1

a

Het kortste verbindingslijnstuk van een punt met een lijn staat loodrecht op die lijn; elk ander verbindingslijnstuk is langer.
Alternatief: Pythagoras: $M Q^{2} = M P^{2} + P Q^{2} > M P^{2}$ , dus $M Q > M P$ .

b

Dezelfde redenering als in a.

2

$\vec{O P} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ is normaalvector van de raaklijn, dus een vergelijking is: $3 x + 4 y = c$ voor een of ander getal $c$ . Uit het feit dat $P$ op de raaklijn ligt volgt $c = 25$ .

3

a

$a = 0$ , $a = 7$ en, $a = 8$

b

$(2 \frac{1}{2} \sqrt{2}, ‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ en $(‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2},2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$

c

$(3,4)$ en $(4,3)$

d

De lijn $y = x$ snijden met de cirkel geeft snijpunten $(2 \frac{1}{2} \sqrt{2},2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ en $(‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}, ‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ (voldoet niet, want $a > 0$ ), dus $a = 5 \sqrt{2}$

e

$a = ‐ 5 \sqrt{2}$

4

a

b

Die lijn staat loodrecht op de evenwijdige lijnen met vergelijking $x + 3 y = a$ , dus een richtingsvector van die lijn is $(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array})$ .

c

De vector $(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array})$ heeft lengte $\sqrt{10}$ , dat is de straal van de cirkel, dus de raakpunten zijn: $(1 + 1, ‐ 1 + 3)$ $= (2,2)$ en $(1 ‐ 1, - 1 - 3) = (0, ‐ 4)$

d

$(2,2)$ en $(0, ‐ 4)$ invullen geeft de waarden $a = 8$ en $a = ‐12$ .

5

We berekenen de afstand van $M (‐ 2,2)$ tot $k$ .
De lijn door $M$ loodrecht op $k$ heeft pv $(x, y) = (‐ 2 + 3 t,2 - 4 t)$ . Voor het snijpunt van deze lijn met $k$ geldt: $3 \cdot (- 2 + 3 t) - 4 \cdot (2 - 4 t) = 10 \Leftrightarrow t = \frac{24}{25}$ . De afstand van $M$ tot zijn projectie op $k$ is dus $\frac{24}{25} \cdot 5 = 4 \frac{4}{5}$ , dit is dus de straal van de cirkel.

6

De raakpunten liggen op de lijn door het middelpunt $(1, ‐ 3)$ van de cirkel met normaalvector $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ . Een vergelijking van die lijn is $x + 2 y + 5 = 0$ . Deze lijn snijden met de cirkel geeft de snijpunten $(1 - 2 \sqrt{2}, ‐ 3 + \sqrt{2})$ en $(1 + 2 \sqrt{2}, ‐ 3 - \sqrt{2})$ . De raaklijnen hebben vergelijking $2 x - y = 5 - 5 \sqrt{2}$ en $2 x - y = 5 + 5 \sqrt{2}$ .
Je kunt de raakpunten ook anders vinden. Zij liggen op de lijn door het middelpunt met richtingsvector $(\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . Deze richtingsvector heeft lengte $\sqrt{5}$ , dus als je het middelpunt over $\sqrt{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ of over $\sqrt{2} \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 1 \end{matrix})$ verschuift, kom je in een raakpunt.

7

Het middelpunt van de cirkel is $M (1, ‐ 3)$ , dus een normaalvector van de lijn is $\vec{M P} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array})$ . Een vergelijking van de lijn is $x + 2 y = a$ voor een of ander getal $a$ . De lijn gaat door het punt $P$ , dus een vergelijking is $x + 2 y = 5$ .

8

a

$(0,13)$ en $(12, ‐ 5)$

b

$y = 13$ en $12 x - 5 y = 169$

c

$S = (19 \frac{1}{2},13)$ , dus $B S = 19 \frac{1}{2}$ . De oppervlakte is $13 \cdot 19 \frac{1}{2} = 253 \frac{1}{2}$ .

