Wat is een raaklijn?

Met het begrip raaklijn aan een cirkel hebben we intuïtief al kennis gemaakt in het hoofdstuk Vierkantsvergelijkingen in de derde klas. In het volgende geven we een precieze beschrijving van het begrip raaklijn.

Een raaklijn aan een cirkel heeft één punt met de cirkel gemeen. De andere punten van de raaklijn liggen buiten de cirkel.

Stelling
Gegeven is een cirkel met middelpunt $M$ en een punt $P$ op de cirkel.
De lijn door $P$ loodrecht op lijn $M P$ is raaklijn aan de cirkel.
Er is geen andere raaklijn door $P$ aan de cirkel.

We bewijzen de stelling in de volgende opgave.

De lijn door $P$ loodrecht op lijn $M P$ noemen we $k$ .
Neem een ander punt dan $P$ op $k$ ; noem dat $Q$ .

Waarom geldt: $M P < M Q$ ?
Dus ligt $Q$ buiten de cirkel.

Neem een andere lijn door $P$ , zeg $m$ . De projectie van $M$ op $m$ noemen we $N$ .

Waarom geldt: $M P > M N$ ?
Dus ligt $N$ binnen de cirkel. Dus $m$ is geen raaklijn.

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ . Op de cirkel ligt het punt $P (3,4)$ .

Geef een vergelijking van de raaklijn in $P$ aan de cirkel.

Raaklijnen met een gegeven richting

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ .

In het rooster hierboven is de cirkel getekend en voor drie waarden van $a$ de lijn met vergelijking $x + y = a$ .
Op elk van de drie lijnen is een roosterpunt aangegeven.

Bepaal de drie waarden van $a$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vergelijking $x + y = 0$ met de cirkel.

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vergelijking $x + y = 7$ met de cirkel.

De lijn $x + y = 7$ heeft twee gemeenschappelijke punten met de cirkel. De lijn $x + y = 8$ heeft geen gemeenschappelijke punten met de cirkel.
Er is één positieve waarde van $a$ tussen $7$ en $8$ waarvoor de lijn $x + y = a$ één punt met de cirkel gemeen heeft. Volgens de stelling hierboven, ligt het raakpunt op de lijn door $O$ loodrecht op de lijn met vergelijking $x + y = a$ .

Bepaal het raakpunt en bereken $a$ .

Voor welke negatieve waarde van $a$ raakt de lijn met vergelijking $x + y = a$ aan de cirkel?

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $x + 3 y = 4$ en de cirkel met vergelijking ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ .

Zoek een roosterpunt dat op de cirkel ligt en teken de cirkel en de lijn in een assenstelsel.

De lijnen $x + 3 y = a$ (met $a \neq 4$ ), zijn evenwijdig aan $k$ . Er zijn twee waarden van $a$ waarvoor de lijn $x + 3 y = a$ de cirkel raakt. De raakpunten liggen op de lijn door het middelpunt van de cirkel.

Geef een richtingsvector van die lijn.

Bereken de coördinaten van de raakpunten.

Voor welke waarden van $a$ raakt raakt de lijn $x + 3 y = a$ de cirkel?

Gegeven de lijn $k$ met vergelijking $3 x - 4 y = 10$ en alle mogelijke cirkels met middelpunt $(‐ 2,2)$ .

Bereken exact de straal van de cirkel die $k$ raakt.

Geef een vergelijking van de lijnen met richtingsvector $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ die de cirkel met vergelijking ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10$ raken.

Raaklijnen in een gegeven punt

Op de cirkel met vergelijking ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 20$ ligt het punt $P (3,1)$ .

Geef een vergelijking van de raaklijn in $P$ aan deze cirkel.

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 169$ en de lijn met vergelijking $3 x + 2 y = 26$ .
De snijpunten van de lijn met de cirkel noemen we $A$ en $B$ .

Bereken de coördinaten van de $A$ en $B$ exact.

Geef een vergelijking van de raaklijn in $A$ en in $B$ .

De raaklijnen in $A$ en $B$ snijden elkaar in $S$ .

Bereken de oppervlakte van vierhoek $O A S B$ exact.

Gegeven zijn de punten $P (2,0)$ en $Q (6,0)$ . Er zijn twee cirkels die raken aan de $y$ -as en die door de punten $P$ en $Q$ gaan.

