kruisgewelf

De inhoud van een kruisgewelf
Een tongewelf heeft de vorm van een halve cilinder, zie de figuur hieronder links. Als je twee tongewelven hebt met dezelfde straal, die elkaar op dezelfde hoogte loodrecht ontmoeten, noem je het gemeenschappelijke deel een kruisgewelf.
In de figuur hieronder rechts is een kruisgewelf getekend. Het kruisgewelf is ontstaan uit twee tongewelven met straal $3$ . De hoogte waarop het kruisgewelf zo groot mogelijke oppervlakte heeft, is hoogte $0$ .

Toon aan dat de oppervlakte van de doorsnede op $x$ eenheden hoogte gelijk is aan $36 - 4 x^{2}$ .

Bereken de inhoud van het kruisgewelf exact.

De inhoud van een torus
Als je de cirkel (in de figuur links ) met straal $2$ en middelpunt $(4,0)$ om de $x$ -as wentelt, krijg je een bol.

Wentel je de cirkel om de $y$ -as, dan krijg je een torus. In de figuur hierboven rechts is een torus getekend. Een opgepompte binnenband bijvoorbeeld heeft de vorm van een torus.
We doorsnijden de torus op hoogte $y$ . De oppervlakte van de doorsnede noemen we $O (y)$ .
Er geldt: $O (y) = 16 π \sqrt{4 - y^{2}}$ .

Laat dat zien.

(hint)

Laat zien dat

O (y) = π {(4 + \sqrt{4 - y^{2}})}^{2} - π {(4 - \sqrt{4 - y^{2}})}^{2}

en werk de haakjes weg.

De inhoud van de torus is dus $\int_{‐ 2}^{2} 16 π \sqrt{4 - x^{2}} d x$ .

Bereken de inhoud van de torus met de GR.

Wij kennen geen primitieve van $x \to \sqrt{4 - x^{2}}$ .
Toch kun je de waarde van $\int_{‐ 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$ exact bepalen.

Doe dat. Licht je antwoord toe.

(hint)

De grafiek van

y = \sqrt{4 - x^{2}}

is een halve cirkel.

Toon aan dat inhoud van de torus gelijk is aan $32 π^{2}$ .

Door zagen en buigen kun je van de torus een cilinder 'maken'.
Een cilinder met als hoogte de hartomtrek van de torus en straal $2$ heeft dezelfde inhoud als de torus.

Ga dat na.

Een kogeltje valt in een bak met een of andere vloeistof. De snelheid van het kogeltje, $t$ seconden nadat het in die vloeistof is gekomen, is $v (t)$ m/s.
De val van het kogeltje wordt versneld door de gravitatiekracht en vertraagd door een wrijvingskracht, die evenredig met de snelheid is, dus:
$•$ $v^{'} (t) = ‐ f \cdot v (t) + 10$ .
In de gelijkheid $•$ hierboven hebben we de valversnelling op $10$ m/s² afgerond; de wrijvingsconstante $f$ is afhankelijk van de "stroperigheid" van de vloeistof; $f$ is positief. De opwaartse druk is verwaarloosd.
Een functie van de vorm $v (t) = \frac{10}{f} - a \cdot e^{‐ f \cdot t}$ , waarbij $a$ een willekeurig getal is, voldoet aan de gelijkheid $•$ .

Laat dat zien.

Elke functie die aan $•$ voldoet is van de vorm $v (t) = \frac{10}{f} - a \cdot e^{‐ f \cdot t}$ . Dit bewijzen we niet.
De snelheid van het kogeltje wordt na enige tijd nagenoeg constant: $5$ m/s.

Bereken hieruit $f$ .

De snelheid waarmee het kogeltje in de vloeistof komt is $3$ m/s.

Bereken hieruit $a$ .

De afstand die het kogeltje in de vloeistof na $t$ seconden heeft afgelegd noemen we $s (t)$ .

Geef een formule voor $s (t)$ .

Met een spanningsbron $V$ wordt een condensator $C$ opgeladen.

$R$ is een weerstand. Na $t$ seconden is de stroom in de draad: $i (t) = 6 \cdot e^{‐ \frac{1}{2} t}$ Hierboven is de grafiek van $i$ als functie van $t$ getekend. De lading $Q (s)$ op de condensator na $s$ seconden (in μC) komt overeen met de oppervlakte van het gearceerde deel.

Geef een formule voor $Q (s)$ .

Wat is de limietlading op de condensator? Met welke oppervlakte in het plaatje correspondeert deze?

Op welk tijdstip is de condensatorvoor $90$ % opgeladen (in twee decimalen)?

