Lijn en cirkel

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 5$ .

Teken de cirkel in een assenstelsel. Geef ook alle roosterpunten aan die op de cirkel liggen.

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vectorvoorstelling $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array})$ met de cirkel.

(hint)

Zoek de waarden van

t

waarvoor

(1 + t, ‐ 1 + 2 t)

aan de vergelijking van de cirkel voldoet.

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met vergelijking $x + y = 3$ met de cirkel.

Voorbeeld:

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn $k$ met vergelijking $x + 2 y = 6$ en de cirkel met middelpunt $M (‐1,2)$ en straal $3$ .

Oplossing

Een vergelijking van de cirkel is: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ .
De snijpunten zijn de oplossingen van het stelsel:
${\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x + 2 y = 6 \end{cases}$ .
Dit stelsel lossen we als volgt op.

${\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x + 2 y = 6 \end{cases}$	$x$ uitdrukken in $y$
${\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	Voor $x = 6 - 2 y$ in de andere vergelijking invullen..
${\begin{cases} {(6 - 2 y + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	De kwadratische vergelijking in $y$ oplossen
${\begin{cases} 4 y^{2} - 28 y + 49 + y^{2} - 4 y + 4 = 9 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	Vereenvoudigen
${\begin{cases} 5 y^{2} - 32 y + 44 = 0 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	Bijvoorbeeld de $a b c$ -formule toepassen
${\begin{cases} y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 880}}{10} \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	De gevonden waarden van $y$ invullen in $x + 2 y = 6$ , geeft de oplossingen.
De snijpunten zijn: $(‐2 \frac{4}{5},4 \frac{2}{5})$ en $(2,2)$ .

Gegeven is de cirkel met middelpunt $(3,1)$ en straal $3$ en de lijn met vergelijking $2 x + 3 y = 3$ .

Geef een vergelijking van de cirkel.

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de lijn.

Gegeven zijn de lijn met vergelijking $3 x - y = 11$ en de cirkel met vergelijking ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ .

Teken de lijn en de cirkel in een assenstelsel.

Het lijkt erop dat de cirkel en de lijn maar één punt gemeen hebben.

Controleer dat met een berekening.

Twee cirkels

Hiernaast zijn twee cirkels getekend. Vergelijkingen van die cirkels zijn:
${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13 = 0$ en ${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26 = 0$ .
Bekijk de vergelijking ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13 = {(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26$ .

Schrijf de vergelijking zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

In a vind je een lineaire vergelijking, dit is dus een vergelijking van een lijn.

Leg uit dat de snijpunten van de cirkels op die lijn liggen.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de twee cirkels exact.

(hint)

Snijd de lijn met één van de cirkels.

Voor elk punt $(x, y)$ van de ene cirkel uit opgave 17 is de uitkomst van ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13$ gelijk aan $0$ en voor elk punt $(x, y)$ van de andere cirkel is ${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26$ gelijk aan $0$ .
Voor de snijpunten van de cirkels geldt dus beide uitdrukkingen gelijk aan $0$ zijn. Dus geldt voor de snijpunten ook bijvoorbeeld $3 ({(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13) + 2 ({(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$ .

Bekijk de vergelijking
$3 ({(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13) - 2 ({(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26) = 0$ .

Schrijf de formule zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

De punten die aan deze vergelijking voldoen, liggen op een cirkel.

Schrijf de formule uit a in de middelpuntsvorm.
Geef het middelpunt en de straal van de cirkel.

Ga na dat deze nieuwe figuur inderdaad door de snijpunten van de cirkels uit opgave 17 gaat.

Je kunt op allerlei manieren de formules van de twee gegeven cirkels uit opgave 17 combineren.
Bijvoorbeeld:
$7 ({(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13) + 5 ({(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26) = 0$ ,
$({(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 12) \cdot ({(x + 1)}^{2} + y^{2} - 25) = 1$ of
$2^{{(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13} + 3^{{(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26} = 2$ .
In elke van deze gevallen gaat de figuur door de snijpunten van de cirkels uit de vorige opgave. (De figuren kunnen bizar zijn, en verder zinloos om te bekijken, maar die twee snijpunten hebben ze gemeenschappelijk.)

Ga na dat de rechterleden in deze drie formules (dus $0$ , $1$ en $2$ ) goed zijn gekozen.

Opmerking:

In opgave 17a is gekozen voor de volgende combinatie:
${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 13 - ({(x + 1)}^{2} + y^{2} - 26) = 0$ .
Dat is met opzet gebeurd, want nu vallen de termen $x^{2}$ en $y^{2}$ weg, zodat je een lineaire vergelijking krijgt.

Gegeven de cirkels met vergelijking ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ en ${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = s^{2}$ . Veronderstel dat ze twee punten gemeenschappelijk hebben.
Dan vormen de punten $(x, y)$ die aan de vergelijking
${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} - r^{2} = {(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} - s^{2}$
voldoen de lijn $k$ door de gemeenschappelijke punten van die twee cirkels.
De gemeenschappelijke punten van de cirkels vind je door $k$ met één van de cirkels te snijden.

Gegeven de cirkels met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 3 x - 4 y = 4$ en $x^{2} + y^{2} - x = 16$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de twee cirkels.

Gegeven zijn de cirkels met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 13$ en
$x^{2} + y^{2} - 12 x - 18 y + 65 = 0$ .

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de twee cirkels.

De cirkels met middelpunt $M$ en $N$ in de linker figuur snijden elkaar in $P$ en $Q$ .

Bewijs dat lijn $M N$ middelloodlijn van lijnstuk $P Q$ is.

We brengen een assenstelsel aan, zie de figuur in het midden.
Daarin heeft de cirkel met middelpunt $M$ vergelijking
${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ en de cirkel met middelpunt $N$ vergelijking ${(x - 7)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ .
De punten $P (5 \frac{3}{17},4 \frac{5}{17})$ en $Q (6,1)$ zijn dan de gemeenschappelijke punten van de twee cirkels.

Schrijf ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 10 = {(x - 7)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - 5$ zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
Controleer dat je de vergelijking van een lijn krijgt die loodrecht op lijn $M N$ staat.

In de rechter figuur zijn de cirkels gekrompen, hun middelpunten zijn hetzelfde gebleven, maar ze hebben geen gemeenschappelijke punten meer. De stralen zijn $r$ en $s$ .

Leg (zonder haakjes weg te werken) uit dat de lijn met vergelijking ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - r^{2} = {(x - 7)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - s^{2}$ loodrecht op lijn $M N$ staat.