1

Bederf in de koelkast
Nog steeds stellen veel Nederlandse huishoudens hun koelkast in op een te hoge temperatuur.Hierdoor kunnen producten eerder bederven dan de houdbaarheidsdatum aangeeft. Omdat de consument steeds vaker verse producten wenst, wordt er veel onderzoek gedaan naar de houdbaarheid van producten die kunnen bederven. Een van die onderzoeken betreft het aantal pseudomonas-bacteriën per kilogram verse kip.
In figuur hieronder en in het eerste onderdeel bekijken we de resultaten van een proef waarbij een kip werd bewaard in een koelkast die op $0 °$ C is ingesteld. Er werd bijgehouden hoe het aantal bacteriën $B$ per kilogram kip zich ontwikkelde. Om alle gegevens in één grafiek overzichtelijk te presenteren is de logaritme van $B$ uitgezet tegen het aantal dagen $d$ vanaf het begin van de koeling.

Volgens de Warenwet mogen er ten hoogste $50$ miljoen bacteriën aanwezig zijn per kilogram kip. Zijn er meer bacteriën aanwezig, dan wordt het kippenvlees afgekeurd en mag het niet meer gegeten worden.

a

Onderzoek met behulp van de grafiek of de kip na $10$ dagen koelen op $0 °$ C nog gegeten mag worden.

Eén kilogram kippenvlees dat $1000$ pseudomonas-bacteriën bevat, wordt in een koelkast bewaard.De volgende formule geldt: $\log (B) = \frac{1}{3} \cdot {1,32}^{t} \cdot d + 3$ Hierin is $B$ het aantal bacteriën, $t$ de temperatuur in de koelkast in $° C$ en $d$ het aantal dagen dat de kip in de koelkast wordt bewaard.

De kip blijkt, bij een bepaalde vaste temperatuurinstelling, na precies twee dagen $50$ miljoen bacteriën te bevatten.

b

Bereken op welke temperatuur de koelkast is ingesteld.Geef je antwoord in gehele graden Celsius.

Uit de formule is af te leiden dat bij elke waarde van $t$ het verband tussen $B$ en $d$ exponentieel is. Neem aan dat de koelkast op $4 ° C$ zou zijn ingesteld.

c

Bereken dan de groeifactor per dag voor het aantal bacteriën $B$ . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

2

Differentieer de volgende functies. Schrijf het antwoord zo eenvoudig mogelijk.

$y = {(\frac{3}{8})}^{x}$	$y = {}^{\frac{3}{8}} \log (x)$
$y = 2^{\sqrt{x}}$	$y = \log (\sqrt{x})$
$y = {(2^{x} + 3)}^{4}$	$y = {(\log (x) + 3)}^{4}$
$y = x \cdot 2^{x} + x^{2}$	$y = x \cdot \log (x) - x$
$y = \frac{e^{x}}{x}$	$y = \frac{\ln (x)}{x}$

3

Differentieer:

$y = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

$y = \frac{\ln (x) + 1}{\ln (x) - 1}$ .

4

Jaap brengt een band op spanning. Na $t$ seconden pompen is de spanning $S (t) = 2,8 - 1,2 \cdot {(0,95)}^{t}$ bar.

a

Wat is de spanning als Jaap begint te pompen? En wat als de band vol is?

c

Bereken de gemiddelde stijging per seconde van de spanning op het tijdsinterval $[29,31]$ in drie decimalen.

Volgens Jaap is dat gemiddelde goed te benaderen met $S^{'} (30)$ .

d

Bereken $S^{'} (30)$ in drie decimalen.

e

Bereken algebraïsch na hoeveel seconden (in één decimaal) de spanning in de band $2,0$ bar is.

5

In de volgende verbanden is $H$ een exponentiële functie van $t$ .
Schrijf ze in de vorm $H = a \cdot g^{t}$ met $a$ en $g$ in twee decimalen.

a

$\log (H) = ‐ 0,25 t + 1,1$	$\log (H) = 0,8 t + 2,2$
${}^{2} \log (H) = ‐ 0,25 t + 1,1$	${}^{2} \log (H) = 0,8 t + 2,2$

In de volgende verbanden is $H$ een machtsfunctie van $t$ .
Schrijf ze in de vorm $H = a \cdot t^{b}$ met $a$ en $b$ in twee decimalen.

b

$\log (H) = ‐ 0,8 \cdot \log (t) + 0,9$	$\log (H) = 1,21 \cdot \log (t) - 0,9$
${}^{4} \log (H) = ‐ 0,8 \cdot {}^{4} \log (t) + 0,9$	${}^{4} \log (H) = 1,21 \cdot {}^{4} \log (t) - 0,9$

6

De hoogte $h$ van een boom (in meter) $t$ jaar nadat hij is aangeplant wordt gegeven door de formule $h (t) = \frac{12 \cdot e^{t}}{e^{t} + 5}$ .

a

Hoe hoog is de boom als hij geplant wordt?

Je kunt $h (t)$ ook schrijven als $\frac{12}{1 + 5 \cdot e^{‐ t}}$ .

b

Toon dat aan.

Op den duur groeit de boom niet meer.

c

Hoe lang wordt hij op den duur? Bepaal dat algebraïsch.

