver van $F$ als van $r$ liggen.

Bepaal op het werkblad in elk van de drie gevallen de volgende speciale punten die even ver van $F$ als van $r$ liggen: pal rechts van $F$ , pal links van $F$ en recht onder $F$ .

Schets in elk van de drie gevallen de hele figuur van punten die even ver van $F$ als van $r$ liggen.

Een vergelijking van zo’n figuur

De figuur uit opgave 53 van alle punten die even ver van $r$ als van $F$ liggen noemen we gemakshalve $f$ . We brengen een assenstelsel aan en zoeken een vergelijking van $f$ . Als $y$ -as kiezen we de lijn door $F$ loodrecht op $r$ en als $x$ -as de lijn evenwijdig aan $r$ die even ver van $r$ als van $F$ ligt. Als eenheid kiezen we een kwart van de afstand van $F$ tot $r$ . Zodoende is de oorsprong $O (0,0)$ een punt van $f$ , en heeft $r$ vergelijking $y = ‐ 2$ . De punten $P (x, y)$ van $f$ hebben een positieve tweede coordinaat.

Druk de afstand van $P$ tot $r$ uit in $y$ .

Er geldt: $P$ ligt op $f$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} = y + 2$ .

Leg dat uit.

Schrijf bovenstaande vergelijking zonder haakjes, zonder wortel en zo eenvoudig mogelijk.

We nemen een algemener geval: $F (0, c)$ en $r : y = ‐ c$ , voor een of ander positief getal $c$ . (In de vorige opgave is $c = 2$ .)
We zoeken weer een vergelijking van de figuur gevormd door de punten $P (x, y)$ die even ver van $r$ als van $F$ liggen.

Druk de afstand van $P$ tot $r$ uit in $y$ en $c$ .

Druk de afstand van $P$ tot $F$ uit in $x$ , $y$ en $c$ .

Uit de gelijkheid van de uitdrukkingen in a en b volgt
dat $x^{2} = 4 c y$ .

Reken dat na.

Definitie van een parabool
Gegeven is een punt $F$ en een lijn $r$ waar $F$ niet op ligt.
De punten die even ver van $r$ als van $F$ liggen vormen een figuur die we parabool noemen. $r$ heet richtlijn van de parabool en $F$ brandpunt. De lijn door $F$ loodrecht op $r$ is symmetrieas van de parabool. We noemen die lijn as van de parabool.
De parabool met brandpunt $F (0, c)$ en richtlijn $y = ‐ c$ heeft vergelijking $x^{2} = 4 c y$ .

Ga na dat het laatste ook waar is voor negatieve waarden van $c$ .

Opmerking:

In de derde klas heb je gezien dat de grafiek van elke kwadratische functie te krijgen is door die van $y = a x^{2}$ , voor zekere waarde van $a$ , te verschuiven.
Grafieken van kwadratische functies zijn dus voorbeelden van parabolen (volgens opgave 57c); het bijzondere is dat de grafieken een verticale symmetrieas hebben.

Geef een vergelijking van de richtlijn en de coördinaten van het brandpunt van de parabool met

top $O (0,0)$ die gaat door het punt $P (2,6)$ ;

top $O (0,0)$ die gaat door het punt $Q (2,‐6)$ .

We bekijken een andere figuur uit het boek van Nollet.
Een kogel wordt met horizontale snelheid $v$ m/s weggeschoten. Hoe snel de kogel aan hoogte verliest, hangt af van $v$ . Neem aan dat de kogel na $4$ meter in horizontale richting afgelegd te hebben, ook $4$ meter aan hoogte verliest. We ronden, net als in opgave 51, de valversnelling af op $10$ m/s². Dan is de verticale valweg $‐ 5 t^{2}$ .

Bereken $v$ exact.

Raaklijnen aan parabolen

In de derde klas heb je al raaklijnen aan een parabool bekeken met behulp van een discriminant, in de vierde met differentiëren. Daarvoor heb je een formule van de parabool nodig. In het volgende construeren we (meetkundig) een raaklijn aan een parabool.

Een raaklijn aan een parabool heeft één punt met de parabool gemeen. De andere punten van de raaklijn liggen buiten de parabool.

NB. Een punt ligt binnen een parabool als het aan dezelfde kant ligt als het brandpunt, dus als het dichter bij het brandpunt dan bij de richtlijn ligt.

Punten van een parabool construeren
Gegeven is een punt $F$ en een lijn $r$ .

We vinden punten van de parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $r$ als volgt.

Kies een punt op $r$ . We noemen dat $V$ .
Teken de lijn door $V$ loodrecht op $r$ .
Teken de middelloodlijn van lijnstuk $F V$ .

Het snijpunt $P$ van de twee getekende lijnen ligt even ver van $r$ als van $F$ , dus op de parabool.

Opmerking:

In GeoGebra kun je bovenstaande constructie mooi uitvoeren.

