13.6  Gemengde opgaven >
Formules herschrijven
Voorbeeld:

In de volgende voorbeelden herschrijven we formules.

  1. In opgave 48 over sterren, komt de volgende formule voor: L = 1000 10 0,2 m .
    Als je aan beide kanten de logaritme neemt krijg je:
    log ( L ) = log ( 1000 10 0,2 m ) = log ( 1000 ) + log ( 10 0,2 m ) ,
    dus log ( L ) = 3 0,2 m .

  2. Andersom kan ook:
    als log ( y ) = 2 x + 3 , dan
    y = 10 2 x + 3 = 10 3 10 2 x = 10 3 ( 10 2 ) x , dus y = 1000 100 x .

  3. In opgave 7 over windmolens komt de volgende formule voor:
    E = 0,3 w 3 .
    Als je aan beide kanten de logaritme neemt krijg je:
    log ( E ) = log ( 0,3 w 3 ) = log ( 0,3 ) + log ( w 3 ) =
    log ( 0,3 ) + 3 log ( w ) ,
    dus log ( E ) = 3 log ( w ) 0,52 .

  4. En andersom:
    als log ( y ) = 2 log ( x ) + 3 , dan
    y = 10 2 log ( x ) + 3 = 10 3 10 2 log ( x ) = 10 3 ( 10 log ( x ) ) 2 , dus
    y = 1000 x 2 = 1000 x 2 .

  5. In de vorige voorbeelden was het grondtal steeds 10 . In dit voorbeeld nemen we grondtal 3 .
    Als 3 log ( y ) = 0,3 x + 1,4 , dan y = 3 0,3 x + 1,4 = 3 0,3 x 3 1,4 = ( 3 0,3 ) x 3 1,4 , dus y 4,66 1,39 x .

1

Schrijf de volgende verbanden in de vorm log ( y ) = a x + b met a en b zo mogelijk exact en anders in twee decimalen.

a

y = 3 2 x

y = 0,7 2 x 3

In de volgende verbanden is H een exponentiële groeifunctie van t .
Bereken de groeifactor en de beginhoeveelheid zo mogelijk exact en anders in twee decimalen.

b

log ( H ) = 0,3 t + 2

log ( H ) = 1,2 ( t 1 )

Schrijf de volgende verbanden in de vorm y = a x b , met a en b zo mogelijk exact en anders in twee decimalen.

c

log ( y ) = 2 log ( x ) + 1

log ( y ) = 0,4 ( log ( x ) + 2 )

In opgave 71 staat de formule: C = 0,75 t 20,6 .
Je kunt die formule herschrijven in de vorm: log ( C ) = a t + b voor zekere a en b .

c

Bereken a en b in twee decimalen.

2

In opgave 48 over loopsnelheid staat de volgende formule.
v = 20 2 log ( s 10.000 ) .

Laat zien dat deze formule te herschrijven is als: s 2 v 10 10 .

(hint)
Gebruik 2 20 10 6 .
3

In de tabel hieronder staan de gemiddelde hoogten van een bepaald soort zonnebloem op verschillende tijdstippen na het ontkiemen. Gemiddeld worden de zonnebloemen 256 cm hoog. H ( t ) is de gemiddelde hoogte van de zonnebloemen (in cm) na t weken.

t

2

4

6

8

10

12

H ( t )

31

96

185

235

251

255

a

Onderzoek of er sprake is van lineaire groei, exponentiële groei of geen van beide.

b

Teken de grafiek van de functie y ( t ) = log ( 256 H ( t ) 1 ) met behulp van de gegevens uit de tabel.

De grafiek is nagenoeg een rechte lijn.

c

Stel een formule op van deze lijn: y als functie van t .

d

Leid uit de formule van b en je antwoord bij c een formule af voor H als functie van t .

e

Bereken hoe snel de zonnebloemen gemiddeld groeien als ze 7 weken oud zijn (in cm/week).

4

Een koekenpan wordt op tijdstip t = 0 op het vuur gezet. De temperatuur T van de bodem wordt gegeven door de formule T = 320 600 1 + e 0,1 t met de temperatuur T in ° C en de tijd t in seconden.

a

Bereken langs algebraïsche weg na hoeveel seconden de temperatuur hoger dan 300 ° C wordt.

b

Geef een formule voor d T d t en bereken hiermee hoe snel de temperatuur stijgt 30 seconden nadat de pan op het vuur is gezet.

Om de koekenpan op temperatuur te houden wordt hij op een klein pitje gezet. De koekenpan heeft een diameter van 30 cm. In onderstaande figuur is de bodem van de koekenpan in een assenstelsel getekend.
De plaats van de vlam V is het punt ( 8,8 ) .
Na enige tijd verandert het temperatuurpatroon van de bodem niet meer. Bij de vlam is de temperatuur natuurlijk het hoogst; verder van de vlam wordt hij steeds lager. De temperatuur W op een plek op de bodem is een functie van de afstand r van die plek tot V . Van deze functie is hieronder de grafiek getelend. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt.

c

Bepaal met behulp van deze grafiek wat W is in het punt ( 0,0 ) .

d

Teken de bodem van de koekenpan in een assenstelsel en teken daarop de 100 ° C-isotherm (dat is de kromme die de punten verbindt waarde temperatuur 100 ° C is).

