15.6  Gemengde opgaven (1) >
1

Fruitvliegjes
Bij een experiment met fruitvliegjes in een afgesloten ruimte heeft men vastgesteld dat het aantal fruitvliegjes per m3 bij benadering beschreven kan worden met de volgende formule: F = 3500 1 + 34 0,87 t .
Hierin is t de tijd in dagen vanaf de start van het experiment en F het aantal fruitvliegjes per m3 op tijdstip t .

a

Bereken langs algebraïsche weg na hoeveel dagen vanaf het begin van het experiment er voor het eerst meer dan 2500 fruitvliegjes per m3 zijn.

Het aantal fruitvliegjes per m3 neemt toe tot een grenswaarde.

b

Bepaal deze grenswaarde langs algebraïsche weg.

Als bij het experiment de tijd t niet gemeten wordt in dagen maar in uren, geldt voor het aantal fruitvliegjes per m3 een andere formule.
De tijd in uren vanaf het begin van het experiment is T .

c

Stel een formule op voor het aantal fruitvliegjes F op tijdstip T . Schrijf de formule in de vorm: F = 3500 1 + 34 b T , met b in drie decimalen.

Voor kleine waarden van t kan het aantal fruitvliegjes per m3 gegeven door F = 3500 1 + 34 0,87 t benaderd worden met de formule F = 3500 34 0,87 t . Deze laatste formule kan ook geschreven worden in de vorm F = b g t .

d

Bereken b en g langs algebraïsche weg. Rond b af op een geheel getal en geef g in twee decimalen nauwkeurig.

2

Schijngestalten van de maan
Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in Nederland te benaderen met de formule: P = 50 + 50 sin ( 0,212769 t 1,042563 ) .
Hierin is P het percentage van de maan dat zichtbaar is en t is de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari 2017 om 0 : 00 uur.

a

Bereken de periode van P in hele minuten nauwkeurig.

De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze op volgorde staan afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de maan dat zichtbaar is.

De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.

b

Bereken met behulp van de formule voor P op welke datum in 2017 het voor het eerst nieuwe maan zal zijn.

c

Onderzoek met behulp van de formule voor P tussen welke twee opeenvolgende schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal bevinden.

3

Een mobiele telefoon werkt op een batterij. Zo’n telefoon kan vrij lang aanstaan als je niet belt. De maximale tijd dat de mobiele telefoon aan kan staan zonder gebruikt te worden, heet de stand-by-tijd. Als je wel belt, verbruikt de telefoon meer energie. De batterij is dan sneller leeg.
Bij een mobiele telefoon van voor de tijd van de smartphone op stand-by-stand wordt het spanningsverloop benaderd door de formule V = 3,31 + 21 t 148 .
Hierin is V de spanning van de batterij in Volt en t de tijd in uur.
Op tijdstip t = 0 is de batterij vol.

De tijd die het duurt vanaf het ogenblik waarop de batterij net helemaal is opgeladen totdat de spanning tot 0 is gedaald is de stand-by-tijd.

a

Bereken langs algebraïsche weg in minuten nauwkeurig de stand-by-tijd.

b

Geef een formule voor d V d t .

Met behulp van d V d t valt na te gaan dat V toenemend dalend is.

c

Leg uit hoe.

De spanning die de batterij levert, kun je aan de rechterkant van het scherm aflezen. Als de batterij vol is, staan alle vier de blokjes (nummers 1 t/m 4) aan. Bij een volle batterij bedraagt de spanning ongeveer 3,2 Volt. Het aantal zichtbare blokjes wordt bepaald door het percentage van de maximale spanning. Als het percentage minder dan 75% bedraagt, kan er niet meer getelefoneerd worden en zijn alle blokjes uit. Zie de volgende tabel.

