Wat is een periodieke functie?

Hieronder staat de grafiek van een periodieke functie. Een bepaald stuk van de grafiek herhaalt zich steeds.
Bij de grafiek van de functie $f$ hieronder heeft het stuk lengte $6$ .
We noemen dat de periode van de functie.

De vergelijking $f (x) = 1$ heeft oneindig veel oplossingen.
Als je de oplossingen op één periode kent, ken je ze allemaal.
Op het interval $[0,6]$ zijn de oplossingen $2$ en $5$ .
Alle oplossingen zijn dan de rijen:
$\dots, ‐ 10, ‐ 4, 2, 8, 14, \dots$ en
$\dots, ‐ 7, ‐ 1, 5, 11, 17, \dots$
Deze rijen zetten zich links en rechts oneindig ver met dezelfde regelmaat voort.
Wij noteren ze kort als volgt: $2 + k \cdot 6$ en $5 + k \cdot 6$ met $k$ geheel.

Opmerking:

De rijen $2 + k \cdot 6$ , $20 + k \cdot 6$ en $‐ 10 + k \cdot 6$ met $k$ geheel zijn dezelfde rijen.
Ga dat na.

$f$ is een functie met periode $4$ . De grafiek staat hiernaast.
Voor $‐ 2 \leq x \leq 2$ geldt: $f (x) = 4 - x^{2}$ .

Voor welke $x$ geldt: $f (x) = 3$ ?

Voor welke $x$ tussen $18$ en $23$ geldt: $f (x) = 1$ exact?

Voor ons zijn belangrijkste periodieke functies de sinusoïden. Een sinusoïde krijg je door het rekken en verschuiven van de grafiek van de functie $y = \sin (x)$ . De grafiek van die functie is hieronder getekend.

De functie $y = \sin (x)$ heeft periode $2 π$ , de gemiddelde waarde is $0$ , de maximale waarde $1$ voor de waarden $x = \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π$ en de minimale waarde $‐ 1$ voor de waarden $x = 1 \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π$ , met $k$ geheel.

Schuiven en rekken

In hoofdstuk 14 hebben we het volgende afgeleid.

Gegeven een functie $f$ .

Neem aan: $g (x) = f (a x)$ met $a \neq 0$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ horizontaal met $\frac{1}{a}$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = a \cdot f (x)$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ verticaal met $a$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = f (x + a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x - a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) + a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) - a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar beneden te schuiven.

Voorbeeld:

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f$ op domein $[‐ 2,2]$ met $f (x) = x^{3} - 3 x$ .
Als je de grafiek van $f$ drie eenheden naar rechts schuift, krijg je de grafiek van $g$ .
Dan $g (x) = {(x - 3)}^{3} - 3 (x - 3)$ .
Als je de grafiek van $g$ verticaal met $\frac{1}{2}$ vermenigvuldigt, krijg je de grafiek van $h$ .
Dan $h (x) = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{3} - 1 \frac{1}{2} (x - 3)$ .

De grafiek van de functie $k$ ontstaat door die van $f$ uit het voorbeeld horizontaal met $2$ te vermenigvuldigen.

Geef een formule voor $k (x)$ .

Voor de functie $m$ geldt: $m (x) = {(x + 1)}^{3} - 3 (x + 1) + 2$ .
De grafiek van $m$ ontstaat door een horizontale en een verticale verschuiving uit de grafiek van $f$ .

Welke?

Bekijk nog eens de periodieke functie $f$ van opgave 41.

Geef een formule voor $f (x)$ als $6 \leq x \leq 10$ .

Sinusoïden

De grafiek van een functie die door (herhaald) schuiven en/of rekken uit de grafiek van de sinus-functie $y = \sin (x)$ ontstaat noemen we een sinusoïde.

De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.
De golf met evenwichtswaarde $a$ , amplitude $b$ , periode $p$ die bij waarde $c$ stijgend door de evenwichtslijn gaat, heeft formule: $y = a + b \cdot \sin (\frac{2 π}{p} (x - c))$ .
Merk op: de sinusfunctie heeft amplitude $1$ , evenwichtswaarde $0$ en periode $2 π$ .
Bij $x = 0$ gaat de grafiek stijgend door de evenwichtslijn.

Voorbeeld:

Hiernaast is een sinusoïde getekend. Een bijpassende formule vind je als volgt.
De evenwichtswaarde en de amplitude is $2$ . De grafiek gaat bij $x = 1$ stijgend door het evenwicht en de periode is $4$ .
Een bijbehorende formule is dus
$y = 2 + 2 \sin (\frac{2 π}{4} (x - 1)) = 2 + 2 \sin (\frac{1}{2} π (x - 1))$ .

