1

Bereken de oppervlakte het vlakdeel onder de grafiek van de functie $y = \frac{6}{\sqrt{x}}$ op $[1,4]$ .

2

Geef van de volgende functies $f$ een primitieve $F$ .

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$	$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$
$f (x) = {(\sqrt[3]{x} + 1)}^{2}$	$f (x) = \cos^{2} (x)$

(hint)

Maak bij de eerste twee een deling.

3

Bepaal aan de hand van grafieken de volgende integralen:

$\int_{‐ 2}^{2} x \cdot {sin}^{2} (x) d x$ en $\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} + \sin^{2} (x)) d x$ .

4

De functie $f$ met $f (x) = \frac{2}{\cos (x)}$ heeft als primitieve de functie $F$ met $F (x) = \ln (1 + \sin (x)) - \ln (1 - \sin (x))$ .

a

Toon dat aan.

b

Wat is het domein van $f$ en wat het domein van $F$ ?

5

De lijn $x + y = 7$ en de hyperbool $x y = 6$ sluiten een gebied in, zie figuur.

Bereken de oppervlakte van dat gebied exact.

6

Gegeven is de functie $f : x \to 5 x \cdot e^{‐ x}$ .
Een functie in de vorm $F (x) = (a x + b) \cdot e^{‐ x}$ voor zekere getallen $a$ en $b$ is een primitieve van $f$ .

a

Bereken $a$ en $b$ exact.

De lijn $x = 5$ , de $x$ -as en de grafiek van de functie sluiten een gebied in, zie figuur.

b

Bereken de oppervlakte van dit gebied exact.

7

Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ met $f (x) = 2 \ln (x)$ en
$g (x) = \ln (12 - x)$ .

a

Geef een vergelijking van de asymptoot van de grafiek van $f$ en van de grafiek van $g$ .

b

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ met de grafiek van $g$ exact.

In paragraaf 4 hebben we gezien: de functie $P$ met
$P (x) = x \ln (x) - x$ heeft als afgeleide $P^{'} (x) = \ln (x)$ .

c

Bepaal een primitieve van $f$ en van $g$ .

In de figuur is het gebied ingesloten door de $x$ -as en de grafieken van $f$ en $g$ gekleurd.

d

Bereken de oppervlakte van dit gebied exact.

Een lijn evenwijdig aan de $x$ -as snijdt de grafiek van $f$ in $A$ en de grafiek van $g$ in $B$ zó, dat $A B = 9$ .

e

Bereken de eerste coördinaat van $A$ exact.

8

De functie $f$ wordt gegeven door $f (x) = \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ . De grafiek van $f$ is symmetrisch ten opzichte van de $y$ -as. Gegeven is $p$ , met $p > 0$ . In de figuur is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$ , de $x$ -as en de lijnen met vergelijking $x = ‐ p$ en $x = p$ gekleurd.

De oppervlakte van dit gebied noemen we $A (p)$ .
Een primitieve $F$ van $f$ wordt gegeven door $F (x) = \frac{‐ 1}{e^{x} + 1}$ .
Er geldt: $A (p) = 1 - \frac{2}{e^{p} + 1}$ .

a

Bewijs met behulp van de gegeven primitieve functie dat inderdaad geldt: $A (p) = 1 - \frac{2}{e^{p} + 1}$ .

Als $p$ onbegrensd toeneemt, nadert $A (p)$ tot een limietwaarde $L$ .
Er is een waarde van $p$ waarvoor $A (p)$ de helft is van $L$ .

b

Bereken exact deze waarde van $p$ .

9

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{x}$ . Op de $x$ -as ligt het punt $A (a,0)$ , met $a > 1$ .
Het vierkant met zijden $O A$ en $O B$ wordt door de grafiek van $f$ in twee stukken verdeeld.
Het stuk met het punt $A$ , in de figuur gekleurd, heeft oppervlakte $3$ .

Bereken $a$ exact.

10

Bereken $\int_{0}^{2} | x^{2} - x | d x$ exact.

11

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 \frac{1}{2}$ .

a

Bereken de nulpunten van $f (x)$ exact.

Het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as en de grafiek van $f$ is in de figuur gekleurd.

b

Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel exact.

De grafiek van $f$ heeft een buigpunt.

c

Bereken de coördinaten van dat punt exact.