blokjes die zichtbaar zijn

1, 2, 3, 4

2, 3, 4

3, 4

4

geen

percentage van de maximale spanning

100 - 97

97 - 94

94 - 88

88 - 75

75 - 0

Iemand laadt de batterij helemaal op. Vervolgens legt hij de telefoon in de stand-by-stand weg. De telefoon wordt niet gebruikt. Na verloop van tijd gaat blokje nummer 1 uit. Een tijd nadat blokje nummer 1 is uitgegaan, gaat blokje nummer 2 uit. Juist op dat moment pakt hij de telefoon, ziet blokje nummer 2 uitgaan en denkt dat de telefoon op de helft van zijn stand-by-tijd is. Er zijn dan immers nog twee blokjes (nummers 3 en 4) van de vier zichtbaar.

d

Onderzoek langs algebraïsche weg met behulp van de gegeven formule of de telefoon op het moment dat blokje nummer 2 uitgaat, op de helft van zijn stand-by-tijd is.

,
4

Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart het met de stroom mee (stroomafwaarts). De snelheid van het schip ten opzichte van de wal hangt af van de stroomsnelheid van het water en van de snelheid v van het schip ten opzichte van het water; hierbij is v in km/u. De stroomsnelheid van het water is 8 km/u. In de figuur hieronder is de tocht van P naar Q weergegeven.

Veronderstel v = 20 .

a

Toon aan dat de tocht van P naar Q en terug dan 5 uur duurt.

Het brandstofverbruik B op het deel van de tocht stroomopwaarts hangt af van de vaartijd T (in uren) en van de snelheid v (in km/u) van het schip ten opzichte van het water. Er geldt: B = T v 3 .

Voor het deel van de tocht stroomopwaarts geldt: B = 42 v 3 v 8 .

b

Toon deze laatste formule aan.

c

Bereken algebraïsch bij welke waarde van v het brandstofverbruik minimaal is voor het deel van de tocht stroomopwaarts.

5

De Archimedes Wave Swing (afgekort AWS) is ontwikkeld om de golfbeweging van de zee te gebruiken om energie op te wekken.
Elke AWS bestaat uit twee halfopen delen. Het onderste deel is verankerd aan de zeebodem. Het bovenste deel, ook wel drijver genoemd, valt over het onderste heen. In de figuur linksonder zie je twee AWS’en onder een vlakke zeespiegel. In de figuur rechts zie je dat de golven er voor zorgen dat de drijvers op en neer bewegen. Deze beweging van de drijver wordt gebruikt om energie op te wekken.

De minimale hoogte van de bovenkant van de drijver ten opzichte van de zeebodem is 30,0 meter. De maximale hoogte is 37,0 meter. De drijver maakt onder invloed van de golven een periodieke beweging met dezelfde periode als de periode van de golfbeweging.

We gaan voor de volgende vraag uit van een situatie waarbij de periode van de golfbeweging 12 seconden is en de hoogte van de bovenkant van de drijver van de AWS varieert van 30,0 meter tot en met 37,0 meter. De hoogte van de bovenkant van de drijver kan dan worden beschreven door een formule van de vorm h = a + b sin ( c t ) . Hierin is h de hoogte ten opzichte van de zeebodem in meter en t de tijd in seconde.

a

Bereken de waarden van a , b en c in deze formule. Licht je antwoord toe.

Van een bepaalde AWS bevindt de bovenkant van de drijver zich gemiddeld 4,0 meter onder de zeespiegel. De zeespiegel is de gemiddelde waterhoogte. Zie de figuur hieronder. De hoogte d van de bovenkant van deze drijver ten opzichte van de zeespiegel wordt nu beschreven door: d = 4,0 + 3,5 sin ( 1 2 t ) , met d de hoogte in meter en t de tijd in seconde.
De waterhoogte ten opzichte van de zeespiegel hangt af van de amplitude van de golven. Hiervoor geldt de formule w = A sin ( 1 2 ( t 3,14 ) ) . Hierin is w de waterhoogte in meter, A de amplitude van de golven ( A 1 2 ) in meter en t de tijd in seconde. In de figuur hieronder zijn grafieken van d en w getekend voor een bepaalde waarde van A .

