Bepaal van de volgende functies een primitieve.

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$	$y = \sqrt[3]{3 x}$
$y = x \sqrt{x}$	$y = \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$
$y = \sin (\frac{1}{2} x)$	$y = \cos (x + π)$
$y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$	$y = \frac{1 + \sqrt{x}}{x^{2}}$
$y = e^{x}$	$y = e^{‐ x}$
$y = 2^{x}$	$y = \frac{2}{2^{x}}$

In de voorgaande paragrafen hebben we gezien:
als $F$ een primitieve is van de functie $f$ , dan is de gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[a, x]$ :
$\int_{a}^{x} f (t) d t = F (x) - F (a)$ .
Hieruit volgt dan:

Hoofdstelling van de integraalrekening
De functie $x \to \int_{a}^{x} f (t) d t$ heeft als afgeleide de functie $f$ .

De hoofdstelling van de integraalrekening lijkt flauw. De kern is: aan welke eis moet een functie voldoen, wil de oppervlakte onder de grafiek bestaan. Wij zijn voetstoots uitgegaan van het bestaan van die oppervlakte.

Het bepalen van een primitieve bij een gegeven functie noemen we primitiveren.
Differentiëren is eenvoudiger dan primitiveren. Elke functie die samengesteld is uit standaardfuncties, kun je differentiëren en het resultaat is weer een samenstelling van standaardfuncties. Bij primitiveren is dat niet zo. Met 'samengesteld' wordt bedoeld: met behulp van kettingen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen.
De functie $f : x \to e^{‐ x^{2}}$ bijvoorbeeld, heeft geen primitieve die samengesteld is uit standaardfuncties.
Als we de functie $F$ definiëren door $F (x) = \int_{0}^{x} e^{‐ t^{2}} d t$ , dan is $F^{'} (x) = e^{‐ x^{2}}$ .

Gegeven is de functie $F$ met $F (x) = \int_{0}^{x} e^{‐ t^{2}} d t$ .

Teken de grafiek van de functie $F$ op de GR, met domein $[‐ 3,3]$ .
Zoek uit hoe dat gaat.

Als je de grafiek laat tekenen, dan zie je, dat de GR ook functiewaarden berekent als $x$ negatief is.
Bij een uitdrukking met $\int_{a}^{b}$ hebben we in het voorgaande steeds (impliciet) aangenomen dat $a \leq b$ . Volgens een stelling uit de vorige paragraaf geldt: $\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a)$ als $G$ een primitieve van $g$ is.
Neem aan dat dit ook klopt voor $a > b$ .

Wat is dan het verband tussen $\int_{a}^{b} g (x) d x$ en $\int_{b}^{a} g (x) d x$ ?

Welke symmetrie heeft de functie $F$ ? Licht je antwoord toe.

Hoe kun je (zonder te tekenen) weten dat $F$ een stijgende functie is?

Toon aan dat de grafiek van $F$ buigpunt $(0,0)$ heeft.

$\int_{a}^{b} f (x) d x = ‐ \int_{b}^{a} f (x) d x$

We gaan op zoek naar een primitieve van de functie $f$ met $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

Laat zien dat de functie $y = \frac{1}{3} \sin^{3} (x)$ niet de gezochte functie is.

Teken de grafiek van $f$ op de GR. Hij lijkt op een sinusoïde. Als dat zo is, wat is dan de amplitude en de periode?

Laat met een formule uit het hoofdstuk Goniometrie zien dat $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x)$ .

Bepaal een primitieve van $f$ .

Bereken $\int_{0}^{π} f (x) d x$ exact.

In opgave 9 hebben we $\int_{0}^{π} f (x) d x$ al bepaald met 'knippen en plakken'.

Gegeven is de functie $f : x \to \sin (x) \cos (x)$ .
Een primitieve van $f$ vind je niet zó maar. Dat lukt bijvoorbeeld wel als je $f (x)$ met een formule uit Goniometrie herschrijft.

Zoek een primitieve van $f$ .

Bereken $\int_{\frac{1}{4} π}^{\frac{1}{2} π} f (x) d x$ exact.

Gegeven is de functie $f : x \to x \cdot e^{x}$ .

Differentieer $f$ .

Kun je nu ook een primitieve van $f$ vinden?

(hint)

Als je

f

differentieert, krijg je op één term na

f

weer terug. Dus als je

f (x) - \dots

differentieert, krijg je

f (x)

Zoek op de manier van opgave 35 een primitieve van de functie $f : x \to \ln (x)$ . Differentieer daartoe de functie $g : x \to x \ln (x)$ .

Bereken $\int_{\sqrt{e}}^{e} ln (x) d x$ exact.

Bepaal een primitieve van de functie $f$ met $f (x) = x^{n}$ .
Voor welke waarden van $n$ is deze 'vondst' bruikbaar?