12

Lijnstuk $A B$ ligt in een horizontaal vlak. Lijnstuk $C D$ is evenwijdig aan dat vlak, op afstand $8$ . Lijnstuk $A B$ heeft lengte $10$ en lijnstuk $C D$ heeft lengte $6$ . De lijnstukken $A B$ en $C D$ staan loodrecht op elkaar. $E$ en $F$ zijn de middens van $A B$ en $C D$ . $E F$ staat loodrecht op $A B$ en op $C D$ . Zie figuur. Door de punten $A$ en $B$ te verbinden met de punten $C$ en $D$ ontstaat het viervlak $A B C D$ . In het viervlak brengen we horizontale doorsneden aan. Omdat $A B$ en $C D$ loodrecht op elkaar staan, zijn de doorsneden rechthoeken.

In de figuur is als voorbeeld op twee hoogten de doorsnede getekend. (De hoogte wordt gemeten langs het lijnstuk $E F$ .) In de laatste figuur is zo’n doorsnede op hoogte $h$ boven het horizontale vlak getekend, met $0 < h < 8$ . Met behulp van driehoek $A B F$ kan de lengte van de zijde van de rechthoek die in vlak $A B D$ ligt, in $h$ worden uitgedrukt. De lengte van deze zijde is gelijk aan $10 - 1 \frac{1}{4} h$ .

a

Toon dit aan.

De lengte van de andere zijde is gelijk aan $\frac{3}{4} h$ .

b

Onderzoek door een exacte berekening of de doorsnede met de grootste oppervlakte een vierkant is.

Omdat we de oppervlakte van de doorsnede op elke hoogte $h$ kennen, kunnen we met een integraal de inhoud van het viervlak $A B C D$ berekenen.

c

Bereken exact de inhoud van het viervlak $A B C D$ .

13

figuur 1

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = \frac{16}{\sqrt{x}}$ .
Van vierkant $A B C D$ liggen $A$ en $B$ op de $x$ -as en het hoekpunt $D$ op de grafiek van $f$ . Zie figuur 1.
De $x$ -coördinaten van $A$ en $B$ noemen we respectievelijk $a$ en $b$ , met $0 < a < b$ . De coördinaten van $D$ zijn dan $(a, \frac{16}{\sqrt{a}})$ .
Voor $a = 1$ ontstaat het vierkant met zijde $16$ . $V$ is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt. Vlakdeel $V$ wordt gewenteld om de $x$ -as.

a

Bereken exact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam.

In figuur 2 zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant $A B C D$ getekend.

figuur 2

Bij de getekende situaties is de afstand van punt $B$ tot de oorsprong aangegeven. Deze afstand $b$ hangt af van $a$ , de
$x$ -coördinaat van $A$ . Als $a$ vanaf 0 toeneemt, neemt $b$ eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van $a$ waarvoor $b$ minimaal is.

b

Bereken exact de minimale waarde van $b$ .

14

figuur 1

De gemiddelde helling
De functie hiernaast heeft gemiddelde helling

\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 2}{4}

.

a

Hoe kun die gemiddelde helling ook anders uitrekenen?

figuur 2

We bekijken de functie $f$ met $f (x) = 1 + \frac{1}{4} x^{2}$ op het interval $[0,2]$ . In figuur 2 staat de grafiek. De helling van de grafiek is in elk punt anders. In het punt met eerste coördinaat $x$ is de helling $\frac{1}{2} x$ . We verdelen het interval in stukken van lengte $Δ x$ . Op deze stukken is de helling nagenoeg constant $\frac{1}{2} x$ .
$\sum \frac{1}{2} x Δ x$ is een benadering voor de helling op $[0,2]$ , die beter is naarmate de verdeling fijner is. De gemiddelde helling is dus: $\frac{\int_{0}^{2} f^{'} (x) d x}{2}$ .

b

Bereken de gemiddelde helling exact.
Had je die ook anders kunnen berekenen?

