15.4  Discrete analyse >

We bekijken de kwadratenrij:
0, 1, 4, 9, 16, .
Je kunt de termen van de rij een naam geven, bijvoorbeeld a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16,
De rij kan beschreven worden met een directe formule als volgt:
a n = n 2 , n = 0, 1, 2, .
Het kan ook met een recursieve formule ook wel recurrente betrekking genoemd:
{ a 0 = 0 a n = a n 1 + 2 n 1 n = 1, 2, 3, .
Bij een recursieve formule bouw je rij term voor term op, bij een directe formule kun je een term uit de rij direct berekenen, zonder zijn voorgangers te kennen.

1

Bekijk de rij L-en in de figuur hiernaast. Het aantal blokjes waaruit de L met nummer n bestaat noemen we a n voor
n = 0, 1, 2, .

a

Geef een recursieve formule voor de rij n = 0, 1, 2, : { a 0 = a n = a n 1 + n = 1, 2, 3, .

b

Geef een directe formule voor de rij a n .

2

Rijtjes nullen en enen
Hiernaast staat het aantal verschillende rijtjes met nullen en enen van lengte drie.
Het aantal verschillende rijtjes met nullen en enen van lengte n noemen we b n . In de figuur zie je: b 3 = 8 .

a

Hoe vind je b n uit b n 1 ?

Dus een recursieve betrekking voor de rij b n is:
{ b 1 = 2 b n = 2 b n 1 , n = 1, 2,3, .

b

Geef een directe formule voor de rij b n .

Opmerking:

De beginterm van een rij hoort meestal bij n = 0 , zoals in opgave 34 of bij n = 1 , zoals in opgave 35.
De beginterm zou ook nog bij een andere waarde van n kunnen horen.

Let dus goed op het nummer van de beginterm!

3

In plaats van naar rijtjes van nullen en enen van een bepaalde lengte te kijken, kun je ook kijken naar rijtjes die hoogstens een bepaalde lengte hebben.
Het aantal verschillende rijtjes van nullen en enen van lengte hooguit drie is: b 1 + b 2 + b 3 = 2 + 4 + 8 = 14 ( b n is als in de vorige opgave).
Het aantal verschillende rijtjes nullen en enen van lengte hooguit n noemen we s n .

Er geldt: s 9 = 1022 .

a

Bereken hieruit s 10 .

b

Geef een recursieve formule voor de rij s n .

Bekijk de rij d n met d n = 2 n + 1 2, n = 1, 2,3, .
Dan d 1 = 2 .

c

Ga na dat d n = d n 1 + 2 n .

Dus een directe formule voor de rij s n is: s n = 2 n + 1 2 .

d

Leg dat uit.

In de voorgaande opgave hebben de somrij s n van de rij b n bekeken:
s 1 = b 1 ,
s 2 = b 1 + b 2 ,
s 3 = b 1 + b 2 + b 3 , ...

Gegeven is een rij b n , n = 1, 2,3, , dan is de somrij s n van de rij b n : s n = b 1 + b 2 + + b n .
Een recursieve betrekking voor de rij s n is:
{ s 1 = b 1 s n = s n 1 + b n , n = 2,3, 4 .

Opmerking:

Een rij kan ook beginterm met n = 0 , bijvoorbeeld de rij a n , met n = 0, 1, 2,3, uit opgave 34, dan
s 0 = a 0 ,
s 1 = a 0 + a 1 , s 2 = a 0 + a 1 + a 2 , ...
Dan is: { s 0 = a 0 s n = s n 1 + a n , n = 1, 2,3, een recursieve betrekking van de somrij.

Stelle haalt elke dag een kleinigheid in de supermarkt. De laatste tijd houdt zij bij hoeveel ze elke dag uitgeeft. Het uitgegeven bedrag b n op dag n staat in de volgende tabel.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

b n

1,50

2,35

3,50

1,00

1,45

2,15

2,00

Met j = 1 3 b j bedoelen we het bedrag dat ze de eerste drie dagen heeft uitgegeven:
j = 1 3 b j = b 1 + b 2 + b 3 = 1,50 + 2,35 + 3,50 = 7,35 .
En j = 4 7 b j = b 4 + b 5 + b 6 + b 7 = 6,60 het bedrag dat ze de laatste vier dagen in totaal heeft uitgegeven.

De notatie
Gegeven is een rij a n voor n = 0, 1, 2,3, .
Dan is j = 3 7 a j = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7

Opmerking:

De somrij van de rij a n , n = 0, 1, 2,3, kunnen we dus ook noteren als: k = 0 n a k .