In de situatie van de figuur hierboven blijft de bovenkant van de drijver altijd onder water. Maar als de amplitude van de golfbeweging verder toeneemt, kan de drijver soms boven het water uitsteken.

b

Onderzoek met de grafische rekenmachine vanaf welke amplitude van de golfbeweging de drijver af en toe boven water verschijnt. Rond je antwoord in meter af op één decimaal.

6

Hiernaast zie je een (deel van) kunstwerk van de Franse “conceptual artist” Daniël Buren. De la Coureur de la Matière bestaat uit 1 latjes die deels zijn beschilderd. Stel je voor dat bij een transport de latjes door elkaar zijn geraakt...

Als alle latjes verschillend zijn geeft elke volgorde een andere compositie.

a

Laat zien dat er bijna 500 miljoen composities zijn als alle latjes verschillend zijn.

b

Stel dat drie latjes niet van elkaar te onderscheiden zijn hoeveel verschillende composities zijn er dan mogelijk?

c

Hoeveel composities zijn er mogelijk wanneer er maar twee soorten latjes zijn: zes beschilderde die niet van elkaar te onderscheiden zijn, en zes onbeschilderde die ook allemaal precies gelijk zijn.

De 12 verticale “staven” (in de stijl van Buren) zijn er in vier kleuren: blauw ( 4 maal), donkerrood ( 4 maal), lichtrood ( 2 maal) en paars ( 2 maal).

d

Hoeveel verschillende composities zijn er mogelijk met deze 4 blauwe, 4 donkerrode, 2 lichtrode en 2 paarse staven?

7

KIX

De KIX (KlantIndeX) is een streepjescode die gebruikt wordt om post machinaal te sorteren. Steeds meer bedrijven drukken op poststukken onder het adres de KIX af. Deze bedrijven krijgen daarvoor een korting op de verzendkosten. Een adres wordt in Nederland volledig bepaald door de postcode en het huisnummer. De KIX bestaat daarom uit 4 cijfers en 2 letters voor de postcode en daarachter het aantal cijfers dat nodig is voor het huisnummer.
In figuur 1 hiernaast staan als voorbeeld de KIX van postcode 3224 BC met huisnummer 6 en van postcode 3224 BC met huisnummer 108.
In de KIX heeft elk cijfer en elke letter een eigen symbool. Er wordt daarbij geen onderscheid gemaakt tussen hoofdletters en kleine letters. De letters B en b krijgen dus hetzelfde symbool. Elk symbool bestaat uit vier verticale strepen, zie figuur 2.
Het middelste stuk van elke streep is altijd zwart. Boven zijn er vier stukken en onder zijn er vier stukken. Elk van die acht stukken kan wit of zwart zijn. Zo zijn er veel verschillende symbolen te maken waarbij het niet uitmaakt hoeveel van de vier bovenste en de vier onderste stukken zwart zijn gemaakt.

a

Bereken het aantal verschillende symbolen dat op die manier is te maken.

Bij een KIX-symbool zijn er van de vier bovenste stukken precies twee zwart. Ook van de vier onderste stukken zijn er precies twee zwart.
In figuur 3 zie je bijvoorbeeld de symbolen van 3 en van B (of b). Zoals je bij de laatste streep van de 3 ziet, mag een streep ook helemaal zwart zijn, als er maar in totaal twee stukken boven en twee stukken onder zwart zijn.

b

Hoeveel verschillende KIX-symbolen zijn er op deze manier te maken? Licht je antwoord toe.

Bij elk adres hoort een huisnummer. Huisnummers beginnen nooit met een 0. Bij sommige adressen komt er na het huisnummer een toevoeging, zoals bij het huisnummer 6A. Soms staat er zelfs een heel woord bij: 73 boven. Bij zo’n toevoeging wordt de KIX na het huisnummer aangevuld met eerst de letter X en daarna de letter(s) en/of cijfer(s) die nodig zijn voor de toevoeging.
De KIX is door het huisnummer (zie figuur 1) en door een eventuele toevoeging niet altijd even lang. We vatten dit samen in onderstaande tabel.

