1

Een primitieve van $y$ noemen we $Y$ .

$Y = 1 \frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{1}{2} \sqrt[3]{x^{2}}$	$\frac{3}{4} x \sqrt[3]{3 x} (= \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} x^{\frac{4}{3}})$
$Y = \frac{2}{5} \sqrt[]{x^{5}}$	$Y = ‐ \frac{1}{\sqrt{x}}$
$Y = ‐ 2 \cos (\frac{1}{2} x)$	$Y = \sin (x + π)$
$Y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x}$	$Y = ‐ \frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$
$Y = e^{x}$	$Y = ‐ e^{‐ x}$
$Y = \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x}$	$y = 2^{1 - x}$ , dus $Y = ‐ \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - x}$

2

a

-

b

Die zijn tegengesteld.

c

Puntsymmetrie ten opzichte van de oorsprong. Neem aan $x > 0$ , dan $F (‐ x) = \int_{0}^{‐ x} e^{‐ t^{2}} d t = ‐ \int_{‐ x}^{0} e^{‐ t^{2}} d t$ , en $\int_{‐ x}^{0} e^{‐ t^{2}} d t = \int_{0}^{x} e^{‐ t^{2}} d t$ , want de oppervlakte onder de grafiek van de functie $y = e^{‐ x^{2}}$ op het interval $[‐ x,0]$ is hetzelfde als de oppervlakte onder de grafiek die functie op $[0, x]$ omdat die functie symmetrisch is ten opzichte van de $y$ -as.

d

$F^{'} (x) = f (x) = e^{‐ x^{2}}$ is een positieve functie.

e

$F^{″} (x) = e^{‐ x^{2}} \cdot ‐ 2 x$ , dus $F^{″} (x)$ wisselt van teken als $x = 0$ .

3

a

$\frac{d}{d x} \frac{1}{3} \sin^{3} (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos (x)$ (kettingregel)

b

Amplitude $\frac{1}{2}$ , periode is $π$ .

c

Dit volgt rechtstreeks uit de verdubbelingsformule $\cos (2 x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

d

Een primitieve van de functie $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x)$ is $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)$ .

e

$\int_{0}^{π} f (x) d x$ $=$ ${[\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)]}_{0}^{π} = \frac{1}{2} π$ .

4

a

$f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x)$ , dus een primitieve is: $F$ met $F (x) = ‐ \frac{1}{4} \cos (2 x)$ .

b

$\int_{\frac{1}{4} π}^{\frac{1}{2} π} f (x) d x = {[‐ \frac{1}{4} \cos (2 x)]}_{\frac{1}{4} π}^{\frac{1}{2} π} = \frac{1}{4}$

5

a

$f^{'} (x) = (x + 1) \cdot e^{x}$

b

$F (x) = (x - 1) \cdot e^{x}$

6

a

$g^{'} (x) = \ln (x) + 1$ , dus een primitieve van $f$ is $F : x \to x \ln (x) - x$ .

b

$\int_{\sqrt{e}}^{e} ln (x) d x$ $= {[x \ln (x) - x]}_{\sqrt{e}}^{e} = \frac{1}{2} \sqrt{e}$ .

7

$F (x) = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ , bruikbaar als $n \neq ‐ 1$ .

8

a

-

b

$f (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ , dus $f^{'} (x) = 1 - \frac{8}{x^{3}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ , dus het minimum van $f (x)$ is $f (2) = 3$ .

c

$f (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ $= x + 4 x^{‐ 2}$ .

d

Als $x \to \pm \infty$ , dan $\frac{4}{x^{2}} \to 0$ , dus dan $y \approx x$ .

e

De oppervlakte is $\int_{1}^{2} f (x) d x =$ $= {[\frac{1}{2} x^{2} - 4 x^{‐ 1}]}_{1}^{2} = 3 \frac{1}{2}$ .

