Hiernaast zijn de punten $A (‐ 2,0)$ , $B (10,6)$ , $C (10,0)$ getekend. Op de zijden van driehoek $A B C$ liggen de punten $X$ en $Y$ , beide met eerste coördinaat $x$ . De oppervlakte van driehoek $A X Y$ hangt van $x$ af. We noemen die $O (x)$ .

Geef een formule voor $O (x)$ .

Lijn $A B$ is de grafiek van een functie $f$ .

Toon aan dat de functie $O$ een primitieve is van de functie $f$ .

De bewering in onderdeel b van de vorige opgave geldt algemener. Dat zien we in de volgende opgave.

Gegeven is een positieve stijgende functie $f$ . We bekijken de oppervlakte $O (x)$ onder de grafiek van $f$ op het interval $[a, x]$ , zie de figuur hieronder links. We laten zien dat $O$ een primitieve van $f$ is.

In de figuur rechts is de oppervlakte onder de grafiek van $f$ op het interval $[c, c + Δ x]$ oker gekleurd.
Deze is $O (c + Δ x) - O (c)$ .
Er geldt: $f (c) \cdot Δ x \leq O (c + Δ x) - O (c) \leq f (c + Δ x) \cdot Δ x$ .

Leg dat uit.

Uit a volgt: $f (c) \leq \frac{O (c + Δ x) - O (c)}{Δ x} \leq f (c + Δ x)$ .
Laat nu $Δ x$ naar $0$ naderen, dan volgt hieruit dat $O^{'} (c) = f (c)$ .

Laat dat zien.

Opmerking:

In het antwoord van opgave 11b wordt verondersteld dat
$\lim_{Δ x \to 0} f (c + Δ x) = f (c)$ . Dat klopt niet altijd, bijvoorbeeld als de grafiek van $f$ een 'sprong' maakt als $x = c$ .
Een wiskundige vraagt zich ook af welke eigenschappen een functie moet hebben opdat de oppervlakte onder de grafiek bestaat. Wij maken ons daar geen zorgen om.
Ook is in opgave 11 verondersteld dat de functie $f$ stijgend is. Voor andere functies gaat het bewijs net zo.

De oppervlakte onder de grafiek van een positieve functie $f$ op het interval $[a, b]$ noteren we met $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Gottfried Wilhelm Leibniz
1646-1716

We noemen $\int_{a}^{b} f (x) d x$ een integraal, preciezer de integraal van $a$ tot $b$ van $f$ . De functie onder het integraalteken $\int$ noemen de de integrand (latijn: 'integrand'='wat geïntegreerd moet worden').
Merk de grote overeenkomst op tussen de integraal-notatie met de symbolen $\int$ en $d x$ en de onder- of bovensom-notatie met $Σ$ en $Δ x$ . De integraal is de grenswaarde van steeds fijnere onder- of bovensommen. Als we de limiet nemen vervangen we:

$Σ$ door $\int$ ,
$Δ x$ door $d x$ .

Met $d x$ wordt, zoals in de notatie van de afgeleide, een 'oneindig kleine' toename $Δ x$ bedoeld. De integraal-notatie is afkomstig van Leibniz en de gebroeders Bernoulli.

We passen de nieuwe notatie toe.

Opgave 2: de gevallen hoogte in het tijdsinterval $[0, t]$ is:
$h (t) = \int_{0}^{t} v (t) d t$ .
Opgave 6: de oppervlakte onder de grafiek van de functie $y = x^{2}$ op het interval $[2, t]$ is:
$P (t) = \int_{2}^{t} x^{2} d x$ .
Opgave 6: de oppervlakte onder de grafiek van de functie $y = \sqrt{x}$ op het interval $[0, t]$ is:
$G (t) = \int_{0}^{t} \sqrt{x} d x$ .

Stelling 2
De functie $x \to \int_{a}^{x} f (x) d x$ is een primitieve functie van de functie $f$ .
Als $F$ een primitieve van $f$ is, dan $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Het bewijs van het eerste deel van de stelling hebben we in opgave 11 gezien.
Het bewijs van het tweede deel gaat zo.
Omdat twee primitieven een constante verschillen (Stelling 1) geldt: $\int_{a}^{x} f (x) d x = F (x) + c$ voor een of andere constante $c$ . Er geldt: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ , dus $F (a) + c = 0$ , dus $c = ‐ F (a)$ en $\int_{a}^{x} f (x) d x = F (x) - F (a)$ . Vul hierin voor $x = b$ in.

Voorbeeld:

Om $\int_{1}^{2} (x^{3} - x^{2}) d x$ te berekenen, zoek je eerst een primitieve $F$ van $f$ .
Je kunt bijvoorbeeld $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3}$ nemen, dan
$\int_{1}^{2} (x^{3} - x^{2}) d x = F (2) - F (1) =$ $(4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = 1 \frac{5}{12}$ .

Opmerking:

De haakjes rondom de integrand $x^{3} - x^{2}$ in $\int_{1}^{2} (x^{3} - x^{2}) d x$ horen er echt omheen. Dit heeft te maken met de herkomst: het kwam van $(x^{3} - x^{2}) \cdot Δ x$ .
Dat komt dus door de 'min' tussen de twee delen van de formule. Evenzo moeten er haakjes om de integrand als de integrand een som betreft, zoals bijvoorbeeld in $\int_{0}^{5} (\frac{1}{2} x^{3} + x^{5}) d x$ .
Bij $\int_{1}^{2} x \sqrt{3 + x^{2}} d x$ hoeven er géén haakjes om de integrand te staan (maar dat mag wel).