V2-raket, Peenemünde
Foto: Chron-Paul

In de tweede wereldoorlog vuurden de Duitsers V2-raketten af op Londen en Antwerpen. Men noemde een V2 ook wel een vliegende bom. Zij werden verticaal gelanceerd. Pas op het eind van de stijging werden ze horizontaal gedraaid en zetten ze koers naar hun doel. We bekijken het verticale deel van de baan van de V2. De V2 heeft een startmassa van $12.700$ kg; het grootste deel daarvan is brandstof. Op het hoogste punt van de baan is de brandstof op; de raket weegt dan nog maar $4040$ kg. Per seconde wordt $124$ kg verbrand. De verbrandingsgassen verlaten de V2 met een snelheid van $2000$ m/s. Dit zorgt voor een constante aanstuwing van $2000 \cdot 124$ N. Hierdoor krijgt de raket een versnelling. Samen met de zwaartekracht is deze versnelling $a = ‐ 9,8 + \frac{2000 \cdot 124}{12.700 - 124 t}$ .
De versnelling geeft de raket een snelheid die $t$ seconden na de start $v (t)$ m/s is.
Er geldt: $v (t) = \int_{0}^{t} (‐ 9,8 + \frac{2000 \cdot 124}{12.700 - 124 t}) d t$ .
Hieruit volgt dat: $v (t) = ‐ 9,8 t - 2000 \ln (12.700 - 124 t) + c$ , voor zekere waarde van $c$ .

Laat dat zien en bereken $c$ .

Als de brandstoftank leeg is, houdt de stuwing op en is de snelheid het grootst.

Bereken de maximale snelheid langs algebraïsche weg.

Welke afstand heeft de V2 afgelegd op het moment dat de brandstoftanks leeg zijn?

De lengte van een kromme

In het hoofdstuk Snelheid en richting zul je het volgende zien.
Het punt $P$ beweegt volgens ${\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}$ .
Dan is de snelheidsvector waarmee $P$ beweegt: $(\begin{array}{l} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{array})$ en de grootte van de snelheid is: $v (t) = \sqrt{f^{'} {(t)}^{2} + g^{'} {(t)}^{2}}$ .
Inmiddels weten we dat de afgelegde weg op het tijdsinterval $[a, b]$ gelijk is aan: $\int_{a}^{b} v (t) d t$ .

Een kogeltje beweegt volgens: ${\begin{cases} x (t) = t + \sin (t) \\ y (t) = \cos (t) \end{cases}$ .

Toon aan dat de (grootte van de) snelheid gelijk is aan:
$v (t) = 2 | \cos (\frac{1}{2} t) |$ .

(hint)

Noem

\frac{1}{2} t = a

en pas een verdubbelingsformule toe.

Bereken de lengte van de weg die het kogeltje aflegt tussen de tijdstippen $0$ en $2 π$ exact.

Een punt beweegt volgens ${\begin{cases} x = t \\ y = t \sqrt{t} \end{cases} met t \geq 0$ .

Leg uit dat de baan de grafiek van de functie $f$ , met $f (x) = x \sqrt{x}$ is.

Bereken de lengte van de grafiek van $f$ op het interval $[0,4]$ .

$f$ is een differentieerbare functie op het interval $[a, b]$ . De lengte van de grafiek van $f$ op $[a, b]$ is: $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{'} {(x)}^{2}} d x$ .

Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat het punt dat volgens ${\begin{cases} x (t) = t \\ y (t) = f (t) \end{cases}$ beweegt, als baan de grafiek van $f$ heeft.

De lengte van een kromme
Het punt $P$ beweegt over de geparametriseerde kromme $K : {\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}$ .
De snelheid $v (t)$ waarmee $P$ beweegt is: $v (t) = \sqrt{f^{'} {(t)}^{2} + g^{'} {(t)}^{2}}$
De lengte van de weg die $P$ aflegt tussen de tijdstippen $t = a$ en $t = b$ is $\int_{a}^{b} v (t) d t$ .

In het bijzonder: als $f$ een functie is op het interval $[a, b]$ , dan is de lengte van de grafiek van $f$ op het interval $[a, b]$ : $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{'} {(x)}^{2}} d x$ .

Voorbeeld:

We berekenen de lengte van de grafiek van de functie $f : x \to x^{2}$ op het interval $[0,2]$ .
De lengte is $\int_{0}^{2} \sqrt{1 + f^{'} {(x)}^{2}} d x = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$ .
Een primitieve van de functie $x \to \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ is moeilijk te vinden.
Een benadering met de GR geeft: $\int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \approx 4,6$ .

De kettinglijn
Een homogeen touw wordt met zijn uiteinden aan twee even hoge palen vast gemaakt. De kromme lijn die zo ontstaat, heet kettinglijn. Dat is de grafiek van een functie $f$ met formule $f (x)$ $= \frac{1}{2 a} (e^{a x} + e^{‐ a x})$ , voor een of ander getal $a$ . De palen staan bij $x = 1$ en $x = ‐ 1$ en het touw bevindt zich in het laagste punt op hoogte $1$ boven de $x$ -as.

Bereken de bijbehorende waarde van $a$ .

Bepaal de hoogte van de palen.

Bewijs: $\sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} = f (x)$ .

Bereken de lengte van het touw exact.

Zwaartepunten

In hoofdstuk 5 van 4vb deel2 De kracht van vectoren hebben we de volgende stelling bewezen.

