De driehoeken $ABC$ en $AYX$ zijn gelijkvormig, met factor $f=\frac{x+2}{12}$, dus de oppervlakte van driehoek $AYX$ is $f^2$ maal oppervlakte driehoek $ABC$.
Dus $O(x)=\frac{1}{4}{(x+2)}^2$.

$O^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}(x+2)$ en de punten $A$ en $B$ voldoen aan de vergelijking
$y=\frac{1}{2}(x+2)$.

Noem de hoekpunten van het oker gebied $A\left(c\mathrm{,0}\right)$, $B(c+\Delta x\mathrm{,0})$, $C(c+\Delta x,f(c+\Delta x\left)\right)$ en $D(c,f(c\left)\right)$. Het oker gebied heeft kleinere oppervlakte dan $AB\cdot BC=\Delta x\cdot f(c+\Delta x)$ en grotere oppervlakte dan $AB\cdot AD=\Delta x\cdot f\left(c\right)$.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(c)\le \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{O(c+\Delta x)-O\left(c\right)}{\Delta x}\le \underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(c+\Delta x)$, dus $f\left(c\right)\le O^{\prime }\left(c\right)\le f\left(c\right)$.

De grafiek van $g$ en $h$ ontstaat uit die van $f$ door verticaal met $2$, respectievelijk $3$ te vermenigvuldigen. Dus de oppervlakte onder de grafiek van $g$ en $h$ is $2$ respectievelijk $3$ keer zo groot als de oppervlakte onder de grafiek van $f$.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}3x^2}\text{d}x=H(2)-H(0)=8$, waarbij de functie $H$ met $H\left(x\right)=x^3$ een primitieve is van $h$.

Het spiegelbeeld van de grafiek van $f$ in de lijn $y=\frac{1}{2}$ is de grafiek van $g$.

$\frac{1}{6}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$ en $\frac{5}{6}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$ met $k$ geheel.

De eerste drie snijpunten van de twee grafieken 'rechts' van de $y$-as noemen we $A$, $B$ en $C$.
Hun projecties op de $x$-as noemen we $A_x$, $B_x$ en $C_x$.
De oppervlakte onder de grafiek van $f$ op $[\frac{1}{6}\text{π},\frac{5}{6}\text{π}]$ is:
${\displaystyle \underset{\frac{1}{6}\text{π}}{\overset{\frac{5}{6}\text{π}}{\int }}\sin \left(x\right)\text{d}x=}{\left[\mathrm{‐}\cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{6}\text{π}}^{\frac{5}{6}\text{π}}=\sqrt{3}$.

De oppervlakte van de rechthoek $A_x{B}_{x}BA=\frac{2}{3}\text{π}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\text{π}$. Dus de oppervlakte van de helft van de kleine parel is: $\sqrt{3}-\frac{1}{3}\text{π}$ en van de hele kleine parel
$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\text{π}$.
De oppervlakte onder de grafiek van $g$ op het interval $\left[\frac{5}{6}\text{π}\mathrm{,2}\frac{1}{6}\text{π}\right]$ is:
${\displaystyle \underset{\frac{5}{6}\text{π}}{\overset{2\frac{1}{6}\text{π}}{\int }}\left(1-\sin \left(x\right)\right)\text{d}x=}{\left[x+\cos \left(x\right)\right]}_{\frac{5}{6}\text{π}}^{2\frac{1}{6}\text{π}}=1\frac{1}{3}\text{π}+\sqrt{3}$.
De oppervlakte van rechthoek $B_x{C}_{x}CB=\frac{2}{3}\text{π}$.
De oppervlakte van een grote parel $=2(\frac{4}{3}\text{π}+\sqrt{3}-\frac{2}{3}\text{π})=1\frac{1}{3}\text{π}+2\sqrt{3}$.

-

Als $x>0$ geldt: $G\left(x\right)=\ln x$, dus $G^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}$,
als $x<0$, dan $G\left(x\right)=\ln \left(\mathrm{‐}x\right)$, dus $G^{\prime }(x)=\mathrm{‐}\frac{1}{\mathrm{‐}x}=\frac{1}{x}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{‐}2}{\overset{\mathrm{‐}\frac{1}{2}}{\int }}f\left(x\right)}\text{d}x=$ ${\left[2x+\ln \left|x\right|\right]}_{\mathrm{‐}2}^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}}=3-2\ln (2)$.