$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{1+\sin \left(x\right)}-\frac{\mathrm{‐}\cos \left(x\right)}{1-\sin \left(x\right)}=$ $\frac{\cos \left(x\right)(1-\sin (x\left)\right)+\cos \left(x\right)(1+\sin (x\left)\right)}{1-{\sin }^2\left(x\right)}=$ $=\frac{2\cos \left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}$, klopt.

$x$ in het domein van $f$ als $\cos \left(x\right)\ne 0$, dus als $x\ne \frac{1}{2}\text{π}+k\text{π}$, met $k$ geheel.
$x$ in het domein van $F$ als $\sin \left(x\right)\ne \pm 1$, dus als $x\ne \frac{1}{2}\text{π}+k\text{π}$, met $k$ geheel.
Dus beide hebben hetzelfde domein.

$F^{\prime }\left(x\right)=a\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}x}-(ax+b)\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}x}=(a-b){\text{e}}^{\mathrm{‐}x}-ax\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}x}$, dus $a=b=\mathrm{‐}5$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{5}{\int }}5x\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}x}}\text{d}x={\left[\mathrm{‐}5(1+x)\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}x}\right]}_0^5=5-30\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}5}$

Van de grafiek van $f$: $x=0$; van de grafiek van $g$: $x=12$.

$2\ln \left(x\right)=\ln (12-x)\Rightarrow \ln \left(x^2\right)=\ln (12-x)\Rightarrow$ $x^2=12-x$ $\iff x=3\text{ of }x=\mathrm{‐}4$. Alleen $x=3$ voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking.
Het snijpunt is $(\mathrm{3,2}\ln (3\left)\right)$.

$F$ met $F\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)-2x$ is een primitieve van $f$;
$G$ met $G\left(x\right)=(x-12)\ln (12-x)-x$ is een primitieve van $g$ (een beetje proberen).

De oppervlakte van dit gebied is: ${\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+}{\displaystyle \underset{3}{\overset{11}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x}$
${\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=6\ln \left(3\right)-4}$ en ${\displaystyle \underset{3}{\overset{11}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x}=$ $9\ln \left(9\right)-8$.
De gevraagde oppervlakte is $24\ln \left(3\right)-12$.

Noem die $a$, dan is de eerste coördinaat van $B$ gelijk aan $9+a$. Dus $\ln \left(a^2\right)=\ln \left(12-(9+a)\right)$, dus $a=\mathrm{‐}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{13}$.

$A(p)=2\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{p}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x}=$ $\frac{\mathrm{‐}2}{{\text{e}}^p+1}+1$.

$L=1$; $2-\frac{4}{{\text{e}}^p+1}=1\iff \frac{4}{{\text{e}}^p+1}=1\iff {\text{e}}^p+1=4$, dus $p=\ln \left(3\right)$.

Noem $\sqrt{x}=y$, dan $f\left(x\right)=0\iff y^2+1-2\frac{1}{2}y=0$, dus $y=2\text{ of }y=\frac{1}{2}$, dus $x=4\text{ of }x=\frac{1}{4}$.

De oppervlakte is: $\mathrm{‐}\underset{\frac{1}{4}}{\overset{4}{{\displaystyle \int }}}f(x)\text{d}x={\left[\mathrm{‐}(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}-2\frac{1}{2}x)\right]}_{\frac{1}{4}}^4=1\frac{1}{8}$.

$f^{″}(x)=\mathrm{‐}\frac{1}{4}{x}^{\mathrm{‐}\frac{3}{2}}+\frac{3}{4}{x}^{\mathrm{‐}2\frac{1}{2}}$ en $f^{″}\left(x\right)=0\iff x=3$, dus het buigpunt is $\left(\mathrm{3,}\frac{4}{3}\sqrt{3}-2\frac{1}{2}\right)$.

Noem de gevraagde zijde $x$, dan volgt uit gelijkvormigheid: $\frac{x}{10}=\frac{8-h}{8}$, dus $x=10-1\frac{1}{4}h$.

$O\left(h\right)=\frac{3}{4}h\left(10-1\frac{1}{4}h\right)$ heeft als grafiek een bergparabool. $O\left(0\right)=O\left(8\right)=0$, dus $O$ is maximaal als $h=4$, de doorsnede is dan $3$ bij $5$, niet vierkant.

$\underset{0}{\overset{8}{{\displaystyle \int }}}O(h)\text{d}h=$ ${\left[\frac{15}{4}{h}^2-\frac{5}{16}{h}^3\right]}_0^8=80$.