4

We bekijken de rij a n uit opgave met directe formule a n = 2 n + 4 voor n = 0, 1, 2,3, .

Bereken: k = 1 3 a k en k = 4 5 a k .

Rekenkundige en meetkundige rijen

Een rekenkundige rij is een rij waarbij je de volgende term krijgt door bij de voorganger steeds hetzelfde vaste getal op te tellen.
Gegeven is een rekenkundige rij a n voor n = 0, 1, 2,3, .
Een recursieve betrekking is dan van de vorm: { a 0 = b a n = a n 1 + v , n = 1, 2,3, .
Hierbij is b de beginterm en v het vaste getal dat steeds bij de voorganger opgeteld moet worden om de volgende term te krijgen.
v heet het verschil van de rekenkundige rij.
Een directe formule is van de vorm: a n = v n + b , n = 0, 1,2, .

5

Gegeven is de rij 10, 6, 2, 2, .
We noemen de termen a 0 , a 1 , a 2 , a 3 .... enzovoort.

a

Geef een recursieve en een directe formule voor de rij a n .

Het getal 30 komt voor in de rij.

b

De hoeveelste term is 30 ?

c

Geef een directe formule voor de rij b n met { b 0 = 10 b n = b n 1 + 7 , n = 1, 2, 3, .

Een meetkundige rij is een rij waarbij je de volgende term krijgt door de voorganger steeds met hetzelfde vaste getal te vermenigvuldigen.
Gegeven is een meetkundige rij a n voor n = 0, 1, 2,3, .
Een recursieve betrekking is dan van de vorm: { a 0 = b a n = r a n 1 , n = 1, 2, .
Hierbij is b de beginterm en r het vaste getal waarmee de voorganger vermenigvuldigd moet worden om de volgende term te krijgen.
Het getal r heet de reden van de meetkundige rij.
Een directe formule is van de vorm:
a n = b r n , n = 0, 1,2, .

6

Een meetkundige rij a n heeft beginterm a 0 = 16 en reden
r = 1 1 2 .

a

Geef een recursieve en een directe formule voor de rij.

121 1 2 is een term in de rij.

b

Bereken de bijbehorende n .

Gegeven is een meetkundige rij m n , n = 0, 1, 2, .
m 3 = 7 en m 9 = 700 .

c

Geef een directe formule voor de rij.

Gegeven is de rij p n = 10 ( 1 ) n , n = 0, 1, 2, .

d

Bereken zonder rekenmachine p 1000 en p 1001

e

Is deze rij rekenkundig, meetkundig?

Een formule voor de somrij van een rekenkundige rij

In hoofdstuk 10, paragraaf 5 van deel 2 v5 hebben we de volgende formule afgeleid.

Als a 0 . a 1 , a 2 , ... een rekenkundige rij is, dan kan de som van een aantal opvolgende termen bepaald worden met de regel: som van de termen = gemiddelde van begin- en eindterm maal het aantal termen.
In formule: i = 0 n a i = 1 2 ( n + 1 ) ( a 0 + a n ) .

Voorbeeld:

We berekenen de som van alle viervouden, te beginnen bij 100 en eindigend bij 400 .
Dus: 100 + 104 + + 396 + 400 .
Om de formule te kunnen toepassen, moeten we het aantal termen kennen.
We noemen de rij van die viervouden a 0 , a 1 , , dan a n = 100 + 4 n en a n = 400 n = 75 , dus het aantal termen is 76 (Let op! De beginterm is a 0 ).
De som is dus: 76 1 2 ( 100 + 400 ) = 19000 .

7

We bekijken de rij L-en van opgave 34, met a n = 4 + 2 n , voor n = 0, 1, 2, .

a

Bereken algebraïsch met de somformule j = 0 10 a j .

Twee termen in de rij zijn 30 en 60 .

b

Bereken met de somformule de som van de termen in de rij van 30 tot en met 60 .

s n = j = 0 n a j is de somrij van de rij a n .

c

Geef een formule voor s n . Schrijf deze zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

In de figuur hiernaast zijn de eerste vier L-en aan elkaar gelegd. Zo kun je eenvoudig zien dat j = 0 3 a j = 6 5 2 = 28 .

d

Controleer door aan elkaar leggen je formule van de vorige vraag.

(hint)
Kijk eerst hoe lang de poten van de grootste L zijn, uitgedrukt in n .