In de figuur hieronder staan twee voorbeelden van een KIX met 9 symbolen:

De postcode 6801 MG vormt het begin van een KIX van 9 symbolen. Er zijn aan de 6 symbolen van de postcode dus nog 3 symbolen toegevoegd.

c

Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om bij postcode 6801 MG een correcte KIX van 9 symbolen te maken? Licht je antwoord toe.

8

Dialecten vergelijken
Taalkundigen doen veel onderzoek naar de dialecten in Nederland en Vlaanderen.
Onderzoeker M. Spruit onderzocht in 2008 in hoeverre dialecten op elkaar lijken. De mate waarin twee dialecten verschillen, wilde hij uitdrukken in een getal. Daarom vergeleek hij steeds twee dialecten op een aantal kenmerken en telde hij vervolgens de verschillen. Elk verschil tussen deze twee dialecten leverde een punt op. Het totale aantal punten is de Hammingafstand tussen deze twee dialecten.
Bijvoorbeeld: in Lunteren kan men zeggen: “Jan herinnert zich dat verhaal wel”, maar ook: “Jan herinnert z’n eigen dat verhaal wel”. In Veldhoven zegt men altijd: “Jan herinnert zich dat verhaal wel”. In geen van beide dialecten gebruikt men hier “hem” of “zichzelf” of “hemzelf”, iets dat in andere dialecten wel voorkomt.
Het vergelijken van deze vijf kenmerken levert dus in totaal 1 punt op voor de Hammingafstand. Dat is in de tabel hieronder weergegeven.

Lunteren

Veldhoven

punten (voor Hammingafstand)

zich

+

+

0

hem

0

z'n eigen

+

1

zichzelf

0

hemzelf

0

Stel men vergelijkt dialect X met het dialect van Lunteren. En stel dat vergelijken van de vijf kenmerken uit de tabel in totaal 3 punten oplevert voor de Hammingafstand. In dialect X wordt ook “zich” gebruikt.

a

Schrijf alle mogelijkheden voor deze vijf kenmerken voor dialect X op in een tabel.

De onderzoeker vergeleek niet vijf, maar 507 kenmerken. Het resultaat is een tabel waarin per tweetal dialecten de Hammingafstand te zien is. In volgende tabel zie je hier een gedeelte van.

Het getal 66 in deze tabel voor het tweetal Lunteren-Bellingwolde (of Bellingwolde-Lunteren) betekent dat bij deze twee dialecten 66 van de 66 kenmerken verschillen: de Hammingafstand is 66 .
In de tabel heeft de onderzoeker dus 15 Hammingafstanden berekend. In totaal stonden er echter geen 6 dialecten, maar 267 dialecten in de tabel. Bij elk tweetal heeft de onderzoeker de Hammingafstand berekend.

b

Bereken hoeveel Hammingafstanden de onderzoeker in totaal heeft berekend.

De onderzoeker zocht naar een verband tussen de geografische afstand en de Hammingafstand van dialecten. In het kaartje in de figuur op de volgende bladzijde zie je een aantal dialecten met stippen aangegeven. In het assenstelsel is voor elk tweetal dialecten de Hammingafstand (in punten) uitgezet tegen de geografische afstand (in km).
In het assenstelsel kun je zien dat bij punt A de afstand tussen twee plaatsen gelijk is aan 200 km en de Hammingafstand ongeveer gelijk is aan 58 .
De onderzoeker heeft op twee manieren geprobeerd het verband tussen de geografische afstand en de Hammingafstand met een wiskundig verband te benaderen. Beide manieren, een lineair verband en een logaritmisch verband, zijn weergegeven in het assenstelsel.

