Een cirkel met straal $3$ heeft op hoogte $x$ boven het middelpunt, breedte $\sqrt{9-x^2}$.
De doorsnede van een kruisgewelf van hoogte $3$ met een vlak op hoogte $x$ is een vierkant met zijden $2\sqrt{9-x^2}$ als doorsnede. De oppervlakte hiervan is ${\left(2\sqrt{9-x^2}\right)}^2$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{3}{\int }}4\left(9-x^2\right)}\text{d}x={\left[4\left(9x-\frac{1}{3}{x}^3\right)\right]}_0^3=72$

De doorsnede op hoogte $y$ is een gebied tussen twee concentrische cirkels, de een met straal $x_1$ en de ander met straal $x_2$. In de figuur hieronder links is een bovenaanzichtgetekend. Het middelpunt van de twee concentrische cirkels is het punt op de $y$-as op hoogte $y$. Er geldt: $O\left(y\right)=\text{π}{x_2}^2-\text{π}{x_1}^2$, dus $O\left(y\right)=\text{π}\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)$.
Met behulp van de figuur hieronder rechts zie je: $x_2=4+\sqrt{4-y^2}$ en $x_1=4-\sqrt{4-y^2}$, dus $x_2-x_1=2\sqrt{4-y^2}$ en $x_2+x_1=8$, dus $O\left(y\right)=$$16\text{π}\sqrt{4-y^2}$.
De twee figuren zijn niet op dezelfde schaal getekend.

$\mathrm{315,827...\; .}$

De cirkel met middelpunt $O$ en straal $2$ heeft vergelijking $x^2+y^2=4$. Voor de punten $(x,y)$ op het deel boven de $x$-as geldt: $y=\sqrt{4-x^2}$. De oppervlakte tussen de grafiek van $y=\sqrt{4-x^2}$ en de $x$-as is: ${\displaystyle \underset{\mathrm{‐}2}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}}\text{d}x$. De uitkomst is de oppervlakte van een halve cirkel met straal $2$, dus $2\text{π}$.

$16\text{π}\cdot 2\text{π}=32{\text{π}}^2$.

De hartomtrek van de torus is $2\text{π}\cdot 4$ en de cirkel heeft oppervlakte $\text{π}\cdot 4$. De cilinder heeft dan inhoud $8\text{π}\cdot 4\text{π}=32{\text{π}}^2$. Klopt.

$v^{\prime }(t)=a\cdot f\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}f\cdot t}$ en $\mathrm{‐}f\cdot v(t)+10=\mathrm{‐}f\cdot \left(\frac{10}{f}-a\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}f\cdot t}\right)+10=f\cdot a\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}f\cdot t}$, beide zijn gelijk.

$a\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}f\cdot t}$ is op den duur verwaarloosbaar, dus $\frac{10}{f}=5$, dus $f=2$.

$v(t)=5-a\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}2\cdot t}$ en $v\left(0\right)=3$, dus $a=2$.

$s(t)={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(5-2\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}2\cdot t}\right)\text{d}t}$ $={\left[5t+{\text{e}}^{\mathrm{‐}2t}\right]}_0^t=5t+{\text{e}}^{\mathrm{‐}2t}-1$.

$Q(s)={\displaystyle \underset{0}{\overset{s}{\int }}6\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}t}\text{d}t}=12-12\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}s}$

$12$μC. Deze correspondeert met de oppervlakte onder de grafiek van $i$ op het interval $\text{[0}\text{,}\to \text{>}$.

$12\cdot {\text{e}}^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}s}=\mathrm{0,1}\cdot 12$, dus $s=2\ln \left(10\right)$$=\mathrm{4,61}$.

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\mathrm{‐}\mathrm{9,8}t-2000\ln (12.700-124t)\right)$ $=\mathrm{‐}\mathrm{9,8}-\frac{\mathrm{‐}2000\cdot 124}{12.700-124t}$, klopt.
$v\left(0\right)=0$, dus $c=2000\ln \left(12.700\right)\approx 18900$.

De brandstoftank is leeg als $t=\frac{12.700-4040}{124}\approx 70$. De snelheid is dan $v\left(70\right)\approx 1616$ m/s, dus ongeveer $5800$ km/u.

Dan moet je ${\displaystyle \underset{0}{\overset{70}{\int }}v\left(t\right)\text{d}t}$ uitrekenen. Dit levert met de GR ongeveer $41$ km op.