5

Containers
In alle havens wordt met containers gewerkt. Daarom moet elke container herkenbaar zijn. Hiervoor is een code ontwikkeld. Elke code is geregistreerd bij de ISO (International Organization for Standardization).
Elke container krijgt een nummer bestaande uit 4 letters, 6 cijfers en 1 controlecijfer. Bijvoorbeeld EMCU 315579 1. Het containernummer bestaat uit 3 delen:

  1. de eerste drie letters zijn vrij te kiezen uit het alfabet, de vierde is de U van unit;

  2. de eerste 6 cijfers vormen het serienummer;

  3. het laatste cijfer is een controlecijfer, dat op een ingewikkelde manier rechtstreeks afhangt van de eerste zes cijfers en dus vastligt.

a

Bereken het aantal verschillende containernummers.

Voor de verscheping worden de containers gegast. De lading en ook de pallets waarop de goederen liggen, kunnen drager zijn van schadelijke parasieten en schimmels en daarom wordt een dodelijk gas in hoge concentratie in de container aangebracht.

Het RIVM (Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) heeft in opdracht van de VROM-Inspectie2) in 2006 een onderzoek uitgevoerd naar de concentraties van gassingsmiddelen. In dit onderzoek werden 2 containers gegast met de stof fosfine. Door kleine ventilatieopeningen in de container nam de concentratie fosfine geleidelijk af. In de figuur hieronder zie je het verloop van de concentratie fosfine.

De concentratie van het gas fosfine in container 1 is bij benadering te beschrijven met een dalend exponentieel verband.

b

Bereken met behulp van de figuur met hoeveel procent de concentratie fosfine in container 1 per dag afneemt.

In container 2 is ook sprake van exponentiële afname. Het RIVM geeft in zijn rapport de volgende formule hiervoor:
C = 0,75 t 20,6 .
Hierbij is C de concentratie fosfine in mg/m3 en t de tijd in dagen na 10 augustus 2006.
Het RIVM had de formule ook op een andere wijze kunnen geven: bijvoorbeeld in de vorm C = b g t met b en g constanten.

c

Schrijf de formule van het RIVM voor de afname van het gas in container 2 in de vorm C = b g t .

Fosfine is een gevaarlijke stof. Het RIVM hanteert een alarmeringsgrenswaarde van 2 mg/m3. Dat betekent dat er gevaar is voor mensen en dieren wanneer de concentratie fosfine groter is dan 2 mg/m3.

d

Bereken met de formule C = 0,75 t 20,6 op welke datum de concentratie fosfine in container 2 onder de alarmeringsgrenswaarde zakt.

6

Vliegtuiglawaai
Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.
De geluidsbelasting B op een plaats in de buurt van een vliegveld hangt af van het aantal vliegtuigen dat per jaar passeert en van het geluidsniveau van elk vliegtuig. In deze opgave nemen we aan dat er geen onderlinge verschillen tussen vliegtuigen zijn wat het geluidsniveau betreft. Het geluidsniveau per vliegtuig geven we aan met L . Door nieuwe technieken is het mogelijk dit geluidsniveau per vliegtuig steeds verder omlaag te brengen. Het aantal vliegtuigen per jaar noemen we N . Voor enkele waarden van L is het verband tussen N en B weergegeven in de figuur hieronder.

Zoals gezegd is in milieuwetten vastgelegd hoe groot de geluidsbelasting in de buurt van vliegvelden maximaal mag zijn: B max = 45 .

De waarde van L is bepalend voor het maximaal toegestane aantal vliegtuigen, Nmax. In de figuur lees je af dat voor L = 70 bij benadering geldt: N max = 270 000 .
Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau L van vliegtuigen af, zodat N max toeneemt.

a

Toon aan dat uit de figuur blijkt dat een verlaging van het geluidsniveau van vliegtuigen met 5 niet steeds leidt tot eenzelfde toename van N max .

De formule die het verband tussen L , N en B geeft is:
B = 20 log N + 4 3 L 157 .
Voor L , het geluidsniveau per vliegtuig, geldt op zeker moment: L = 72 .
Vanzelfsprekend zal een toename van het aantal vliegtuigen ook de geluidsbelasting doen toenemen. Met behulp van de afgeleide d B d N kun je onderzoeken in welke mate dat het geval is.
Men wil weten bij welke waarde van N een toename van 10 000 vliegtuigen de geluidsbelasting met 1 zal doen toenemen.

b

Stel een formule op voor d B d N en gebruik d B d N om deze waarde van N te berekenen.