1

De lengte van vector $(\begin{matrix} 5 \\ 12 \end{matrix})$ is $13$ , dus $(\begin{matrix} 13 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 18 \\ 12 \end{array})$ is een richtingsvector van een van de bissectrices van de lijnen $O A$ en de $x$ -as. Een richtingsvector van de andere bissectrice is dan $(\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ .
Het middelpunt van de cirkel ligt dus op de lijn met pv $(x, y) = (3 t,2 t)$ of op de lijn met pv $(x, y) = (‐ 2 t,3 t)$ . De straal is de afstand tot de $x$ -as. Als het middelpunt $(3 t,2 t)$ is, dan $t = 2 \frac{1}{2}$ of $t = ‐ 2 \frac{1}{2}$ .
Als het middelpunt $(‐ 2 t,3 t)$ , dan $t = 1 \frac{2}{3}$ of $t = ‐ 1 \frac{2}{3}$ .
De mogelijke middelpunten zijn: $(7 \frac{1}{2},5)$ , $(‐ 7 \frac{1}{2}, ‐ 5)$ , $(3 \frac{1}{3}, ‐ 5)$ en $(‐ 3 \frac{1}{3},5)$

2

a

De bissectrice van hoek $A O B$ heeft pv $(x, y) = (t, t)$ .
De vector $\vec{A B} = (\begin{matrix} ‐ 6 \\ 8 \end{matrix})$ heeft lengte $10$ , dus een vector die hoek $O A B$ doormidden deelt is $(\begin{matrix} ‐ 5 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 8 \\ 4 \end{matrix})$ of $(\begin{matrix} ‐ 2 \\ 1 \end{matrix})$ .
De bissectrice van hoek $O A B$ heeft pv $(x, y) = (6,0) + s \cdot (‐ 2,1)$ .

b

Het snijpunt van deze twee bissectrices is: $(2,2)$ .

c

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

3

a

$R (10,0)$

b

Lijn $O M$ .

c

Lijn $O M$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ , dus lijn $Q R$ heeft richtingscoëfficiënt $‐2$ , heeft dus vergelijking $y = ‐ 2 x + b$ voor een of ander getal $b$ . Lijn $Q R$ gaat door $R (10,0)$ , heeft dus vergelijking $y = ‐ 2 x + 20$ . We snijden lijn $Q R$ met de cirkel.
Daarvoor vullen we voor $y = ‐ 2 x + 20$ in in de vergelijking van de cirkel ${(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ .
Dit geeft: ${(x - 10)}^{2} + {(‐ 2 x + 15)}^{2} = 25 \Leftrightarrow 5 x^{2} - 80 x + 300 = 0 \Leftrightarrow x = 6$ of $x = 10$ , dus $Q (6,8)$ .

4

Een vergelijking van de cirkel is: $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = c$ , waarbij $c$ het kwadraat van de straal is.
Het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + {(y - 2)}^{2} = c \\ y = x^{2} \end{cases}$ heeft één oplossing voor $y$ .
Vul voor $x^{2}$ in de eerste vergelijking $y$ in.
Dan krijg je: $y + {(y - 2)}^{2} = c$ $\Leftrightarrow y^{2} - 3 y + 4 - c = 0$ .
Deze vergelijking in $y$ heeft één oplossing, dus
$D = {(‐ 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 - c) = 0$ $\Rightarrow$ $9 - 16 + 4 c = 0$ $\to$ $c = \frac{7}{4}$ ,
dus de straal is $\sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{7}$ .

5

a

De driehoeken $P M S$ en $Q N S$ zijn gelijkvormig, want ze hebben beide een rechte hoek, namelijk hoek $P$ en hoek $Q$ en ze hebben hoek $S$ gemeenschappelijk.
Dus $\frac{S N}{S M} = \frac{Q N}{P M} = 3$ , dus $x + 4 = 3 x$ , dus $x = 2$ .

b

$\tan (α) = \frac{P M}{P S} = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ , dus $α = 30 °$ .

c

$y = \frac{1}{3} \sqrt{3} (x - 1)$

6

a

De afstanden van $M$ tot alledrie de hoekpunten zijn $2 \sqrt{5}$ , dat is ook de straal van de cirkel.

b

Driehoek $P Q C$ krijg je door driehoek $A B C$ ten opzichte van $C$ met $\frac{3}{4}$ te vermenigvuldigen. Van $A$ naar $C$ ga je $6$ eenheden naar boven en $6$ eenheden naar rechts. Dus om in $P$ te komen, moet je $\frac{1}{4} \cdot 6 = 1 \frac{1}{2}$ eenheid naar rechts en naar boven vanuit $A$ , dus $P = (\frac{1}{2},2 \frac{1}{2})$ .

c

De straal is $\frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{5} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .

7

a

$\vec{M P} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$ is een normaalvector van de raaklijn.
Een vergelijking is $x - 2 y + 1 = 0$ .

b

Een vergelijking van de cirkel is: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ , dus
${(y + 1)}^{2} = 5 - {(x - 2)}^{2} \Leftrightarrow y + 1 = \sqrt{5 - {(x - 2)}^{2}}$ of $y + 1 = ‐ \sqrt{5 - {(x - 2)}^{2}}$ .
Omdat $P$ op de bovenkant van de cirkel ligt geldt: $y + 1 = \sqrt{5 - {(x - 2)}^{2}}$ , dus $y = ‐ 1 + \sqrt{5 - {(x - 2)}^{2}}$ $\Leftrightarrow y = ‐ 1 + \sqrt{1 - x^{2} + 4 x}$ .

c

$\frac{d y}{d x} = \frac{‐ x + 2}{\sqrt{1 - x^{2} + 4 x}}$ ; als je voor $x = 1$ neemt, vind je $\frac{1}{2}$ . Dat is ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in onderdeel a.