Hieronder staat de grafiek van $h$ . Het eerste jaar is de groei van de boom nagenoeg exponentieel. Hij is namelijk goed te benaderen door de exponentiële functie $g$ .

d

Geef een formule voor $g (t)$ . Licht je werkwijze toe.

e

Bereken met differentiëren hoe snel de boom na $4$ jaar groeit. Geef je antwoord in cm/maand.

7

Geluidshinder van het verkeer

Langs drukke snelwegen
Het lawaai dat men ondervindt van het verkeer op een drukke snelweg blijkt vooral af te hangen van de afstand die men heeft tot de snelweg en van de snelheid van het verkeer op de snelweg.
Het lawaai is niet constant. Ook als een waarnemer op een vaste plek staat, wisselt het lawaai in de tijd voortdurend. Voor het vergelijken van situaties hanteert men daarom het gemiddelde lawaainiveau ( $L$ ) op een plek. Een hoge waarde van $L$ kan reden zijn om een geluidswal te plaatsen bij een woonwijk.
Bij drukke snelwegen gaat men uit van de formule:
$L = 89,5 - 9,9 \cdot \log (a \cdot v) + 0,16 v - 0,03 a$ .
Hierbij is $a$ de afstand in meters tot de snelweg en $v$ de gemiddelde snelheid in km/uur van het verkeer. Stel dat $v = 80$ .

a

Toon aan dat volgens deze formule $L$ afneemt als de afstand tot de snelweg groter wordt.

Bewoners van woningen dicht bij de snelweg ondervinden vooral veel overlast bij hoge en bij zeer lage gemiddelde snelheden van het verkeer.
Een woning staat op $100$ meter afstand van de snelweg.

b

Bepaal met de GR: bij welke snelheid is $L$ voor deze woning minimaal?

c

Vind deze snelheid ook met behulp van differentiëren.

d

Onderzoek in hoeverre de afstand die een woning heeft tot de snelweg van invloed is op de gemiddelde snelheid waarbij $L$ minimaal is.

In steden
Op drukke plekken in een stad is de verkeerssituatie vaak erg ingewikkeld. Een formule als hiervoor kan dan niet gebruikt worden. Bovendien zijn in een stad de pieken in het lawaai meestal meer van belang dan het gemiddelde lawaainiveau. Voor het vergelijken van situaties gaat men als volgt te werk.

Per plek meet men het lawaainiveau continu gedurende een vaste meetperiode, bijvoorbeeld van 04.00 uur tot 24.00 uur.
Uit de meetresultaten bepaalt men daarna het lawaainiveau dat gedurende $10$ % van die meetperiode werd overschreden. Dit niveau wordt aangeduid met $L_{10}$ .

Vindt men voor $L_{10}$ bijvoorbeeld de waarde $105$ , dan was het lawaainiveau daar gedurende $10$ % van de meetperiode hoger dan $105$ en gedurende $90$ % van de meetperiode $105$ of lager.
Op een werkdag is van 04.00 uur tot 24.00 uur het lawaainiveau continu gemeten op een bepaalde plek. Voor die meetperiode en die plek vond men $L_{10} = 105$ . Alleen tijdens de ochtendspits (07.00 - 09.00 uur) en de avondspits (17.00 - 19.00 uur) werden daarbij waarden hoger dan $100$ gemeten.

e

Maak op grond van het bovenstaande een mogelijke grafiek; zet verticaal het lawaainiveau $L$ uit en horizontaal de tijd (een etmaal). Geef een toelichting.

In Londen hebben onderzoekers bovendien per plek aan een groot aantal omwonenden gevraagd in welke mate men zich ergert aan het verkeerslawaai. Op grond van de antwoorden bepaalden de onderzoekers een "ergernisscore" $E$ voor elke plek. Voor $E$ gebruikten ze de getallen $0$ tot en met $10$ , waarbij $E = 0$ overeenkomt met "in het geheel niet ergerlijk" en $E = 10$ met "uitermate ergerlijk".
Er bleek geen direct verband te bestaan tussen de ergernis- score en $L_{10}$ . Een hogere waarde van $L_{10}$ leverde niet altijd een hogere ergernis-score. De ondervraagden bleken zich namelijk met name te ergeren aan lawaai dat vrachtauto's en bussen maken. Diepgaande analyse van de resultaten leidde tot het opstellen van een model waarin naast $E$ en $L_{10}$ ook het percentage zwaar verkeer $p$ is opgenomen; zie onderstaande figuur.

Voordat een ringweg was aangelegd, leverden metingen voor een zeker knelpunt in Londen op: $L_{10} = 85$ en $p = 35$ . Na de openstelling van de ringweg is het op het knelpunt veel minder druk. Tegenwoordig is de ergernis-score voor het knelpunt nog maar de helft van die van vroeger.
Het percentage zwaar verkeer op het knelpunt is tegenwoordig $15$ .

f

Lees af hoe groot $L_{10}$ op het knelpunt tegenwoordig ongeveer is. Licht je werkwijze toe.

Op grond van de figuur kan voor $E$ een formule worden opgesteld van de vorm: $E = 0,1 \cdot L_{10} + b \cdot \log (p) + c$ .

g

Bereken $b$ en $c$ in één decimaal.