12.3  De gesigneerde oppervlakte >
1

Op een tachograaf is de snelheid v (in km/u) van een vrachtwagen tijdens een rit bijgehouden. Hieronder staat de grafiek bij de rit. Hierbij is t de tijd in uur.

De chauffeur rekent bij zijn planning op een gemiddelde snelheid van 80 km/u.

a

Denk je dat de gemiddelde snelheid tijdens de rit hoger was dan 80 km/u? Waarom?

b

Hoe zou je kunnen bepalen hoeveel de gemiddelde snelheid tijdens de rit van 80 km/u afwijkt?

Een andere auto legt in 2 uur een bepaald traject af.
h (in km/u) is hoeveel de snelheid van de auto afwijkt van 80 km/u en t is de tijd in uur.

c

Wat stelt de oppervlakte van een hokje in het rooster hiernaast fysisch voor?

In het plaatje zijn de stukken I, II en III aangegeven.
Veronderstel dat oppervlakte I = 8 hokjes, oppervlakte II = 2 hokjes en oppervlakte III = 3 hokjes. Als de gemiddelde snelheid van de auto op het traject 80 km/u zou zijn, dan zou dat traject 160 km lang zijn.

d

Hoeveel langer is het traject?

Bij het antwoord op opgave 18d moet je de oppervlakte onder de horizontale as negatief tellen en de oppervlakte erboven positief. We spreken van de gesigneerde oppervlakte (dat wil zeggen 'voorzien van een teken').

Gegeven is een functie f op een interval [ a , b ] met een primitieve F .
Dan definiëren we a b f ( x ) d x als F ( b ) F ( a ) .

Opmerking:
  • Als f een positieve functie op [ a , b ] is, dan is a b f ( x ) d x de oppervlakte onder de grafiek van f op dat interval.
    Dat hebben we in de voorgaande paragrafen gezien.

  • De definitie hangt niet van de keuze van de primitieve af, ga dat na.

Voorbeeld:

0 6 ( x 2 2 x ) d x = [ 1 3 x 3 x 2 ] 0 6 = 36

In de volgende opgaven zullen we zien dat a b f ( x ) d x voor een functie f die niet steeds positief is op [ a , b ] de gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van f en de x -as op dat interval is.

2

Hiernaast is de grafiek van de functie f getekend met
f ( x ) = 1 8 x 3 1 2 x 2 1 2 x + 2 .
De snijpunten met de x -as zijn A ( 2,0 ) , B ( 2,0 ) en C ( 4,0 ) .

a

Reken na 2 4 f ( x ) d x = 5 6 .

b

Waarom is de exacte oppervlakte van het gekleurde gebied tussen B en C 2 4 f ( x ) d x ?
Bereken deze integraal exact.

3

Hieronder staat de grafiek van de functie
f : x cos ( 2 x ) cos ( x ) .

De lijn x = π is symmetrie-as van de grafiek van f .

a

Toon dat aan.

b

Bereken de nulpunten van f ( x ) exact.

In de figuur zijn drie gebieden gekleurd.

c

Reken na dat 0 2 3 π f ( x ) d x = 3 4 3 .

d

Bereken 2 3 π π f ( x ) d x .
Wat is de oppervlakte van het gekleurde gebied tussen A en B exact? Licht je antwoord toe.

e

Bereken 0 π f ( x ) d x en 0 1 1 3 π f ( x ) d x .

In de opgaven 19 en 20 zie je dat de integraal de gesigneerde oppervlakte is.

We gaan nu bewijzen dat a b f ( x ) d x de gesigneerde oppervlakte op het interval [ a , b ] is.
Dan is bijvoorbeeld 1 11 f ( x ) d x = 25 26 + 20 = 19 , waarbij f de functie in het plaatje hiernaast is. De oppervlakte van elk van de drie gekleurde stukken is aangegeven. de figuur hiernaast.
Voordat we dit kunnen moeten we nog twee dingen laten zien, zie stelling 3.


Stelling 3
Gegeven is een functie f , dan geldt:

  • a b f ( x ) d x = a b f ( x ) d x

  • a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Opmerking:

We nemen aan dat f een primitieve heeft.

4

Bewijs stelling 3.

Nu kunnen we bewijzen dat a b f ( x ) d x de gesigneerde oppervlakte op het interval [ a , b ] is.

