Een functie $F$ heet primitieve functie van de functie $f$ op het interval $[a,b]$ als $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ voor alle $x$ in $[a,b]$.
Gegeven is een functie $f$ op het interval $[a,b]$.
Als $F$ een primitieve van $f$ is, dan is de functie $x\to F\left(x\right)+c$ ook een primitieve van $f$ voor elke constante $c$.
Omgekeerd: als $F_1$ en $F_2$ primitieven zijn van $f$, dan is $F_1-F_2$ constant.

We definiëren ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=}F\left(b\right)-F\left(a\right)$; hierbij is $F$ een primitieve van $f$ op $[a,b]$.
We noemen ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=}F\left(b\right)-F\left(a\right)$ een bepaalde integraal, dit in tegenstelling tot een primitieve die we wel een onbepaalde integraal noemen.

${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x}$ is de gesigneerde oppervlakte op het interval $[a,b]$, dat wil zeggen: de oppervlakte tussen de $x$-as en de grafiek van $f$ moet je positief rekenen als die boven de $x$-as ligt en anders negatief.

Zo is bijvoorbeeld in de figuur hiernaast
${\displaystyle \underset{\mathrm{‐}1}{\overset{11}{\int }}f\text{(}x\text{)}\text{d}x}=25-26+20=19$.

Hoofdstelling van de integraalrekening
De functie $x\to {\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t}$ heeft als afgeleide de functie $f$.

${\displaystyle \underset{p}{\overset{q}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x}$ is de gesigneerde oppervlakte tussen de grafieken van $f$ en $g$ op het interval $[p,q]$, zie figuur.

(Als de grafiek van $f$ boven die van $g$ ligt, moet je de oppervlakte tussen de grafieken positief rekenen en anders negatief.)
In het bijzonder: als de grafiek van $f$ op het hele interval $[a,b]$ boven de grafiek van $g$ ligt, dan is de oppervlakte tussen de grafieken van $f$ en $g$ op $[a,b]$: ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x}$.

.

Door een lichaam $L$ wordt een getallenlijn (as) gestoken. $L$ wordt begrensd door vlakken op hoogte $a$ en $b$ loodrecht op de as, met $a<b$.
De oppervlakte van het lichaam op hoogte $x$ noemen we $O\left(x\right)$. Dan is de inhoud van $L$$={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}O\left(x\right)\text{d}x}$.

Een bijzonder gevolg hiervan is het volgende.

De inhoud van een omwentelingslichaam

Stelling
$f$ is een functie op het interval $[a,b]$.
Als je het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $x$-as om de $x$-as wentelt (figuur links), krijg je een lichaam met inhoud: ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\text{π}{y}^2\text{d}x}$.
Als je het gebied tussen de grafiek van $f$ en de $y$-as om de $y$-as wentelt (figuur rechts), krijg je een lichaam met inhoud: ${\displaystyle \underset{p}{\overset{q}{\int }}\text{π}{x}^2\text{d}y}$.
Hierbij is:

1. $p=f\left(a\right)$ en $q=f\left(b\right)$ als $f$ stijgend is,

2. $p=f\left(b\right)$ en $q=f\left(a\right)$ als $f$ dalend is.