1

Gegeven is de cirkel met middelpunt $(a, a)$ die de $x$ -as en de $y$ -as raakt.

Hierbij kan $a$ alle mogelijke waarden ongelijk $0$ aannemen.

a

Geef een vergelijking van die cirkel.

Met GeoGebra kun je een animatie maken.
In de figuur is een deel van het GeoGebra-scherm weergegeven.

Maak een schuifknop voor $a$ met de knop a=2 in de bovenste balk van het scherm, zie figuur.
Voer in het invoerveld de vergelijking uit onderdeel a in.
Klik met de rechter muisknop op de schuif; het venster dat dan verschijnt is in de figuur afgebeeld.
Vink aan: animatie aan.

b

Teken het punt $(9,2)$ en bepaal met de schuif voor welke $a$ de cirkel door $(9,2)$ gaat.

c

Bereken exact de twee waarden van $a$ waarvoor de cirkel door $(9,2)$ gaat.

2

In deze opgave laten we met GeoGebra een cirkel met straal $2$ aan de bovenkant over de lijn $y = x$ lopen.

a

Geef een pv van de lijn waarover het middelpunt van de cirkel loopt.

b

Geef vergelijkingen van de cirkels met straal $2$ die de lijn $y = x$ aan de bovenkant raken; gebruik voor het variabele middelpunt de pv van onderdeel a.

c

Maak de animatie in GeoGebra.

d

Welke middelpunten hebben de cirkels die de $y$ -as raken? (Geef de exacte coördinaten, twee mogelijkheden.)

3

Gegeven zijn de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 13$ en het punt $A (a, \sqrt{13 - a^{2}})$ .

a

Voor welke waarden van $a$ is $A$ gedefinieerd?

b

Ga na dat $A$ op de cirkel ligt. Op welk deel van van cirkel ligt $A$ ?

c

Geef een vergelijking van de raaklijn in $A$ aan de cirkel

d

Maak een animatie met GeoGebra waarbij $A$ over de bovenkant van de cirkel met middelpunt $O$ en straal $\sqrt{13}$ loopt en de raaklijn in $A$ meedraait.
Varieer $a$ met behulp van een schuifknop.
Teken de cirkel en de raaklijn in $A$ .
Het is mooi als je de raaklijn bijvoorbeeld $2$ eenheden lang maakt. (Teken daarvoor een cirkel met middelpunt $A$ .)

4

Teken in GeoGebra met behulp van een schuifknop cirkels die de lijnen $y = x$ en $y = ‐ x$ raken.
Je kunt cirkels tekenen die van boven naar beneden gaan, of van links naar rechts. Het kan ook tegelijkertijd.
Je kunt ook nog de cirkels in de ene richting van klein naar groot laten gaan en in de andere van groot naar klein. Of nog iets anders verzinnen.
Schrijf op wat je gedaan hebt.

5

Gegeven zijn $A (3,4)$ , $B (1,0)$ en de punten $T (2 t, t)$ met $t > 0$ .

a

Toon aan dat $T$ gelijke afstand tot de halve lijnen $O A$ en $O B$ heeft.

(hint)

Gelijkvormigheid

b

Maak een animatie in Geogebra met cirkels die de halve lijnen $O A$ en $O B$ raken.

6

Binnen een cirkel met middelpunt $O (0,0)$ en straal $8$ zijn er een heleboel tweetallen cirkels met middelpunt op de $x$ -as die elkaar uitwendig raken en de grote cirkel inwendig raken.

De rechter cirkel heeft middelpunt $(a,0)$ .

a

Geef een vergelijking van de rechter en de linker cirkel.

b

Varieer het middelpunt van de linker cirkel in een animatie met GeoGebra.

7

In de figuur hieronder is $O (0,0)$ , $A (4,0)$ , $B (4,4)$ en $C (0,4)$ . De twee cirkels in de figuur hebben een variabel middelpunt op de diagonaal binnen vierkant $O A B C$ en raken zowel elkaar uitwendig als de zijden van het vierkant.
Neem aan: de linker cirkel heeft middelpunt $M (a, a)$ .

De straal van de rechter cirkel noemen we $r$ en het verschil van de $x$ -coördinaat (en de $y$ -coördinaat) van $N$ en $M$ noemen we $d$ , zie figuur.

a

Toon aan: $d = \frac{a + r}{\sqrt{2}}$ .

b

Toon aan dat voor de straal $r$ van de rechter cirkel geldt: $r = 8 - 4 \sqrt{2} - a$ .

c

Druk de coördinaten van het middelpunt $N$ van de rechter cirkel in $a$ uit.

Beide cirkels moeten binnen het vierkant blijven. Dit legt beperkingen aan de waarden van $a$ op.

d

Bepaal die exact.

e

Maak nu een animatie met de 'pulserende' cirkels in het vierkant.