Het vierkant wentelen geeft een cilinder als omwentelingslichaam met inhoud $\text{π}\cdot {16}^3$.
De cilinder wordt uitgehold met het omwentelingslichaam dat je krijgt door de grafiek van $f$ om de $x$-as te wentelen. De inhoud hiervan is $\underset{1}{\overset{17}{{\displaystyle \int }}}\text{π}\cdot {\left(\frac{16}{\sqrt{x}}\right)}^2\text{d}x={\left[256\text{π}\cdot \ln \left(x\right)\right]}_1^{17}=\text{π}\cdot 256\ln (17)$.
De inhoud van het gevraagde omwentelingslichaam is het verschil van die twee, dus $\text{π}\cdot (4096-256\ln (17))$.

$AB=AD=\frac{16}{\sqrt{a}}$, dus $b=a+\frac{16}{\sqrt{a}}$.
$b^{\prime }\left(a\right)=1-\frac{8}{a\sqrt{a}}$ en $b^{\prime }\left(a\right)=0\iff a\sqrt{a}=8$, dus $b$ is minimaaal als $a=4$.
De minimale waarde van $b$ is $12$.

$\frac{f\left(4\right)-f\left(0\right)}{4-0}$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)}\text{d}x={\left[f\left(x\right)\right]}_0^2=1$, dus de gemiddelde helling is: $\frac{1}{2}$;
ja: $\frac{f\left(2\right)-f\left(0\right)}{2-0}=\frac{1}{2}$

${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)}\text{d}x={\left[f\left(x\right)\right]}_a^b=f(b)-f(a)$

Een formule voor de functie $h$ die lijn $AB$ als grafiek heeft is: $h\left(x\right)=3-x$.
${\displaystyle \underset{0}{\overset{3}{\int }}x}\cdot \left(3-x\right)\text{d}x={\left[1\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3=4\frac{1}{2}$ en de oppervlakte van driehoek $OAB$ is $4\frac{1}{2}$, dus volgens bovenstaande is $x_Z=1$. Vanwege symmetrie is het zwaartepunt $\left(\mathrm{1,1}\right)$.

We definiëren de functie $j$ door: $j\left(x\right)=3$ als $0\le x\le 1$ en $j\left(x\right)=\frac{3}{x}$ als $1\le x\le 3$. Dan ${\displaystyle \underset{0}{\overset{3}{\int }}x\cdot j\left(x\right)}\text{d}x=$ ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}3x}\text{d}x$ $+{\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}3}\text{d}x=$ ${\left[1\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1+{\left[3x\right]}_1^3$ $=1\frac{1}{2}+6=7\frac{1}{2}$.
De oppervlakte van het vlakdeel is $3+{\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{3}{x}}\text{d}x=3+{\left[3\cdot \ln \left(x\right)\right]}_1^3=$ $3+3\cdot \ln \left(3\right)$.
Dus de $x$-coördinaat van het zwaartepunt is: $\frac{5}{2+2\cdot \ln \left(3\right)}$.

$h\cdot 2\sqrt{R^2-h^2}\Delta h$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}2h\sqrt{R^2-h^2}\cdot \text{d}h}={\left[\mathrm{‐}\frac{2}{3}{\left(R^2-h^2\right)}^{1\frac{1}{2}}\right]}_0^R=\frac{2}{3}{R}^3$, dus het zwaartepunt ligt op hoogte $\frac{4R}{3\text{π}}$.

$R\cdot \sin (\text{α})=h$, straal breedtecirkel is $r=R\cdot \cos (\text{α})$.

$2\text{π}r\cdot R\Delta \text{α}=2\text{π}{R}^2\cdot \cos (\text{α})\cdot \Delta \text{α}$

Als $\Delta \text{α}\to 0$, dan wordt de som ${\displaystyle \sum 2\text{π}{R}^2\cdot \cos (\text{α})\cdot \Delta \text{α}}$ de integraal
${\displaystyle \underset{\text{β}}{\overset{\text{γ}}{\int }}2\text{π}{R}^2\cdot \cos (\text{α})\text{dα}}$.

${\displaystyle \underset{\text{β}}{\overset{\text{γ}}{\int }}2\text{π}{R}^2\cdot \cos (\text{α})\text{dα}}={\left[2\pi R\cdot R\cdot \sin (\text{α})\right]}_{\text{β}}^{\text{γ}}$ $=2\text{π}R\left(R\cdot \sin (\text{γ})-R\cdot \sin (\text{β})\right)$ $=2\text{π}R\left(h_2-h_1\right)$

$2\text{π}R\cdot 2R=4\text{π}{R}^2$