De onderzoeker heeft in het assenstelsel dus ook een grafiek voor een logaritmisch verband getekend. De formule voor dit logaritmische verband is: H = 45,88 + 66,44 log ( x ) .
Hierin is H de Hammingafstand en x de geografische afstand in km. Op de getekende rechte lijn liggen de punten ( 10,55 ) en ( 400,145 ) .

c

Stel met behulp van deze twee punten een formule op voor het lineaire verband in het assenstelsel en bereken met behulp van de formules bij welke geografische afstanden de Hammingafstanden volgens het lineaire en het logaritmische verband gelijk zijn. Rond je antwoord af op gehele kilometers.

De grafiek van het logaritmische verband in het assenstelsel gaat bijvoorbeeld door de punten ( 50,67 ) , ( 100,87 ) , ( 200,107 ) en ( 400,127 ) . Hieraan kun je zien dat volgens het logaritmisch verband bij een verdubbeling van de geografische afstand de Hammingafstand steeds met 20 toeneemt. Met behulp van de formule H = 45,88 + 66,44 log ( x ) kun je aantonen dat dit altijd zo is.

Toon met behulp van de rekenregels van de logaritmen aan dat 45,88 + 66,44 log ( 2 x ) ongeveer gelijk is aan
45,88 + 66,44 log ( x ) + 20 .

9

Energiebronnen
Hout was vroeger de belangrijkste energiebron. In het begin van de negentiende eeuw werd de rol van de belangrijkste energiebron overgenomen door kolen. De laatste jaren is het aandeel van olie en gas in het totale energieverbruik steeds groter geworden. In het boek ’Energie, een economisch perspectief ’ besteden de schrijvers Th. v.d. Klundert en H. Peer aandacht aan de ontwikkeling van energiebronnen. Zij gebruiken daarbij de variabele f voor het aandeel van een energiebron zoals dat zich in de loop van de tijd ontwikkeld heeft ten opzichte van het totale energieverbruik. Dit aandeel f is een getal waarvoor geldt dat 0 f 1 . Hierbij betekent f = 0 dat deze energiebron helemaal niet gebruikt wordt en f = 1 dat uitsluitend van deze energiebron gebruik gemaakt wordt.

In het boek staat een afbeelding zoals in de figuur hieronder. Door niet f maar f 1 f uit te zetten en bovendien op de verticale as een aangepaste schaalverdeling te gebruiken, worden de meeste grafieken rechte lijnen. De figuur hieronder staat ook op het werkblad.

a

In welk jaar leverde hout 50 % van het totale energieverbruik? Licht je antwoord toe.

Met de figuur hierboven hebben de auteurs informatie willen geven over het belang van verschillende energiebronnen door de jaren heen. Opvallend is dat daarbij niet f maar f 1 f wordt gebruikt. Dat kan omdat bij elke waarde van f 1 f precies één waarde van f hoort. Immers,als f toeneemt van 0 tot 1 , dan stijgt f 1 f voortdurend.

b

Toon die laatste bewering aan met behulp van de afgeleide van f 1 f .

Aan de hand van de figuur kunnen we voor f hout , het aandeel van hout in het totale energieverbruik, de volgende formule afleiden: f hout 1 f hout = 3,03 0,96 t .
In deze formule is t in jaren met t = 0 op 1 januari 1850. Het verband tussen f hout en t kan ook in een directe vorm worden weergegeven: f hout =

c

Stel met behulp van de gegeven formule voor hout f hout 1 f hout = 3,03 0,96 t een formule in een directe vorm voor f hout op.

Dergelijke formules in directe vorm zijn ook op te stellen voor f olie en f gas , het aandeel van olie respectievelijk van gas in de totale energievoorziening. Deze formules zien er als volgt uit: f olie = 0,0023 1,05 t 1 + 0,0023 1,05 t f gas = 0,0008 1,05 t 1 + 0,0008 1,05 t . Op zeker moment leverden, volgens deze formules, olie en gas samen % van het totale energieverbruik.

d

Onderzoek in welk jaar dat het geval is.