Voorbeeld:

Hieronder is het gebied tussen de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = \sqrt[3]{x}$ en de lijn $k$ met vergelijking $y = \frac{1}{4} x$ gekleurd.

We berekenen de oppervlakte van dit gebied exact.
Eerst berekenen we de eerste coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ en lijn $k$ .
$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{4} x \Leftrightarrow$ $x = 0 of x^{\frac{2}{3}} = 4 \Leftrightarrow$ $x = 0 of x = 8$ .
De oppervlakte onder de grafiek van $f$ op $[0,8]$ is $\int_{0}^{8} f (x) d x = F (8) - F (0)$ , waarbij $F$ een primitieve functie van $f$ . Omdat bij differentiëren de exponent van een machtsfunctie met $1$ verlaagd wordt, kun je voor $F$ de functie $F (x) = c \cdot x^{\frac{4}{3}}$ voor een of andere constante $c$ proberen.
Als je deze functie differentieert, zie je dat je voor $c = \frac{3}{4}$ moet nemen.
Dus de oppervlakte onder de grafiek van $f$ op $[0,8]$ is:
$F (8) - F (0) =$ $\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} = 12$ .
De oppervlakte onder de grafiek van $k$ op $[0,8]$ is: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$ .
De oppervlakte van het gekleurde gebied is dus $12 - 8 = 4$ .

Bepaal van de volgende functies een primitieve.

$y = x^{10}$	$y = x \sqrt{x}$
$y = \cos (x)$	$y = 2 \sin (x)$
$y = e^{x}$	$y = e^{2 x}$
$y = \frac{1}{x}$	$y = \frac{1}{e^{x}}$
$y = x + \frac{1}{x^{2}}$	$y = \frac{x^{3} + 1}{x^{2}}$

Gegeven zijn de functies $f$ , $g$ en $h$ met $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 x^{2}$ , $h (x) = 3 x^{2}$ .
Hiernaast staan de grafieken op het interval $[0,2]$ . Het gebied tussen de $x$ -as en de grafiek van $h$ wordt door de andere grafieken in drie gebieden verdeeld.

Beredeneer, zonder de oppervlakte van een gebied te berekenen, dat de gebieden dezelfde oppervlakte hebben.

Bereken $\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x$ .

Bij het berekenen van een integraal is de volgende notatie handig: met ${[H (x)]}_{0}^{2}$ bedoelen we: $H (2) - H (0)$ .
Dan ziet het antwoord van opgave 13b er zo uit:
$\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x =$ ${[x^{3}]}_{0}^{2} = 8 - 0 = 8$ .

Bereken de volgende integralen langs algebraïsche weg (met behulp van een primitieve). Het betreft hier positieve functies.

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$	$\int_{1}^{4} \frac{8}{\sqrt{x}} d x$
$\int_{2}^{3} \frac{12}{x^{2}} d x$	$\int_{0}^{π} \sin (x) d x$
$\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x$	$\int_{0}^{2} 10 d x$

We bekijken de functies $f$ en $g$ , waaarbij $f (x) = \sin (x)$ en $g (x) = 1 - \sin (x)$ . Het gebied tussen de twee grafieken vormt een 'oneindig lange parelketting' met twee soorten 'parels'.
Die is hieronder getekend.

Er geldt: $f (x) + g (x) = 1$ , voor alle $x$ .

Wat betekent dat voor de grafieken van $f$ en $g$ ?

De tweede coördinaat van elk snijpunt van de grafieken van $f$ en $g$ is $\frac{1}{2}$ .

Bereken de eerste coördinaat van elk snijpunt exact.

Bereken de oppervlakte van een 'kleine' en een 'grote parel' exact.

(hint)

Gebruik onderdeel a.

Je kunt de oppervlakte onder de grafiek van $f$ op het interval $[\frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π]$ met de GR benaderen.

Zoek uit hoe dat gaat.

Ga na dat de functie $F$ een primitieve is van de functie $f$ in de volgende gevallen.

$F (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$	$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
$F (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)$	$f (x) = \cos^{2} (x)$
$F (x) = \ln (\frac{1 - x}{1 + x})$	$f (x) = ‐ \frac{2}{1 - x^{2}}$
$F (x) = (x^{2} - 2 x + 2) \cdot e^{x}$	$f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$
$F (x) = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$	$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = 2 + \frac{1}{x}$ .
De oppervlakte van het gekleurde gebied is $\int_{‐ 2}^{‐ \frac{1}{2}} f (x) d x$ .
Om deze integraal exact te berekenen heb je een primitieve nodig van de functie $y = \frac{1}{x}$ .
Een primitieve is de functie $x \to \ln (x)$ , maar die bestaat alleen maar als $x > 0$ , dus daar heb je niets aan.

Ga na dat de functie $G : x \to \ln | x |$ een primitieve van de functie $g : x \to \frac{1}{x}$ is.

(hint)

Als

x > 0

dan

G (x) = \ln (x)

, als

x < 0

, dan

G (x) = \ln (‐ x)

Bereken de oppervlakte van het gekleurde gebied exact.

Een primitieve van de functie $y = \frac{1}{x}$ is de functie $Y = \ln | x |$ ( $x \neq 0$ ).