In het algemeen is de gemiddelde helling van een (differentieerbare) functie $f$ op het interval $[a, b]$ : $\frac{\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x}{b - a}$ .

c

Laat zien dat dit gelijk is aan: $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

15

Bekijk in figuur 1 het vlakdeel $V$ .

figuur 1

De $x$ -coördinaat van het zwaartepunt $Z (x_{Z}, y_{Z})$ van $V$ kun je als volgt berekenen: $x_{Z} = \frac{1}{oppervlakte van V} \cdot \int_{p}^{q} x \cdot h (x) d x$ . Hierbij is $h (x)$ de bij $x$ horende hoogte van $V$ , voor $p \leq x \leq q$ . De berekening van $y_{Z}$ verloopt op een soortgelijke manier. In de volgende vragen zijn de vlakdelen symmetrisch in de lijn $y = x$ . Dus geldt $y_{Z} = x_{Z}$ . De hoekpunten van driehoek $O A B$ hieronder zijn $O (0,0)$ , $A (3,0)$ en $B (0,3)$ .

figuur 2

figuur 3

a

Toon met de formule hierboven aan dat het zwaartepunt van driehoek $O A B$ in figuur 2 het punt $(1,1)$ is.

Het vlakdeel $O A P Q B$ figuur 3 wordt begrensd door de $x$ -as, de $y$ -as, de lijn $x = 3$ , de lijn $y = 3$ en de hyperbool met vergelijking $x y = 3$ .

b

Bereken exact de $x$ -coördinaat van het zwaartepunt van dit vlakdeel.

16

We gaan op zoek naar het zwaartepunt van een homogene halve cirkel. De straal van de cirkel is $R$ en het middelpunt $M$ . Het zwaartepunt ligt op de symmetrieas. We benaderen de halve cirkel met een stapel rechthoeken met hoogte $Δ h$ . De halve cirkel snijdt de verticale zijden van de rechthoeken middendoor. De gemiddelde hoogte van een rechthoek noemen we $h$ .

a

Geef een formule voor het moment van de rechthoek op hoogte $h$ ten opzichte van $M$ .

Een benadering van het moment van de halve cirkel ten opzichte van $M$ is $\sum 2 h \sqrt{R^{2} - h^{2}} \cdot Δ h$ . Deze benadering is beter naarmate $Δ h$ dichter bij $0$ ligt. Dus het zwaartepunt heeft afstand $\frac{2}{π R^{2}} \int_{0}^{R} 2 h \sqrt{R^{2} - h^{2}} \cdot d h$ tot $M$ .

b

Bereken deze integraal exact en bepaal hoe hoog het zwaartepunt boven $M$ ligt.

17

Van een cirkelschijf met middelpunt $(0,0)$ en straal $1$ is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie $f$ die gegeven is door $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ op het domein $[0,1]$ . Zie het plaatje links.

We wentelen het kwart van de cirkelschijf om de $x$ -as. Het omwentelingslichaam dat dan ontstaat is een halve bol. Zie het plaatje rechts.
Het zwaartepunt van de halve bol ligt op de positieve $x$ -as.
Voor de $x$ -coördinaat $x_{Z}$ van dit zwaartepunt geldt: $x_{Z} = \frac{M}{V}$ , waarbij $M = π \cdot \int_{0}^{1} x \cdot {(f (x))}^{2} d x$ en $V$ is de inhoud van de halve bol.
De inhoud van een bol met straal $r$ is gelijk aan $\frac{4}{3} π r^{3}$ .

Bereken $x_{Z}$ exact.

18

De oppervlakte van een bol
We bekijken een bol met straal $R$ . Hiernaast zie je een verticale doorsnede door het middelpunt van de bol. De hoogte boven het vlak van de evenaar noemen we $h$ . Bij elke hoogte $h$ hoort een hoek $α$ (de breedtegraad).

a

Bepaal het verband tussen $α$ , $R$ en $h$ . Druk ook de straal van de breedtecirkel in $R$ en $α$ uit.

We veranderen $α$ een beetje met $Δ α$ . De oppervlakte van de bol tussen de hoogten bij $α$ en $α + Δ α$ is, omdat $Δ α$ klein is, goed te benaderen door de oppervlakte van de zijkant van een cilinder met hoogte $R \cdot Δ α$ en straal $R \cdot \cos α$ .

b

Druk deze oppervlakte in $R$ , $α$ en $Δ α$ uit.

c

Laat zien dat de oppervlakte van de bol tussen de breedtegraden $β$ en $γ$ berekend kan worden met:
$\int_{β}^{γ} 2 π R^{2} \cdot \cos (α) dα$ .

Laat $h_{1}$ de hoogte bij $β$ en $h_{2}$ de hoogte bij $γ$ zijn.

d

Laat zien dat de oppervlakte van de bol tussen de hoogten $h_{1}$ en $h_{2}$ gelijk is aan: $2 π R (h_{2} - h_{1})$ .

e

Wat is dus de oppervlakte van een bol met straal $R$ ?