$x^{\prime }\left(t\right)=1+\cos \left(t\right)$ en $y^{\prime }\left(t\right)=\mathrm{‐}\sin \left(t\right)$, dus ${\left(v\left(t\right)\right)}^2={(1+\cos (t\left)\right)}^2+{\sin }^2\left(t\right))=$ $2+2\cos \left(t\right)=$ $=2+2\left(2{\cos }^2\right(\frac{1}{2}t)-1)=$ $4{\cos }^2\left(\frac{1}{2}t\right)$, klopt.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\text{π}}{\int }}\left|2\text{cos}\left(\frac{1}{2}t\right)\right|}\text{d}t={\displaystyle \underset{0}{\overset{\text{π}}{\int }}2\text{cos}\left(\frac{1}{2}t\right)}\text{d}t=$ ${\left[4\sin \left(\frac{1}{2}t\right)\right]}_0^{\text{π}}=4$ en
${\displaystyle \underset{\text{π}}{\overset{2\text{π}}{\int }}\left|2\text{cos}\left(\frac{1}{2}t\right)\right|}\text{d}t={\displaystyle \underset{\text{π}}{\overset{2\text{π}}{\int }}\mathrm{‐}2\text{cos}\left(\frac{1}{2}t\right)}\text{d}t=$ ${\left[\mathrm{‐}4\sin \left(\frac{1}{2}t\right)\right]}_{\text{π}}^{\text{2π}}=4$ , dus de lengte van de weg is $8$.

De relatie tussen de eerste en de tweede coördinaat van de punten van de baan van het bewegend punt en van de grafiek van de functie is hetzelfde.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+{\text{(}1\frac{1}{2}\sqrt{x}\text{)}}^2}}\text{d}x={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+2\frac{1}{4}x}}\text{d}x=$ ${\left[\frac{8}{27}{\left(1+2\frac{1}{4}x\right)}^{1\frac{1}{2}}\right]}_0^4=\frac{8}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)$.

$f\left(0\right)=1\iff \frac{1}{a}=1\iff a=1$

De hoogte van de palen is $f(1)=\frac{1}{2}(\text{e}+{\text{e}}^{\mathrm{‐}1})$.

$f^{\prime }{\left(x\right)}^2=\frac{1}{4}({\text{e}}^{2x}+{\text{e}}^{\mathrm{‐}2x})-\frac{1}{2}$, dus $f^{\prime }{\left(x\right)}^2+1=\frac{1}{4}{({\text{e}}^x+{\text{e}}^{\mathrm{‐}x})}^2$; het klopt dus.

${\displaystyle \underset{\mathrm{‐}1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+f^{\prime }{\text{(}x\text{)}}^2}}=$ ${\displaystyle \underset{\mathrm{‐}1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)}\text{d}x={\left[\frac{1}{2}{\text{e}}^x-\frac{1}{2}{\text{e}}^{\mathrm{‐}x}\right]}_{\mathrm{‐}1}^1=\text{e}-{\text{e}}^{\mathrm{‐}1}$.

$\frac{x}{6}\cdot 4=\frac{2}{3}x$, $\frac{2}{3}x\cdot \Delta x$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{6}{\int }}\frac{2}{3}{x}^2}\text{d}x={\left[\frac{2}{9}{x}^3\right]}_0^6=48$.

Dit volgt uit het feit dat de 'meetkundige' zwaartelijnen elkaar verdelen in de verhouding $1:2$.

$\frac{2}{3}\text{π}$

De straal van de schijf is $\sqrt{1-h^2}$, dus de schijf heeft massa $\text{π}\cdot \left(1-h^2\right)\cdot \Delta h$.

De schijf op afstand $h$ ten opzichte van $M$ heeft moment: $h\cdot \text{π}\cdot \left(1-h^2\right)\cdot \Delta h$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}h\cdot \text{π}\cdot \left(1-h^2\right)}\text{d}h={\left[\text{π}\cdot \left(\frac{1}{2}{h}^2-\frac{1}{4}{h}^4\right)\right]}_0^1=\frac{1}{4}\text{π}$, dus het zwaartepunt ligt op $\frac{\frac{1}{4}\text{π}}{\frac{2}{3}\text{π}}=\frac{3}{8}$ van $M$.

We vervangen de kegel door een stapel schijven van dikte $\Delta x$ die precies op hun gemiddelde hoogte dezelfde doorsnede hebben als de kegel. Een schijf waarvan de gemiddelde hoogte op $x$ eenheden van de top ligt, heeft straal $\frac{x}{h}\cdot r$, dus massa $\text{π}\cdot \frac{r^2\cdot x^2}{h^2}\cdot \Delta x$.
Bij het nemen van de limiet gaat ${\displaystyle \sum \text{π}\cdot x\cdot \frac{r^2\cdot x^2}{h^2}\cdot \Delta x}$ over in de integraal ${\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}x\cdot \text{π}\cdot \frac{r^2\cdot x^2}{h^2}}\text{d}x$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}x\cdot \text{π}\cdot \frac{r^2\cdot x^2}{h^2}}\text{d}x={\left[\text{π}\cdot \frac{r^2\cdot x^4}{4h^2}\right]}_0^h=\frac{1}{4}\text{π}\cdot r^2\cdot h^2$. De inhoud van de kegel is $\frac{1}{3}\text{π}\cdot r^2\cdot h$, dus het zwaartepunt ligt op $\frac{\frac{1}{4}\text{π}\cdot r^2\cdot h^2}{\frac{1}{3}\text{π}\cdot r^2\cdot h}=\frac{3}{4}h$ van de top.