In de figuur hierboven is de grafiek van de functie f getekend op het interval [ a , b ] . De oppervlakte van het gebied tussen de x -as en de grafiek van f bestaat uit vier stukken. De oppervlakte van elk stuk is in de figuur aangegeven. De waarden x tussen a en b waar f ( x ) van teken wisselt op het interval [ a , b ] , noemen we p , q en r met a < p < q < r < b .
Er geldt bijvoorbeeld: f is positief op [ q , r ] , dus q r f ( x ) d x = 33 , want de oppervlakte tussen de x -as en de grafiek van f is gelijk aan de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x -as. Dus q r f ( x ) d x = 33 , volgens stelling 3.1. Evenzo: a p f ( x ) d x = 2 .
Dus volgens stelling 3.2: a b f ( x ) d x =
a p f ( x ) d x + p q f ( x ) d x + q r f ( x ) d x + r b f ( x ) d x ,
dus a b f ( x ) d x = 2 + 4 33 + 2 = 29

Opmerking:

Het algemene bewijs gaat net zo als het voorbeeld.

Stelling 4
a b f ( x ) d x is de gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van f en de x -as op het interval [ a , b ] .

Voorbeeld:

Hiernaast staat de grafiek van de functie f : x 1 2 x 1 .
We berekenen 4 4 f ( x ) d x op twee manieren.

  • 4 4 f ( x ) d x is gesigneerde oppervlakte tussen de grafiek van f en de x -as op [ 4,4 ] , dus de oppervlakte van driehoek I de oppervlakte van driehoek II = 1 2 2 1 1 2 6 3 = 8 .

  • Met een primitieve, bijvoorbeeld F : x 1 4 x 2 x van f :
    4 4 f ( x ) d x = [ 1 4 x 2 x ] 4 4 = 0 ( 4 + 4 ) = 8 .

5

Bereken de volgende integralen op twee manieren:

  1. door naar de gesigneerde oppervlakte te kijken,

  2. met behulp van een primitieve.

a

3 3 x 3 d x

4 1 ( 2 x + 4 ) d x

We hebben gezien 0 π sin ( x ) d x = 2 .
Gebruik dit om de volgende integralen te berekenen, zonder primitieve.

b

0 2 π sin ( x ) d x

1 2 π 2 π sin ( x ) d x

1 2 π 2 π | sin ( x ) | d x

1 2 π 2 π cos ( x ) d x

Voorbeeld:

Stelling 3.2 is ook goed te gebruiken in het volgende geval.
Hiernaast is de grafiek van de functie f getekend, met
f ( x ) = | x 2 | x .
We berekenen de oppervlakte onder de grafiek van f tussen O en A exact.
Dit is 0 3 f ( x ) d x .
Om van de absolute waarde af te komen schrijven we:
0 3 f ( x ) d x = 0 2 f ( x ) d x + 2 3 f ( x ) d x .
De integranden achter het gelijkteken kun je zonder absoluutstrepen schrijven.

6

De functie f is als in het voorbeeld hierboven.

a

Bereken 0 3 f ( x ) d x exact.

De grafiek van f heeft een knik in ( 2,0 ) . Je kunt niet spreken van een raaklijn aan de grafiek in dat punt; wel van een raaklijn aan de 'linkertak' en een raaklijn aan de 'rechtertak' van de grafiek.

b

Geef van beide raaklijnen een vergelijking.

7

Bereken de volgende integralen exact.

2 1 4 x 3 d x

0 6 ( x 2 4 ) d x

0 π cos ( 2 x ) d x

1 8 x 3 d x
8

Gegeven zijn de functies f en g met f ( x ) = x 2 | x 2 | en g ( x ) = x 4 .

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met die van g exact en teken de grafieken in één figuur.

De grafieken van f en g sluiten een driehoek in.

b

Bereken de oppervlakte van die driehoek exact.

c

Teken in een andere figuur de grafiek van f g .

d

Bereken de oppervlakte van de driehoek ingesloten door de grafiek van f g en de x -as.

Dat de oppervlakte van de twee driehoeken die je in opgave 25 hebt berekend, gelijk zijn, zou je op het eerste gezicht niet zeggen. Dit is een gevolg van de volgende stelling.

Stelling 5
Veronderstel dat de grafiek van f op het hele interval [ a , b ] boven de grafiek van g ligt. Dan is de oppervlakte tussen de grafieken van f en g op [ a , b ] : a b ( f ( x ) g ( x ) ) d x .

