In de volgende voorbeelden herschrijven we formules.
In opgave 48 over sterren, komt de volgende formule voor:
.
Als je aan beide kanten de logaritme neemt krijg je:
,
dus
.
Andersom kan ook:
als , dan
,
dus .
In opgave 7 over windmolens komt de volgende formule voor:
.
Als je aan beide kanten de logaritme neemt krijg je:
,
dus .
En andersom:
als , dan
, dus
.
In de vorige voorbeelden was het grondtal steeds . In dit voorbeeld nemen we grondtal
.
Als , dan
, dus
.
Schrijf de volgende verbanden in de vorm met en zo mogelijk exact en anders in twee decimalen.
|
|
In de volgende verbanden is een
exponentiële groeifunctie van .
Bereken de groeifactor en de beginhoeveelheid zo mogelijk exact en anders in twee
decimalen.
|
|
Schrijf de volgende verbanden in de vorm , met en zo mogelijk exact en anders in twee decimalen.
|
|
In opgave 71 staat de formule: .
Je kunt die formule herschrijven in de vorm: voor zekere
en .
Bereken en in twee decimalen.
In opgave 48 over loopsnelheid staat de volgende formule.
.
Laat zien dat deze formule te herschrijven is als: .
In de tabel hieronder staan de gemiddelde hoogten van een bepaald soort zonnebloem op verschillende tijdstippen na het ontkiemen. Gemiddeld worden de zonnebloemen cm hoog. is de gemiddelde hoogte van de zonnebloemen (in cm) na weken.
Onderzoek of er sprake is van lineaire groei, exponentiële groei of geen van beide.
Teken de grafiek van de functie met behulp van de gegevens uit de tabel.
De grafiek is nagenoeg een rechte lijn.
Stel een formule op van deze lijn: als functie van .
Leid uit de formule van b en je antwoord bij c een formule af voor als functie van .
Bereken hoe snel de zonnebloemen gemiddeld groeien als ze weken oud zijn (in cm/week).
Een koekenpan wordt op tijdstip op het vuur gezet. De temperatuur van de bodem wordt gegeven door de formule met de temperatuur in C en de tijd in seconden.
Bereken langs algebraïsche weg na hoeveel seconden de temperatuur hoger dan C wordt.
Geef een formule voor en bereken hiermee hoe snel de temperatuur stijgt seconden nadat de pan op het vuur is gezet.
Om de koekenpan op temperatuur te houden wordt hij op
een klein pitje gezet. De koekenpan heeft een diameter
van cm. In onderstaande figuur is de bodem van de
koekenpan in een assenstelsel getekend.
De plaats van
de vlam is het punt .
Na enige tijd verandert het temperatuurpatroon van de
bodem niet meer. Bij de vlam is de temperatuur
natuurlijk het hoogst; verder van de vlam wordt hij steeds
lager. De temperatuur op een plek op de bodem is
een functie van de afstand van die plek tot . Van deze
functie is hieronder de grafiek getelend. Op de verticale as is een logaritmische
schaal gebruikt.
Bepaal met behulp van deze grafiek wat is in het punt .
Teken de bodem van de koekenpan in een assenstelsel en teken daarop de C-isotherm (dat is de kromme die de punten verbindt waarde temperatuur C is).
Containers
In alle havens wordt met containers gewerkt. Daarom moet elke container herkenbaar
zijn.
Hiervoor is een code ontwikkeld. Elke code is geregistreerd bij de ISO (International
Organization for Standardization).
Elke container krijgt een nummer bestaande uit
letters, cijfers en controlecijfer.
Bijvoorbeeld EMCU 315579 1.
Het containernummer bestaat uit delen:
de eerste drie letters zijn vrij te kiezen uit het alfabet, de vierde is de U van unit;
de eerste cijfers vormen het serienummer;
het laatste cijfer is een controlecijfer, dat op een ingewikkelde manier rechtstreeks afhangt van de eerste zes cijfers en dus vastligt.
Bereken het aantal verschillende containernummers.
Voor de verscheping worden de containers gegast. De lading en ook de pallets
waarop de goederen liggen, kunnen drager zijn van schadelijke parasieten en schimmels
en daarom wordt een dodelijk gas in hoge concentratie in de
container aangebracht.
Het RIVM (Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) heeft in opdracht van de
VROM-Inspectie2) in 2006 een onderzoek
uitgevoerd naar de concentraties van gassingsmiddelen. In dit onderzoek
werden containers gegast met de stof fosfine.
Door kleine ventilatieopeningen in de container nam de concentratie fosfine geleidelijk
af.
In de figuur hieronder zie je het verloop van de concentratie fosfine.
De concentratie van het gas fosfine in container 1 is bij benadering te beschrijven met een dalend exponentieel verband.
Bereken met behulp van de figuur met hoeveel procent de concentratie fosfine in container 1 per dag afneemt.
In container 2 is ook sprake van exponentiële afname. Het RIVM geeft in zijn
rapport de volgende formule hiervoor:
.
Hierbij is de concentratie fosfine in mg/m3 en de tijd in dagen na 10 augustus
2006.
Het RIVM had de formule ook op een andere wijze kunnen geven: bijvoorbeeld
in de vorm met en constanten.
Schrijf de formule van het RIVM voor de afname van het gas in container 2 in de vorm .
Fosfine is een gevaarlijke stof. Het RIVM hanteert een alarmeringsgrenswaarde van mg/m3. Dat betekent dat er gevaar is voor mensen en dieren wanneer de concentratie fosfine groter is dan mg/m3.
Bereken met de formule op welke datum de concentratie fosfine in container 2 onder de alarmeringsgrenswaarde zakt.
Vliegtuiglawaai
Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten
is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze
wetten
worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.
De geluidsbelasting op een plaats in de buurt van een vliegveld hangt af van het aantal
vliegtuigen dat per jaar passeert en van het geluidsniveau van elk vliegtuig. In deze
opgave
nemen we aan dat er geen onderlinge verschillen tussen vliegtuigen zijn wat het
geluidsniveau betreft. Het geluidsniveau per vliegtuig geven we aan met . Door nieuwe
technieken is het mogelijk dit geluidsniveau per vliegtuig steeds verder omlaag te
brengen.
Het aantal vliegtuigen per jaar noemen we .
Voor enkele waarden van is het verband
tussen en weergegeven in de figuur hieronder.
Zoals gezegd is in milieuwetten vastgelegd hoe groot de geluidsbelasting in de buurt
van
vliegvelden maximaal mag zijn: .
De waarde van is bepalend voor het maximaal toegestane aantal vliegtuigen, Nmax. In
de figuur lees je af dat voor bij benadering geldt: .
Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau van vliegtuigen af,
zodat toeneemt.
Toon aan dat uit de figuur blijkt dat een verlaging van het geluidsniveau van vliegtuigen met niet steeds leidt tot eenzelfde toename van .
De formule die het verband tussen , en geeft is:
.
Voor , het geluidsniveau per vliegtuig, geldt op zeker moment: .
Vanzelfsprekend zal een toename van het aantal vliegtuigen ook de geluidsbelasting
doen toenemen. Met behulp van de afgeleide
kun je onderzoeken in welke mate dat het geval is.
Men wil weten bij welke waarde van een toename van vliegtuigen de
geluidsbelasting met zal doen toenemen.
Stel een formule op voor en gebruik om deze waarde van te berekenen.