Vergelijking van een cirkel

Een rechte lijn heeft in een assenstelsel een vergelijking van een bepaald type, namelijk $a x + b y + c = 0$ . Evenzo hebben cirkels een bepaald type vergelijking. Daarbij spelen “afstand” en “de stelling van Pythagoras” een grote rol.

Bereken de exacte afstand van $(3,5)$ tot $(7,2)$ .

Gegeven zijn het punt $A (3,5)$ en het punt $X (x, y)$ , zie figuur. $X$ ligt 'rechtsonder' $A$ , dus $x > 3$ en $y < 5$ . Het punt $B$ heeft dezelfde $y$ -coördinaat als $A$ en dezelfde $x$ -coördinaat als $X$ .

Druk de lengte van de rechthoekszijden van driehoek $A X B$ uit in $x$ en $y$ .

Welk verband tussen $x$ en $y$ kun je opschrijven als $A X = 5$ ?

Neem aan: $A = (a, b)$ en $A$ ligt 'linksboven' $X$ .
Als je de stelling van Pythagoras toepast in driehoek $A B X$ , vind je: ${(x - a)}^{2} + {(b - y)}^{2} = A X^{2}$ of, als je wilt,
${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = A X^{2}$ .

Waarom geldt: ${(y - b)}^{2} = {(b - y)}^{2}$ ?

Afhankelijk van de positie van $A$ ten opzichte van $X$ is de rechthoekszijde $A B$ gelijk aan $x - a$ of $a - x$ en de rechthoekszijde $B X$ gelijk aan $y - b$ of $b - y$ . Maar vanwege de kwadraten in de stelling van Pythagoras maakt dat geen verschil voor de uiteindelijke formule.

De cirkel met middelpunt $(a, b)$ en straal $r$ heeft vergelijking:
${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Geef een vergelijking van:

de cirkel met middelpunt $(2, ‐ 4)$ en straal $\sqrt{13}$ ;

de cirkel met middelpunt $(‐ 1,3)$ die door $O (0,0)$ gaat;

elk van de cirkels die de $x$ -as en de $y$ -as raken met straal $5$ .

Bepaal de roosterpunten op de cirkel met vergelijking
$x^{2} + y^{2} = 65$ .

Met en zonder haakjes

Als je de haakjes wegwerkt in de vergelijking van onderdeel b van opgave 3, vind je: $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y = 0$ .

Ga dat na.

Aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y = 0$ zie je niet onmiddellijk dat je te maken hebt met een cirkel en ook niet wat het middelpunt en de straal van die cirkel is. Het middelpunt en de straal van de cirkel vind je terug, als je de weg in onderdeel a in omgekeerde volgorde aflegt. Daarvoor moet je kwadraatafsplitsen. Dit is in de derde klas in hoofdstuk 28 aan de orde geweest.

De punten $(x, y)$ die aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 14$ voldoen, vormen de cirkel met middelpunt $(‐ 3,2)$ en straal $3 \sqrt{3}$ .

Laat dat zien.

Bepaal met kwadraatafsplitsen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking:
$x^{2} + y^{2} - 13 x - 5 y = 0$ ,
$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + 6 x - 4 y = 14$ ,
${(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2} = 16$ .

De formule ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ voor de cirkel met middelpunt $(a, b)$ en straal $r$ noemen we de middelpuntsvorm.

Gegeven is de cirkel met vergelijking: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 4 a y = 0$ . Hierbij is $a$ een of ander getal ongelijk aan $0$ .

Druk de coördinaten van het middelpunt en de straal uit in $a$ .

De middelpunten van de cirkels die je krijgt door $a$ te variëren, liggen op een lijn.

Leg dat uit en geef een vergelijking van die lijn.

Waarom is in de stam van deze opgave vermeld dat $a \neq 0$ ?

Gegeven zijn de punten $A (4,0)$ en $B (6,3)$ .

Bepaal het middelpunt van de cirkel door de punten $O$ , $A$ en $B$ en geef een vergelijking van die cirkel.

(hint)

Zie het theorieblok hieronder: dus het middelpunt is snijpunt van twee middelloodlijnen.

Het middelpunt van een cirkel die door de punten $A$ en $B$ gaat, ligt op de middelloodlijn van $A B$ .

Opmerking:

We laten nog even zien hoe je met normaalvectoren werkt.
Gegeven zijn de punten $P (1,6)$ en $Q (4,10)$ .
Een vergelijking van de lijn $k$ door $A (2,3)$ loodrecht op lijn $P Q$ vind je als volgt.
$\vec{P Q} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ is een richtingsvector van lijn $P Q$ , dus een normaalvector van $k$ . Een vergelijking van $k$ is dus van de vorm $3 x + 4 y = c$ voor zeker getal $c$ . Omdat $k$ door $A$ gaat, vind je $c = 18$ , dus $3 x + 4 y = 18$ als vergelijking van $k$ .

Gegeven is de cirkel met vergelijking: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 10 y = 0$ voor een of ander getal $a$ .

Druk de coördinaten van het middelpunt en de straal van de cirkel uit in $a$ .

De cirkel gaat voor elke waarde van $a$ door $O (0,0)$ .
Er is nog een punt waar de cirkel voor elke waarde van $a$ doorheen gaat.

Bepaal dat punt en laat zien dat de cirkel voor elke waarde van $a$ door dat punt gaat.

De volgende vergelijkingen lijken veel op die van een cirkel. Ga na of de bijbehorende figuur wel of geen cirkel is.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 10$
$x^{4} + y^{4} = 10$
${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 10$
$x^{2} - y^{2} = 10$

Kleur de verzameling punten $(x, y)$ waarvoor geldt:
$1 < x^{2} + y^{2} \leq 4$ .

Beschrijf de kwartcirkel met straal $1$ hiernaast (symmetrisch in de $x$ -as) met ongelijkheden.

De GR spuugt twee willekeurige getallen tussen $0$ en $1$ uit. Die noemen we $x$ en $y$ .

Wat is de kans dat $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ?

We kantelen een vierkant met zijde $1$ over de $x$ -as. Hieronder is de beginsituatie getekend.
In $S$ zit een schrijfstift. Die tekent de baan bij het kantelen.

Beschrijf de baan met drie formules. Dit zijn delen van cirkels.

We komen terug op de opgave uit de Intro.
Breng een assenstelsel aan zó, dat $A (‐ 2 \frac{1}{2},0)$ en $B (5,0)$ .
$X (x, y)$ is een punt met: $B X = 2 \cdot A X$ .

Laat zien dat hieruit volgt:
${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 4 {(x + 2 \frac{1}{2})}^{2} + 4 y^{2}$ .

Laat zien dat de punten $X (x, y)$ met $B X = 2 \cdot A X$ een cirkel vormen met middelpunt $(‐ 5,0)$ en straal $5$ .