Schets de situatie in een assenstelsel.

Bepaal exact de middelpunten van die cirkels. Licht je antwoord toe.

$k$ is de lijn met vergelijking $2 x + 3 y = 12$ met daarop het punt $P (3,2)$ . Op de $y$ -as ligt een punt $M$ . Een cirkel met middelpunt $M$ raakt $k$ in $P$ .

Bereken exact de coördinaten van $M$ en de straal van de cirkel.

Een bal met straal $2$ zit in een kegel. In de figuur zie je een doorsnede van de situatie. $M$ is het middelpunt van de cirkel die raakt aan de lijn $y = 2 x$ (in $R$ ) en aan de lijn $y = ‐ 2 x$ .

Bereken exact hoe ver het middelpunt $M$ van de oorsprong $O$ afligt.

(hint)

Noem de projectie van

R

op de

x

-as

P

. De driehoeken

M O R

O R P

zijn gelijkvormig.

Raaklijn algebraïsch bekeken

Gegeven is de cirkel $c$ met vergelijking $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0$ en de lijn $k$ met vergelijking $2 x + y = 2$ .
Het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0 \\ 2 x + y = 2 \end{cases}$ heeft één oplossing.

Bereken de oplossing exact.

Hoe volgt uit het vorige onderdeel dat $k$ de cirkel $c$ raakt?
Wat zijn de coördinaten van het raakpunt?

We bekijken opgave 24 nog eens.
Gegeven zijn de lijnen $k$ met vergelijking $x + y = a$ , voor alle mogelijke waarden van $a$ en de cirkel $c$ met vergelijking
$x^{2} + y^{2} = 25$ .
De vraag was: voor welke $a$ raakt lijn $k$ de cirkel $c$ ? Dat gebeurt als $k$ en $c$ één gemeenschappelijk punt hebben. $y = a - x$ invullen in de vergelijking van $c$ geeft: $x^{2} + {(a - x)}^{2} = 25$ .

Bepaal met de discriminant voor welke waarden van $a$ deze vergelijking één oplossing heeft.

Voorbeeld:

In opgave 24 hebben we de raaklijnen aan de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 4$ bepaald die evenwijdig zijn met de lijn $x + y = 0$ . Nu doen we dat nog eens op een andere manier.
De raaklijnen hebben vergelijking $x + y = a$ voor zekere waarden van $a$ .
Het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ x + y = a \end{cases}$ moet één oplossing hebben.
Vul voor $y = a - x$ in, in de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 4$ , dit geeft:
$x^{2} + {(a - x)}^{2} = 4 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ . Deze vergelijking (in $x$ ) moet één oplossing hebben, dus de discriminant van de vergelijking is $0$ .
Dus: $(‐ 2 a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} - 4) = 0 \Leftrightarrow 4 a^{2} - 8 a^{2} + 32 = 0$ .
Dus $a = 2 \sqrt{2}$ of $a = ‐ 2 \sqrt{2}$ .
De raaklijnen hebben dus vergelijking $x + y = 2 \sqrt{2}$ en $x + y = ‐ 2 \sqrt{2}$ .

Gegeven zijn de lijnen $k_{m}$ met vergelijking $y = m x + 5$ voor alle mogelijke waarden van $m$ en de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 5$ .

De lijnen $k_{m}$ gaan alle door het punt $(0,5)$ .

Laat dat zien.

Gegeven het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 5 \\ y = m x + 5 \end{cases}$ .
Voor twee waarden van $m$ heeft dit stelsel één oplossing.

Bereken deze waarden exact.

Uit het vorige onderdeel volgt dat de lijnen $y = 2 x + 5$ en $y = ‐ 2 x + 5$ de cirkel raken.

Bepaal de coördinaten van de raakpunten exact.

In de figuur hieronder staat de cirkel met middelpunt $M (10,5)$ en straal $5$ . Er zijn twee raaklijnen door punt $O (0,0)$ aan de cirkel. Eén van die lijnen is de $x$ -as. De andere raaklijn bepalen we met een discriminant.

Een vergelijking van de cirkel is ${(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ .

Geef een vergelijking van de lijn door $O (0,0)$ met richtingscoëfficiënt $m$ .

Bereken de exacte waarden van $m$ waarvoor het stelsel ${\begin{cases} {(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25 \\ y = m x \end{cases}$ één oplossing heeft.