De olievoorraden raken uitgeput en het kolenverbruik heeft veel milieuproblemen tot gevolg. Daarom verwacht men dat het gasverbruik in de komende tijd zal blijven toenemen. Al jaren stijgt het gasverbruik jaarlijks met 3,5 % en men gaat ervan uit dat dit in de komende tijd niet zal veranderen.
Deze stijging betekent dat de huidige gasreserves toereikend zijn tot het jaar 2050. Om er voor te zorgen dat de wereld na 2050 nog voldoende gas kan blijven gebruiken, moeten nieuwe voorraden worden ontdekt. Om een indruk te geven van wat dat laatste betekent, is in het boek ’De grenzen voorbij’ de volgende figuur opgenomen.

In deze figuur geeft elk vierkant en elke rechthoek de verbruikte of benodigde hoeveelheid gas voor een bepaalde periode aan.

e

Leg met behulp van een berekening uit hoe een jaarlijkse stijging van het gasverbruik met 3,5 % in bovenstaande figuur is te herkennen.

10

Diergemeenschappen in Afrika Er is veel onderzoek gedaan naar de samenstelling van grazende diergemeenschappen in de natuurparken van Afrika. Dergelijke grazende diergemeenschappen worden gilden genoemd.
Onderzoek heeft zich onder andere gericht op de gewichten van de diersoorten binnen een gilde. Bij dit onderzoek heeft men de soorten binnen een gilde op volgorde gezet van gemiddeld lichaamsgewicht. De lichtste soort heeft men rangnummer 0 gegeven. De lichtste soort noemen we daarom soort 0, de op een na lichtste soort noemen we soort 1, enzovoort. Je kunt nu de gewichten van elkaar opvolgende soorten vergelijken.
Dit vergelijken gebeurt via de zogeheten gewichtsratio. Dat is de verhouding tussen het (gemiddelde) gewicht van volwassen dieren van twee elkaar opvolgende soorten. Als bijvoorbeeld soort 7 een gewicht heeft dat 1,8 keer zo groot is als dat van soort 6, dan is de gewichtsratio tussen deze twee soorten gelijk aan 1,8 . Uit dergelijk onderzoek is nu gebleken:

Binnen elk gilde is de gewichtsratio tussen twee elkaar opvolgende diersoorten vrijwel constant.

Dit betekent dat in het gilde van het voorbeeld hierboven geldt: soort 1 is 1,8 keer zo zwaar als soort 0, soort 2 is 1,8 keer zo zwaar als soort 1, enzovoort.

Neem aan dat in een ander gilde de gewichtsratio gelijk is aan 1,35 en dat soort 3 een gewicht heeft van 7,8 kg.

a

Bereken het gewicht van de lichtste soort in dit gilde.

Niet alleen binnen een bepaald natuurgebied is er sprake is van een vrijwel constante gewichtsratio, maar dit geldt ook als men alle grazende diersoorten in geheel Afrika als één diergemeenschap beschouwt. Omdat er in totaal dan meer diersoorten zijn, zal de gewichtsratio voor heel Afrika kleiner zijn dan die voor de afzonderlijke gilden. In de volgende tabel staan de gewichten van drie diersoorten met daarbij hun rangnummer in de gewichtsvolgorde van soorten in heel Afrika. Bij de volgende vragen wordt ervan uitgegaan dat de gewichtsratio tussen alle elkaar opvolgende soorten constant is.

b

Bereken de gewichtsratio voor heel Afrika met behulp van de gegevens in de tabel voor hartebeest en Kaapse buffel in twee decimalen nauwkeurig.

c

Onderzoek hoeveel soorten in de rangschikking tussen de Kaapse buffel en de olifant sindsdien zijn uitgestorven.

Voor dieren in een natuurpark in Oost-Afrika, het Serengeti park, geldt het volgende verband: log ( W ) = 0,075 N + 0,4 .
Hierin is W het lichaamsgewicht van een soort in kg en N is het rangnummer van die soort.
Deze formule kan met behulp van algebra worden omgewerkt tot W = b g N .

d

Bereken op deze wijze de waarden van b en g . Rond je antwoorden af op één decimaal.

