Gegeven is een functie $y=f(x)$.
De functie is periodiek met periode $p$ als:

• bij twee $x$-waarden die $p$ verschillen precies dezelfde $y$-waarden horen,

• er geen kleiner positief getal dan $p$ is met deze eigenschap.

Als $f$ een periodieke functie is met periode $p$, dan geldt voor elk getal $x$:
$\mathrm{...}=f(x-p)=f(x)=f(x+p)=f(x+2p)=f(x+3p)=\mathrm{...}$

Als je een formule kent om $f(x)$ te berekenen voor waarden van $x$ in een zeker interval van lengte $p$, dan kun je $f(x)$ berekenen voor elke waarde van $x$.

De standaard cirkelbeweging ontstaat als een kogeltje als volgt in een cirkelvormige baan draait:

• de straal van de baan is $1$ cm;

• het middelpunt is $(\mathrm{0,0})$;

• het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);

• de snelheid is $1$ cm/s: het kogeltje legt elke seconde een afstand van $1$ cm af langs de cirkel;

• op tijdstip $0$ is het kogeltje in $(\mathrm{1,0})$.

De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.

De tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip $t$ noemen we $\sin \left(t\right)$.
De grafiek van de sinusfunctie staat hieronder.

Gegeven een functie $f$.

• Neem aan: $g(x)=f(ax)$ met $a\ne 0$.
  De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ horizontaal met $\frac{1}{a}$ te vermenigvuldigen.

• Neem aan: $g(x)=a\cdot f(x)$.
  De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ verticaal met $a$ te vermenigvuldigen.

• Neem aan: $g(x)=f(x+a)$ met $a>0$.
  Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar links te schuiven.
  Neem aan: $g(x)=f(x-a)$ met $a>0$.
  Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar rechts te schuiven.

• Neem aan: $g(x)=f(x)+a$ met $a>0$. Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar boven te schuiven.
  Neem aan: $g(x)=f(x)-a$ met $a>0$. Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar beneden te schuiven.

De grafiek van een functie die door (herhaald) schuiven en/of rekken uit de grafiek van de sinus-functie $y=\sin \left(x\right)$ ontstaat noemen we een sinusoïde.

De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.
De golf met evenwichtswaarde $a$, amplitude $b$, periode $p$ die bij waarde $c$ stijgend door de evenwichtslijn gaat, heeft formule: $y=a+b\cdot \sin \left(\frac{2\text{π}}{p}\left(x-c\right)\right)$.
Merk op: de sinusfunctie heeft amplitude $1$, evenwichtswaarde $0$ en periode $2\text{π}$.
Bij $x=0$ gaat de grafiek stijgend door de evenwichtslijn.

Voorbeeld 1
$f$ is de functie met $f\left(x\right)=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,5}\sin \left(\frac{1}{2}\text{π}\left(x-1\right)\right)$.
We bepalen langs algebraïsche weg de waarden van $x$ met $f\left(x\right)=1$.
Hieronder staat een schets van de grafiek van $f$.

De periode $p$ van de functie is $4$ en bij $x=1$ gaat de grafiek stijgend door het de evenwichtslijn. Dus de grafiek heeft de lijn $x=1+\frac{1}{4}p=2$ als symmetrie-as.
$f\left(x\right)=1\iff \sin \left(\frac{1}{2}\text{π}\left(x-1\right)\right)=\mathrm{0,4}$. Met de GR kun je één oplossing $x$ vinden:
$\frac{1}{2}\text{π}\left(x-1\right)={\sin }^{‐1}\left(\mathrm{0,4}\right)=\mathrm{0,411}\dots$, dus $x=\mathrm{1,261}\dots$. Dit is het getal $a$ in de schets.
Er geldt: $\frac{1}{2}\left(a+b\right)=2$, dus $b=4-\mathrm{1,261}\dots =\mathrm{2,738}\dots$.
In twee decimalen zijn de oplossingen: $x=\mathrm{1,26}+k\cdot 4$ en $x=\mathrm{2,74}+k\cdot 4$, voor alle gehele waarden van $k$.

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $f$ met $f\left(x\right)=1+2\sin \left(\mathrm{0,5}x+1\right)$.
Er geldt: $\sin \left(\mathrm{0,5}x+1\right)=\sin \left(\mathrm{0,5}\left(x+2\right)\right)$, dus de functie heeft periode $p=4\text{π}$ en gaat bij $x=‐2$ stijgend door de evenwichtslijn. Dus een symmetrie-as is de lijn $x=‐2+\frac{1}{4}p=‐2+\text{π}$. We berekenen langs algebraïsche weg de nulpunten $a$, $b$ en $c$ van de functie $f$, zie figuur op de volgende bladzijde.

Er geldt: $f\left(x\right)=0\iff$$\sin \left(2x+1\right)=‐\mathrm{0,5}$.
Met de GR vind je één oplossing: $2x+1={\sin }^{‐1}\left(‐\mathrm{0,5}\right)=‐\mathrm{0,523}\dots$, dus $x=‐\mathrm{3,047}\dots$. Dat is het nulpunt $a$ in de schets.
Er geldt: $\frac{1}{2}\left(a+b\right)=\text{π}-2$, dus $b=2\text{π}-4-a=\mathrm{5,330}\dots$ en $c=a+4\text{π}=\mathrm{9,519}\dots$.