We verzamelen onze bevindingen in een lijst.

functie $f$	primitieve functie $F$
$f (x) = x^{n}$	$F (x) = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ , $n \neq ‐ 1$
$f (x) = \frac{1}{x}$	$F (x) = \ln \| x \|$
$f (x) = \sin (x)$	$F (x) = ‐ \cos (x)$
$f (x) = \cos (x)$	$F (x) = \sin (x)$
$f (x) = a^{x}$	$F (x) = \frac{1}{\ln (a)} \cdot a^{x}$ , $a > 0$ en $a \neq 1$
$f (x) = \ln (x)$	$F (x) = x \ln (x) - x$

Opmerking:

Er zijn technieken die je helpen primitieven te vinden. Het is niet de bedoeling van deze paragraaf hier uitgebreid op in te gaan. Er zijn ook computerprogramma's om primitieven te bepalen, zoals DERIVE en MAPLE.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{x^{3} + 4}{x^{2}}$ .

Teken de grafiek op de GR.

Bereken het lokale minimum van $f (x)$ exact.

Je kunt $f (x)$ schrijven als een som van twee machtsfuncties.

Doe dat.

Verklaar met het voorgaande dat de grafiek voor grote waarden van $| x |$ steeds meer gaat lijken op de lijn met vergelijking $y = x$ .

Bereken de oppervlakte onder de grafiek van $f$ op het interval $[1,2]$ .

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = e^{x} \cdot \cos (x)$ .

Wat denk je van $\lim_{x \to \infty} f (x)$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ ?

Hoeveel nulpunten heeft $f (x)$ op $[0,100]$ ?

Een primitieve $F$ van $f$ heeft de vorm:
$F (x) = e^{x} \cdot (a \sin (x) + b \cos (x))$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Bepaal $a$ en $b$ exact.

Bereken exact de oppervlakte van het gebied tussen de $x$ -as en de grafiek van $f$ op het interval $[‐ \frac{1}{2} π, \frac{1}{2} π]$ .

Bekijk het gebied in het $O x y$ -vlak dat wordt begrensd door de $x$ -as, de lijnen $x = a$ en $x = b$ , (met $0 < a < b$ ) en de kromme met vergelijking $x y = 1$ . De lijn $x = m$ verdeelt dit gebied in twee delen met gelijke oppervlakte.

Bewijs dat $m = \sqrt{a b}$ .

Op de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ liggen de punten $A (a, a^{2})$ en $B (b, b^{2})$ .
Het vlakdeel dat wordt begrensd door de koorde $A B$ en de parabool noemt men een paraboolsegment. Stel $a > b$ .

Toon aan dat de oppervlakte van dit paraboolsegment gelijk is aan $\frac{1}{6} {(a - b)}^{3}$ .

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = e^{‐ x}$ . De lijn $x = a$ snijdt de $x$ -as in $P$ en de grafiek van $f$ in $S$ . De lijn $x = a + 1$ snijdt de $x$ -as in $Q$ en de grafiek van $f$ in $R$ . Het gebied begrensd door de grafiek van $f$ en de lijnstukken $P S$ , $P Q$ en $Q R$ noemen we $V$ . Het trapezium $P Q R S$ noemen we $W$ , zie figuur.

Toon aan dat het quotiënt $\frac{oppervlakte van W}{oppervlakte van V}$ onafhankelijk is van $a$ .

Soms moet je de formule van een functie eerst herschrijven voordat je hem kunt primitiveren.
Geef van elk van de volgende functies $f$ een primitieve $F$ .

$f (x) = \sqrt{x + 6}$	$f (x) = \sqrt{4 x}$
$f (x) = \frac{1}{x + 6}$	$f (x) = \frac{1}{4 x}$
$f (x) = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$	$f (x) = {(4 x^{5})}^{2}$
$f (x) = \frac{x^{2} + 6}{x}$	$f (x) = \frac{x + 4}{\sqrt{x}}$

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f$ met
$f (x) = \frac{1}{100} {(x^{2} - 4 x - 5)}^{3} (x - 2)$ .

Bereken exact de nulpunten van $f (x)$ .

Er geldt: $f (2 + a) = ‐ f (2 - a)$ voor alle $a$ .

Laat dat zien. Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

De twee vlakdelen ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as, hebben dezelfde oppervlakte. Om de oppervlakte van zo'n vlakdeel exact te berekenen, moet je een primitieve van $f$ hebben.
Een primitieve $F$ van $f$ is van de vorm $F (x) = c {(x^{2} - 4 x - 5)}^{4}$ , voor zekere waarde van $c$ .

Laat dat zien en bepaal $c$ exact.

Bereken de oppervlakte van een van de twee vlakdelen ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as exact.