11

Kavelkosten
Een gemeente wil uitbreiden door het bouwen van een nieuwe wijk. De plaats waar de nieuwe wijk gebouwd zal worden, is vastgesteld. Voordat de gemeente het uitbreidingsplan laat uitvoeren, doet de gemeente onderzoek naar de kosten van het plan. Er zijn twee soorten kosten voor de gemeente:

  1. de kosten van aankoop van de grond. In deze situatie bedragen de kosten 170 000 euro per hectare ( 1 hectare = 10 000 m2).

  2. de kosten van het bouwrijp maken. Dit betreft kosten voor de aanleg van bijvoorbeeld wegen, rioleringen en groenvoorzieningen. Deze kosten zijn hoger naarmate het aantal woningen dat per hectare gebouwd zal worden groter is.

In de figuur op de volgende bladzijde zijn kosten van diverse vergelijkbare projecten door middel van plusjes weergegeven. Zowel langs de horizontale als langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Hierbij is x het aantal woningen per hectare. B stelt voor de kosten per hectare van het bouwrijp maken in duizenden euro. Op grond van de plusjes in de figuur is een grafiek (de lijn x ) getekend die het verband tussen B en x weergeeft. De figuur staat ook op het werkblad.

De lijn k beschrijft een theoretisch model waarmee B kan worden berekend.
De werkelijke kosten bij de onderzochte projecten (de plusjes in de figuur) wijken soms aanzienlijk af van de kosten volgens dit model. Kijk bijvoorbeeld maar naar de kosten van het project dat hoort bij x 19 .

a

Onderzoek of de werkelijke waarde van B van dit project meer dan 100 % afwijkt van de waarde van B volgens het model.

Bij de rechte lijn k , die door de punten ( 20,90 ) en ( 40,300 ) gaat, hoort een formule van de vorm B = p x q .

b

Bepaal de getallen p en q algebraïsch in twee decimalen.

Ga er in de rest van de opgave van uit dat B = 0,4 x 1,8 .

We gaan er voor het gemak van uit dat alle woningen hetzelfde zullen zijn. De totale kosten per woning voor de gemeente bestaan uit de volgende onderdelen:

  1. de aankoopkosten van de grond per woning K A = 170 x 1 ,

  2. de kosten voor het bouwrijp maken van de grond K B = 0,4 x 0,8 .

In deze formules zijn K A en K B in duizenden euro.

c

Laat zien hoe de formules van K A en K B tot stand zijn gekomen.

In de figuur hieronder zie je een schets van de grafieken van K A en K B .
Neem aan dat de gemeente er naar zal streven om de totale kosten per woning zo klein mogelijk te maken.

d

Stel een formule op voor de afgeleide van de functie die de totale kosten per woning weergeeft en onderzoek met behulp daarvan of het minimum van de totale kosten per woning bereikt wordt als K A en K B even groot zijn.

In de toekomst zal de gemeente nog meer stukken grond aankopen. De grondprijs per ha zal echter in de toekomst kunnen stijgen. Daardoor zal ook het aantal woningen dat per ha gebouwd moet worden om de totale kosten zo klein mogelijk te maken, veranderen. Een ambtenaar onderzoekt dit probleem met zijn grafische rekenmachine. Hij gebruikt daarbij de volgende uitgangspunten:

  1. de grondprijs per ha G (in duizenden euro) zal tussen 170 en 250 liggen;

  2. bij iedere grondprijs G kun je met de formule K T = G x 1 + 0,4 x 0,8 berekenen hoe de totale kosten per woning K T = G x 1 + 0,4 x 0,8 afhangen van x , het aantal woningen per ha. Bij iedere waarde van G is er precies één waarde van x die de minimale kosten per woning oplevert.