De stelling kan als volgt bewezen worden.
Eerst bewijs je:
als u en v functies zijn op [ a , b ] , dan
a b u ( x ) d x a b v ( x ) d x = a b ( u ( x ) v ( x ) ) d x .
Want, neem aan dat U een primitieve van u is en V van v .
Dan is U V een primitieve van u v , dus:

a b ( u ( x ) v ( x ) ) d x =
( U V ) ( b ) ( U V ) ( a ) = U ( b ) U ( a ) ( V ( b ) V ( a ) ) =
a b u ( x ) d x a b v ( x ) d x .

We schuiven de grafieken van f en g tegenlijk zo ver omhoog dat ze beide boven de x -as komen te liggen op het interval [ a , b ] , zeg over m eenheden. Je krijgt de grafieken van de functies p en q , zie de figuur hiernaast.
Neem aan dat P is een primitieve van p en Q van q .
Dan is de oppervlakte tussen de grafieken van f en g hetzelfde als de oppervlakte tussen de grafieken van p en q .
Die laatste oppervlakte is a b p ( x ) d x a b q ( x ) d x =
a b ( p ( x ) q ( x ) ) d x = a b ( ( f ( x ) + m ) ( g ( x ) + m ) ) d x =
a b ( f ( x ) g ( x ) ) d x .

Opmerking:

Uit stelling 5 volgt dat p q ( f ( x ) g ( x ) ) d x op een interval [ p , q ] de gesigneerde oppervlakte tussen de grafieken van f en g is, zie figuur.

9

In figuur 1 staan de grafieken van f en g met f ( x ) = 2 sin ( x ) en g ( x ) = sin ( 2 x ) . A is het punt ( π ,0 ) .

figuur 1
figuur 2
a

Bereken exact de oppervlakte van het gebied tussen O en A begrensd door de grafieken van de twee functies.

In figuur 2 rechts staan de grafieken van p en q met
p ( x ) = cos ( x ) en q ( x ) = cos ( 2 x ) . B is het punt ( 2 π ,0 ) .

b

Bereken langs algebraïsche weg de oppervlakte van het gebied tussen O en B begrensd door de grafieken van de twee functies. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

10

Gegeven zijn de functies f en g op [ 1 1 2 ,1 1 2 ] , met
f ( x ) = x 2 + 2 e x 2 en g ( x ) = 2 e x 2 .

a

Hoe kun je aan de formules zien dat de grafiek van f boven (of op) die van g ligt?

b

Bereken de extremen van f ( x ) en g ( x ) langs algebraïsche weg.

c

Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de grafieken van f en g op [ 1 1 2 ,1 1 2 ] exact.

d

Controleer je antwoord op c met de GR.

11

Gegeven zijn de functies f en g met
f ( x ) = 3 4 x 2 en g ( x ) = 1 4 x 3 x .
De grafieken van de functies sluiten twee vlakdelen in.

a

Bereken de linker- en rechtergrens van elk van de twee gebieden.

b

Bereken de totale oppervlakte van de twee gebieden.

12

Gegeven is de functie F met F ( x ) = 0 x ( 2 3 + x 2 ) d x op het interval [ 0,3 ] .

a

Teken de grafiek van F op de GR.

b

Toon zonder GR exact aan dat F ( x ) maximaal is voor x = 1 .

Voor de functie y = a x f ( x ) d x geldt: d y d x = f ( x ) .

Dit volgt rechtstreeks uit de definitie van de integraal.

13

In figuur 1 hieronder zijn de grafieken getekend van de functies f en g gegeven door f ( x ) = x en en g ( x ) = 1 2 x .

figuur 1
figuur 2

Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen x = a en x = 4 , met 0 < a < 4 .
In de figuur zijn twee vlakdelen gekleurd. Het ene gekleurde vlakdeel wordt begrensd door de grafieken van f en g en de lijn met vergelijking x = a . Het andere gekleurde vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van g , de x -as en de lijnen met vergelijkingen x = a en x = 4 .

a

Bereken exact voor welke waarde van a deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben.

Gegeven is het punt A ( 2,0 ) . Bij elk punt P op de grafiek van f kan het midden van lijnstuk A P worden bepaald. Dat midden noemen we M .
Verder is de functie h gegeven door h ( x ) = 1 2 x 1 2 . In figuur 2 zijn de grafieken van f en h getekend. Ook is voor een punt P het lijnstuk A P met midden M getekend.
Er geldt: voor elk punt P op de grafiek van f ligt het punt M op de grafiek van h .

b

Bewijs dit.