9

a

$\lim_{x \to \infty} f (x)$ bestaat niet, de functie krijgt een steeds grotere 'amplitude';
$\lim_{x \to ‐ \infty} f (x) = 0$ (de trilling dooft uit).

b

Dat is het aantal keren dat $\cos (x)$ $= 0$ op dat interval, dus $32$ .

c

$F^{'} (x) = e^{x} \cdot ((a - b) \sin (x) + (a + b) \cos (x))$ en dit levert $f (x)$ op als je zorgt dat $a - b = 0$ en $a + b = 1$ , dus: $a = b = \frac{1}{2}$ .

d

Op dat interval is $f$ een positieve functie, dus het is:
$\int_{‐ \frac{1}{2} π}^{\frac{1}{2} π} f (x) d x =$ ${[\frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) + \cos (x))]}_{‐ \frac{1}{2} π}^{\frac{1}{2} π} =$ $\frac{1}{2} (e^{\frac{1}{2} π} + e^{‐ \frac{1}{2} π})$ .

10

$\int_{a}^{m} \frac{1}{x} d x =$ ${[\ln (x)]}_{a}^{m} = \ln (m) - \ln (a)$ en $\int_{m}^{b} \frac{1}{x} d x =$ ${[\ln (x)]}_{m}^{b} = \ln (b) - \ln (m)$ .
$\ln (m) - \ln (a) = \ln (b) - \ln (m) \Leftrightarrow 2 \ln (m) = \ln (a) + \ln (b)$ , dus $\ln (m^{2}) = \ln (a b)$ , dus $m^{2} = a b$ .

11

Oppervlakte segment $=$
oppervlakte trapezium $B A C D -$ $\int_{b}^{a} x^{2} d x$ .
$\int_{b}^{a} x^{2} d x =$ ${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{b}^{a} = \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} b^{3}$ , dus de oppervlakte van het segment is: $\frac{1}{2} (a - b) (a^{2} + b^{2}) - (\frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} b^{3}) =$ $\frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} b + \frac{1}{2} a b^{2} - \frac{1}{6} b^{3}$ .
Uitwerken van $\frac{1}{6} {(a - b)}^{3}$ levert hetzelfde op.

12

De oppervlakte van $V$ is: $\int_{a}^{a + 1} e^{‐ x} d x =$ ${[‐ e^{‐ x}]}_{a}^{a + 1} =$
$e^{‐ a} - e^{‐ a - 1}$ .
De oppervlakte van $W$ is: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (e^{‐ a - 1} + e^{‐ a}) = \frac{1}{2} (e^{‐ a - 1} + e^{‐ a})$ .
Het quotiënt van de twee oppervlaktes is: $\frac{\frac{1}{2} (e^{‐ a - 1} + e^{‐ a})}{{‐e}^{‐ a - 1} + e^{‐ a}} = \frac{e^{‐ a - 1} + e^{‐ a}}{2 ({‐e}^{‐ a - 1} + e^{‐ a})} \cdot \frac{e^{a + 1}}{e^{a + 1}} = \frac{1 + e}{2 (‐1 + e)}$ (en dit is onafhankelijk van $a$ )

13

$F (x) = \frac{2}{3} {\sqrt{x + 6}}^{3}$	$F (x) = 1 \frac{1}{3} {\sqrt{x}}^{3}$
$F (x) = \ln \| x + 6 \|$	$F (x) = \frac{1}{4} \ln \| x \|$
$f (x) = x + 12 \sqrt{x} + 36$ , dus $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 8 x \sqrt{x} + 36 x$	$F (x) = 1 \frac{5}{11} x^{11}$
$f (x) = x + \frac{6}{x}$ , dus $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 6 \ln \| x \|$	$f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$ , dus
	$F (x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + 8 \sqrt{x}$

14

a

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 5 = 0 of x - 2 = 0$ , dus $x = ‐ 1$ , $x = 5$ of $x = 2$ .

b

$f (2 + a) = a (a^{2} - 9)$ , dus $f (2 - a) = ‐ a (a^{2} - 9) = ‐ f (2 + a)$ .
Dus de grafiek van $f$ is puntsymmetrisch ten opzichte van $(2,0)$ .

c

$F^{'} (x) = 4 c {(x^{2} - 4 x - 5)}^{3} (2 x - 4)$ , dus $8 c = \frac{1}{100}$ , dus $c = \frac{1}{800}$ .

d

$\int_{‐ 1}^{2} f (x) d x =$ ${[\frac{1}{800} {(x^{2} - 4 x - 5)}^{4}]}_{‐ 1}^{2} = 8 \frac{161}{800}$ .