In zijn rapport vermeldt de ambtenaar dat het voor G = 230 het goedkoopst is om 39 woningen per ha te bouwen. Hij heeft daarbij het aantal woningen per ha afgerond op gehelen. Maar er zijn nog meer waarden van G waarbij de totale kosten per woning minimaal zijn wanneer er (afgerond) 39 woningen per ha gebouwd worden.

e

Onderzoek voor welke waarden van G dit laatste het geval is. Geef de gevonden waarden van G in duizenden euro nauwkeurig.

12

In de figuur hieronder is bij een aantal afstanden de wereldrecordtijd van mannen uitgezet. De schaalverdeling langs beide assen is logaritmisch. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn. Deze figuur staat ook op het werkblad.

Een van de punten is gekleurd.

a

Welk record op welke afstand geeft dit weer? Licht je antwoord toe.

Een formule die past bij de getekende grafiek is
log ( t ) = 1,111 log ( a ) 1,234 .
Deze formule is te herschrijven als een formule in de vorm: t = p a q .

b

Bepaal de getallen p en q in twee decimalen door de formule op algebraïsche wijze te herschrijven.

13

De hoeveelheid water van een regenbui wordt gemeten in inches ( 1 inch is 2,54 cm). Het regenwater wordt opgevangen in een regenmeter. De hoogte van het water in de regenmeter geeft aan hoeveel regen er gevallen is.
Een onderzoeker heeft voor hevige regenbuien de volgende formule opgesteld: R = 16,6 D 0,475 .
Hierin is R de hoeveelheid regen in inches en D de duur van de bui in uren.

De onderzoeker beweert: een hevige bui die 10 keer zolang duurt, geeft 3 keer zoveel regen.

a

Ga algebraïsch na of dit in zijn algemeenheid waar is.

In verband met overstromingsproblemen (van riolen en dergelijke) is het van belang om ook te letten op de hoeveelheid regen per minuut. Dit wordt de intensiteit I van een bui genoemd. In formulevorm: I = hoeveelheid regen duur van de bui .
Hierbij is de hoeveelheid regen in inches en de duur van de bui in minuten.
Als de intensiteit I te hoog is, kunnen er problemen ontstaan met de afvoer van het water. Een intensiteit van 0,1 blijkt in de praktijk al voor grote problemen te kunnen zorgen.

b

Bereken algebraïsch in twee decimalen hoeveel minuten een hevige bui met I = 0,1 duurt.

Wij willen de formule R = 16,6 D 0,475 omzetten in een verband voor de hoeveelheid regen r in cm met een duur d van de bui in minuten.
Zo'n verband is van de vorm r = c d 0,475 , voor een zekere constante c .

c

Laat dat op algebraïsche wijze zien en bepaal c in twee decimalen nauwkerig.

14

Triominos
Het spel Triominos bestaat uit driehoekige stenen. Op elke steen staan drie cijfers, één cijfer bij elke hoek. Dit cijfer kan zijn een 0, 1, 2, 3, 4 of 5. Voor de stenen met drie verschillende cijfers geldt dat met de klok meedraaiend de cijfers in grootte oplopen als je met het kleinste cijfer begint. Zie de steen met de cijfers 2, 4 en 5.
Alle stenen zijn verschillend. Alle mogelijke combinaties van cijfers komen voor.

In figuur 2 zie je een voorbeeld van een steen: de steen 5-5-5.
Doel van het spel is zoveel mogelijk stenen passend aan te leggen. Dit betekent dat de cijfers op de twee hoeken die tegen elkaar aan komen te liggen, hetzelfde zijn. In figuur 3 zie je hoe aan de steen 5-5-5 de steen 2-5-5 aangelegd kan worden.

Behalve de steen 2-5-5 zijn er ook andere stenen die je op deze plaats aan de steen 5-5-5 zou kunnen aanleggen.

a

Schrijf op welke stenen dit zijn.

b

Bereken het aantal stenen in een Trionominosspel.