Stelling
De massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , … , $a_{n}$ bevinden zich op de plaatsen
$A_{1}$ , $A_{2}$ , … , $A_{n}$ . Het zwaartepunt noemen we $Z$ .
Dan: $\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + ... + \frac{a_{n}}{a} \vec{O A_{n}}$ .
Hierbij is $a = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$ .

Je kunt deze stelling ook toepassen op massapunten die op één lijn liggen. Dan ziet het er zo uit.

Stelling over zwaartepunten
Je hebt een systeem van $n$ massapunten $m_{1}$ , $m_{2}$ , ..., $m_{n}$ op een lijn en een punt $M$ op die lijn. De afstand van massapunt $m_{k}$ tot $M$ noemen we $x_{k}$ .
Dan ligt het zwaartepunt op afstand: $x =$ $\frac{\sum_{k = 1}^{n} x_{k} \cdot m_{k}}{\sum_{k = 1}^{n} m_{k}}$ van $M$ . Hierbij mogen $x$ en $x_{k}$ ook negatief zijn.
De getallen $x_{k} \cdot m_{k}$ zijn de momenten ten opzichte van $M$ .

Zie figuur.

Bereken met de formule de afstand van het zwaartepunt tot $M$ .

Het (massa)zwaartepunt van een driehoek
We nemen een gelijkbenige driehoek met hoogte $6$ en basis $4$ . Het zwaartepunt van de driehoek ligt op de zwaartelijn vanuit de top. We gaan precies berekenen hoe ver het zwaartepunt van de driehoek van de top ligt. We nemen aan dat de dichtheid van de massa van de driehoek $1$ is. De massa (=oppervlakte) van de driehoek kan goed benaderd worden door dunne rechthoeken van hoogte $Δ x$ . We maken die zó, dat hun breedte gelijk is aan de breedte van de driehoek op hoogte van het midden van zo'n rechthoek. Zie plaatje.

Bepaal de breedte van de rechthoek waarvan het midden op $x$ eenheden van de top ligt en geef een formule voor de massa (=oppervlakte) van de rechthoek.

De bijdrage van elke rechthoek is te zien als die van een puntmassa in het zwaartepunt van de rechthoek op de hoogtelijn van de driehoek. Als het zwaartepunt van de rechthoek op $x$ eenheden van de top ligt, dan is de oppervlakte $\frac{2}{3} x \cdot Δ x$ . Het moment van het systeem rechthoeken ten opzichte van de top is $\sum x \cdot \frac{2}{3} x \cdot Δ x$ .
Als je $Δ x$ naar $0$ laat gaan, vind je het moment van (massa)zwaartepunt van de driehoek ten opzichte van de top. Dat moment is dus $\int_{0}^{6} \frac{2}{3} x^{2} d x$ .

Bereken deze integraal.

Als je $Δ x$ naar $0$ laat gaan, wordt de massa van het systeem rechthoeken de massa van de driehoek. Die is $12$ . Het (massa)zwaartepunt van de driehoek ligt dus op afstand $\frac{48}{12} = 4$ eenheden van de top.

Ga na dat het massazwaartepunt samenvalt met het meetkundig zwaartepunt.

Het zwaartepunt van een halve bol

Een halve bol ligt met de vlakke kant op tafel. Neem aan: de straal is $1$ en de dichtheid is $1$ . We tekenen een as door het middelpunt $M$ van de grondcirkel loodrecht op het vlak van de tafel. We gaan de plaats van het zwaartepunt van de halve bol bepalen. Vanwege symmetrie ligt het zwaartepunt op de getekende as.

Wat is de massa van de halve bol?

We benaderen de massa van de bol met schijven van dikte $Δ h$ . Als het zwaartepunt van de schijf op hoogte $h$ ligt, nemen we als straal van de schijf de straal van de doorsnede van de halve bol op hoogte $h$ .

Druk de massa van zo'n schijf uit in $h$ .

Toon aan dat het moment van het systeem schijven ten opzichte van $M$ gelijk is aan: $\sum h \cdot π \cdot (1 - h^{2}) \cdot Δ h$ .

Het moment van de halve bol ten opzichte van $M$ kun je berekenen met een integraal.

Schrijf die integraal op en bereken hiermee dat het zwaartepunt van de halve bol op hoogte $\frac{3}{8}$ ligt.

Het zwaartepunt van een kegel
De kegel in de figuur heeft hoogte $h$ en de straal van de grondcirkel is $r$ . We gaan uitrekenen waar het zwaartepunt van de kegel ligt. Het zwaartepunt van de kegel ligt op de as. We nemen weer aan dat de dichtheid van de massa van de kegel $1$ is.

Laat zien dat het moment van het zwaartepunt van de kegel ten opzichte van de top gelijk is aan: $\int_{0}^{h} x \cdot π \cdot \frac{r^{2} \cdot x^{2}}{h^{2}} d x$ .

Toon aan dat het zwaartepunt van de kegel op hoogte $\frac{1}{4} h$ ligt.