Stelling
Gegeven is een parabool met brandpunt $F$ en richtlijn $r$ .
Voor een punt $P$ van de parabool en zijn voetpunt $V$ geldt: de middelloodlijn van $F$ is raaklijn in $P$ aan de parabool.

Bewijs van de stelling
$Q$ is een punt van de middelloodlijn van $F V$ en $W$ is de loodrechte projectie van $Q$ op $r$ .

Ga na dat $F Q = Q V$ en $Q W < Q V$ .

Hoe volgt uit a dat $Q$ buiten de parabool ligt?

In de tekening is $Q$ links van $P$ genomen.

Toon aan dat ook een punt $Q$ op de middelloodlijn rechts van $P$ buiten de parabool ligt.

We nemen de parabool uit opgave 54.
De richtlijn is de $y$ -as en het brandpunt $F (2,0)$ . De punten $A (2,2)$ en $B (5,4)$ liggen op de parabool.

Geef met behulp van de stelling in deze paragraaf een vergelijking van de raaklijn in $A$ aan de parabool.

Geef ook een vergelijking van de raaklijn in $B$ aan de parabool.

Gegeven is de parabool met vergelijking $y^{2} = 2 x$ .

Bepaal het brandpunt en de richtlijn van de parabool.

Het punt $A (2,2)$ ligt op de parabool.

Geef een vergelijking van de raaklijn in dit punt aan de parabool met behulp van de stelling.

$A$ ligt op de 'bovenkant' van de parabool. Die bovenkant is de grafiek van een functie.

Geef een formule van die functie en bepaal de helling van de raaklijn in $A$ met behulp van de afgeleide van die functie. Vind je hetzelfde resultaat als in b?

$A B C D$ is een rechthoekig vel papier met daarop een punt $F$ . We vouwen de hoek bij $B$ zo om dat een punt van de rand $A B$ op $F$ komt. Dat kan op allerlei manieren. In figuur 1 hieronder staan drie voorbeelden.

figuur 1

De vouwlijn noemen we $P Q$ , met $P$ op $A B$ en Q op $B C$ . De plaats van $B$ na het vouwen noemen we $B^{'}$ .
In figuur 2 links is op de rand $A B$ een punt $P$ gekozen. Deze figuur staat vergroot op het werkblad.

figuur 2

figuur 3

Teken op het werkblad zonder te vouwen het bijbehorende punt $Q$ . Licht je werkwijze toe.

De vouwlijnen $P Q$ zijn allemaal raaklijn aan één parabool. Zie figuur 2, rechts. Deze parabool heeft brandpunt $F$ en richtlijn $A B$ .
In figuur 3, links is een van de vouwlijnen PQ getekend. Deze vouwlijn raakt de parabool in een punt $R$ . Deze tekening staat vergroot op het werkblad.

Teken punt $R$ op het werkblad. Licht je werkwijze toe.

In figuur 3 rechts, is $Q$ het midden van $B C$ . Ook deze tekening staat vergroot op het werkblad.

Bewijs dat $∠ B B^{'} C = 90 °$ .

We bekijken de snijpunten van de cirkel met vergelijking
$x^{2} + {(y - 2)}^{2} = a^{2}$ met de lijn met vergelijking $y = a + 3$ voor alle mogelijke waarden van $a$ ongelijk $0$ . Je kunt dit bekijken met de GeoGebra applet v6_wisB_H13_opg64 .

Voor welke waarden van $a$ zijn er geen snijpunten? Licht je antwoord toe.

De snijpunten die je voor de diverse waarden van $a$ krijgt vormen een parabool.

Waarom? Wat is de richtlijn en wat het brandpunt van de parabool?
Licht je antwoord toe.

(hint)

Vat

‐a

op als afstand tot een vast punt en vaste lijn.

Geef een vergelijking van de parabool door de parameter $a$ te elimineren. Schrijf je berekening op.

De radiotelescoop te Effelsberg (Duitsland), is met zijn diameter van 100 meter een van 's werelds grootste volledig stuurbare
telescopen.

Uit de paraboolconstructie met behulp van de voetpunten, volgt dat op een parabolische spiegel stralen evenwijdig aan de as worden zó teruggekaatst dat ze allemaal door het brandpunt gaan (en wel met dezelfde fase); vandaar de naam brandpunt. Deze eigenschap maakt een parabolische spiegel geschikt om signalen uit de ruimte op te vangen.
Het Latijnse woord voor brandpunt is focus, vandaar de letter $F$ voor het brandpunt.
Volgens een legende zou Archimedes (287-212 voor Chr.) in de strijd tegen Rome voor zijn vaderstad Syracuse parabolische spiegels hebben ontworpen. Door de spiegels zo te richten dat de zonnestralen werden gebundeld op de vijandelijke Romeinse houten schepen, zouden deze in brand zijn gestoken.