9

a

b

Het middelpunt van de cirkel ligt op de middelloodlijn van $P Q$ , dus op de lijn $x = 4$ . Omdat de cirkel de $y$ -as raakt is de straal $4$ . De afstand van het middelpunt tot $P (2,0)$ is dus $4$ . Dus als $M (4, a)$ , dan ${(4 - 2)}^{2} + {(a - 0)}^{2} = 16$ , dus $a = 2 \sqrt{3}$ of $a = ‐ 2 \sqrt{3}$ . Het middelpunt is dus $(4,2 \sqrt{3})$ of $(4,2 ‐ \sqrt{3})$ .

10

Lijn $k$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ \frac{2}{3}$ . Het middelpunt ligt op $m$ , de lijn door $P$ loodrecht op $k$ , dus $m$ heeft richtingscoëfficiënt $1 \frac{1}{2}$ en gaat door $(3,2)$ .
Een vergelijking van $m$ is: $y = 1 \frac{1}{2} x - 2 \frac{1}{2}$ .
Het snijpunt van $m$ met de $y$ -as is: $M (0, ‐ 2 \frac{1}{2})$ .
De straal van de cirkel is $\sqrt{3^{2} + 4 {\frac{1}{2}}^{2}} = \sqrt{29 \frac{1}{4}} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{13}$ .

11

De projectie van $R$ op de $x$ -as noemen we $P$ .
De hoeken $M O R$ en $O R P$ zijn even groot (Z-hoeken), dus de driehoeken $M O R$ en $O R P$ zijn gelijkvormig, want ze hebben beide ook nog een rechte hoek.
De helling van lijn $O R$ is $2$ , dus driehoek $R O P$ is gelijkvormig met een driehoek met zijden $1$ , $2$ en $\sqrt{5}$ , dus driehoek $M O R$ ook, dus $M O = 2 \sqrt{5}$ .

12

a

Als je voor $y = ‐ 2 x + 2$ in de vergelijking $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0$ invult, krijg je de vergelijking $x^{2} + {(‐ 2 x + 2)}^{2} - 6 x - 2 (‐ 2 x + 2) + 5 = 0 \Leftrightarrow 5 x^{2} - 10 x + 5 = 0$ .
Deze vergelijking heeft één oplossing (omdat zijn discriminant $0$ is of omdat je de vergelijking kunt schrijven als $5 {(x - 1)}^{2} = 0$ ).
De oplossing van de vergelijking is $x = 1$ , dus de oplossing van het stelsel is $(1,0)$ .

b

Omdat $k$ en $c$ precies één punt gemeen hebben. Dit is het raakpunt $(1,0)$ .

13

$x^{2} + {(a - x)}^{2} = 25 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 25 = 0$ .
Deze vergelijking heeft één oplossing als de discriminant $0$ is.
Dus $4 a^{2} - 8 (a^{2} - 25) = 0 \Leftrightarrow a = 5 \sqrt{2}$ of $a = ‐ 5 \sqrt{2}$ .

14

a

Als je voor $x = 0$ , krijg je $y = 5$ wat $m$ ook is.

b

Voor $y = m x + 5$ invullen in $x^{2} + y^{2} = 5$ geeft: $x^{2} + {(m x + 5)}^{2} = 5$ .
Deze vergelijking is te schrijven als: $(m^{2} + 1) x^{2} + 10 m x + 20 = 0$ .
Deze vergelijking moet discriminant $0$ hebben, dus:
$100 m^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (m^{2} + 1) = 0$ , dus $m = 2$ of $m = ‐ 2$ .

c

Als $m = 2$ , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel: $5 x^{2} + 20 x + 20 = 0$ , deze heeft als enige oplossing $x = ‐ 2$ , het raakpunt is dan $(‐ 2,1)$ .
Als $m = ‐ 2$ , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel: $5 x^{2} - 20 x + 20 = 0$ , deze heeft als enige oplossing $x = 2$ , het raakpunt is dan $(2,1)$ .

15

a

$y = m x$

b

Voor $y = m x$ invullen in ${(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ geeft:
$(m^{2} + 1) x^{2} - (10 m + 20) x + 100 = 0$ .
Deze vergelijking heeft discriminant $0$ , dus: ${(10 m + 20)}^{2} - 400 (m^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow ‐ 3 m^{2} + 4 m = 0$ , dus $m = 0$ of $m = 1 \frac{1}{3}$ . De raaklijnen zijn $y = 0$ (de $x$ -as) en de lijn $y = 1 \frac{1}{3} x$ .