De afgeleide van

y = g^{x}

y = {}^{g} \log (x)

Er is een getal, we noemen het e, waarvoor geldt: de helling van de exponentiële functie dat grondtal in $(0,1)$ is $1$ .
Dan geldt: $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ .
De inverse functie van de functie $y = e^{x}$ is de functie
$y =^{e} \log (x)$ .
We schrijven $\ln (x)$ in plaats van $^{e} \log (x)$ en noemen $\ln (x)$ de natuurlijke logaritme van $x$ .

Er geldt:
$\frac{d}{d x} g^{x} = g^{x} \cdot \ln (g)$ en $\frac{d}{d x} {}^{g} \log (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (g)}$
In het bijzonder:
$\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ en $\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$

Opmerking:

Het getal e is te benaderen met ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ , met $n$ positief geheel. De benadering is beter naarmate $n$ groter is.
Als je voor $n = 10.000.000$ neemt, vind je:
$e = {(1 + 0,0000001)}^{10.000.000} \approx 2,718281693...$ , hiervan zijn de eerste zes decimalen goed.

Vergelijkingen

We geven enkele voorbeelden.

Lineaire vergelijkingen
$3 (x - 2) = x + 2$
Oplossing
$3 (x - 2) = x + 2 \Leftrightarrow$
$3 x - 6 = x + 2 \Leftrightarrow$
$2 x = 8 \Leftrightarrow$
$x = 4$
Kwadratische vergelijkingen
$2 x^{2} = x + 10$
Oplossing
$2 x^{2} = x + 10 \Leftrightarrow$
$2 x^{2} - x - 10 = 0$
Met de abc-formule
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot ‐ 10}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 9}{2 \cdot 2}$ ,
dus $x = ‐ 2$ of $x = 2 \frac{1}{2}$ .

Vergelijkingen met machten
$2 x^{3} = 3 \sqrt{x}$ met $x > 0$ .
Oplossing
$2 x^{3} = 3 \sqrt{x} \Leftrightarrow$
$2 x^{3} = 3 x^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow$
$x^{\frac{5}{2}} = 1 \frac{1}{2} \Leftrightarrow$
$x = {(1 \frac{1}{2})}^{\frac{2}{5}} = 1,17 \dots$
Exponentiële vergelijkingen
$2 \cdot 3^{x} = 5$
Oplossing
$2 \cdot 3^{x} = 5 \Leftrightarrow$
$3^{x} = 2 \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$
$x = {}^{3} \log (2 \frac{1}{2})$ $= 0,83 \dots$

Formules herschrijven

De formule $\log (H) = ‐ 2 t + 5$ kun je als volgt herschrijven.
$\log (H) = ‐ 2 t + 5 \Leftrightarrow H = 10^{‐ 2 t + 5} = 10^{5} \cdot {(10^{‐ 2})}^{t}$ , dus als $H = 100.000 \cdot {0,01}^{t}$ .

De formule $\log (H) = ‐ 2 \cdot \log (t) + 2,5$ kun je als volgt herschrijven.
$\log (H) = ‐ 2 \cdot \log (t) + 2,5 \Leftrightarrow H = 10^{‐ 2 \cdot \log (t) + 2,5} =$ $10^{2,5} \cdot {(10^{\log (t)})}^{‐ 2} =$ $10^{2,5} \cdot t^{‐ 2}$ , dus als
$H \approx \frac{316}{t^{2}}$ .