Voorbeeld

Gegeven is de functie $y = 3 + 2 \sin (0,1 π x - π)$ . We bepalen zonder GR de maximale en minimale waarde van $y$ en de bijbehorende waarden van $x$ waarvoor ze bereikt worden.
De evenwichtswaarde is $3$ en de amplitude is $2$ . Om de periode en een waarde van $x$ te vinden waar de grafiekstijgend door het evenwicht gaat schrijven de formule van het verband anders: $y = 3 + 2 \sin (\frac{2 π}{20} (x - 10))$ .
Dus de grafiek gaat bij $x = 10$ stijgend door het evenwicht en de periode is $20$ .
De maximale waarde wordt bereikt voor bijvoorbeeld $x = 10 + \frac{1}{4} \cdot 20 = 15$ en de minimale waarde voor bijvoorbeeld $x = 10 + \frac{3}{4} \cdot 20 = 25$ .
Alle waarden van $x$ waarbij $y$ de evenwichtswaarde heeft zijn van de vorm $x = k \cdot 10$ , de waarden van $x$ waarbij $y$ maximaal is zijn van de vorm $x = 15 + k \cdot 20$ en de waarden van $x$ waarbij $y$ minimaal is zijn van de vorm $x = 25 + k \cdot 20$ , met $k$ geheel.

In de figuur zijn de grafieken van de periodieke functies $f$ en $g$ getekend. De maximale waarde van $f (x)$ wordt bereikt voor $x = ‐ 2$ ; de maximale waarde van $g (x)$ wordt bereikt voor $x = ‐ 2 \frac{1}{2}$ .

Bereken voor welke waarde van $x$ tussen $100$ en $110$ $f (x)$ maximaal is.

Bereken voor welke waarde van $x$ tussen $100$ en $110$ $g (x)$ minimaal is.

Geef formules voor $f (x)$ en $g (x)$ .

Vergelijkingen met sinus

Vergelijkingen met sinus hebben bijna altijd meer dan één oplossing. De GR geeft er meestal maar één. De andere moet je vinden met behulp van symmtrie en periodiciteit.

Voorbeeld:

Gegeven is het verband $y = 3 - 2 \cdot \sin (\frac{1}{3} π (x - 2))$ .
Vraag
Voor welke $x$ op $[‐ 3,9]$ geldt: $y = 2,2$ ?
Geef de oplossingen langs algebraïsche weg in twee decimalen.
Oplossing
Hieronder is de grafiek van het verband getekend met de lijn $y = 2,2$ .
De grafiek gaat door de evenwichtslijn $y = 3$ bij $x = 2$ en de periode is $6$ . Dus de evenwichtswaarde wordt ook bereikt voor $x = ‐ 1$ , $x = 5$ en $x = 8$ . De lijn $x = 3,5$ is dus symmetrieas. Die staat ook in de figuur.

De oplossingen zijn de getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ in de figuur.
$3 - 2 \cdot \sin (\frac{1}{3} π (x - 2)) = 2,2 \Leftrightarrow \sin (\frac{1}{3} π (x - 2)) = 0,4$ . Met de GR vinden we: $\sin^{‐ 1} (0,4) = 0,4115 \dots$ ; er geldt: $\frac{1}{3} π (x - 2) = 0,4115 \dots \Leftrightarrow x = 2 + \frac{0,4115 \dots}{\frac{1}{3} π} = 2,3929 \dots$ , dit is het getal $b$ . Het gemiddelde van $b$ en $c$ is $3,5$ , dus $c = 7 - b = 4,6070 \dots$ .
Het getal $a$ verschilt één periode van $c$ , dus $a = ‐ 1,3829 \dots$ .
Het getal $d$ verschilt één periode van $b$ , dus $d = 8,3929 \dots$ .
De oplossingen in twee decimalen zijn: $‐ 1,38$ ; $2,39$ ; $4,61$ ; $8,39$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ langs algebraïsche weg op in twee decimalen.

$2 \sin (\frac{1}{2} x - 1) = 1,3$ en $‐ 8 \leq x \leq 8$
$1 - 3 \sin (π (x + 1)) = 2$ en $‐ 2 \leq x \leq 1$
$2 + \sin (2 x + 1) = 3$ en $0 \leq x \leq 8$

In extra opgave 9 van hoofdstuk 14 hebben we een goot bekeken.
Een formule voor de hoogte $h$ van de goot als functie van de breedte $b$ is $h = 5 + 5 \sin (0,1 π (b - 15))$ .

Bereken langs algebraïsche weg de breedte van de waterspiegel in één decimaal als de hoogte $8$ is.