13.5 De afgeleide van logaritmische functies >

Hoofdstukken > Groei van groei

We bekijken opnieuw een bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt; op tijdstip $0$ is er $1$ mg bacteriën. Het aantal bacteriën op tijdstip $t$ noemen we $h (t)$ ; $t$ in uren, $h (t)$ in mg. Er geldt: $h (t) = 2^{t}$ . Meestal beschouwen we $h$ als functie van $t$ , maar nu draaien we de zaak om en bekijken $t$ als functie van $h$ : $t (h)$ is het tijdstip waarop er $h$ mg bacteriën is.

Maak een tabel zoals hieronder en vul die in.

$h$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$t$

Geef een formule voor $t$ als functie van $h$ en teken de grafiek op de GR; $h$ op de horizontale as en $t$ op de verticale as.

Als $h$ groter wordt, neemt $t$ ook toe. We willen weten hoe snel $t$ groeit als functie van $h$ .

Als $h$ groter wordt, neemt de groeisnelheid van $t$ dan toe of juist af?

Bereken met een rekenschema hoe groot de groeisnelheid van $t$ ongeveer is als $h = 1$ .

Teken op de GR de raaklijn aan de grafiek in het punt met $h = 1$ .
Hoe groot is de groeisnelheid van $t$ als $h = 1$ ?

Bereken met een rekenschema de groeisnelheid van $t$ als $h = 2$ .

Je antwoord op vraag opgave 62e was (hopelijk) $1,442$ en op vraag f $0,721$ . De groeisnelheid van $t$ bij $h = 2$ half zo groot als bij $h = 1$ . Allicht, want als je twee keer zo veel bacteriën hebt, groeit de kolonie twee keer zo snel en is er dus half zo veel tijd nodig.

Weet je nu ook wat de groeisnelheid van t is als $h = 4$

En als $h = 7$ ? En als $h = 10$ ?

Conclusie
De groeisnelheid van $t$ als functie van $h$ is $\frac{1,442}{h}$ .
Hierin is $1,442$ een benadering.

Gegeven zijn de punten $A (3,1)$ en $B (5,2)$ en de lijn met vergelijking $y = x$ . De spiegelbeelden van $A$ en $B$ in die lijn noemen we respectievelijk $C$ en $D$ .

Teken de lijn en de vier punten in een assenstelsel.

Wat is de helling van lijn $A B$ ? En van lijn $C D$ ?

Wat is in het algemeen het verband tussen de helling van een lijn en de helling van zijn spiegelbeeld in de lijn $y = x$ ?

Twee lijnen, niet evenwijdig aan de coördinaatassen, die elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn $y = x$ , hebben omgekeerde richtingscoëfficiënten.
Dus als de ene lijn richtingscoëfficiënt $a$ heeft, heeft de ander richtingscoëfficiënt $\frac{1}{a}$ .

We bekijken de functies $f$ en $g$ , met $f (x) = 2^{x}$ en $g (x) = {}^{2} \log (x)$ .
Als $(a, b)$ op de grafiek van $g$ ligt, dan ${}^{2} \log (a) = b$

Schrijf dit verband tussen $a$ en $b$ zonder logaritmen.

Uit het antwoord van a volgt: als $(a, b)$ op de grafiek van $g$ , dan $(b, a)$ op de grafiek van $f$ .
De functies $f$ en $g$ zijn elkaars inverse; de grafieken van $f$ en $g$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$
Hieronder zijn de grafieken getekend.

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ .

De helling van de grafiek van $f$ in $(3,8)$ is dus: $8 \cdot \ln (2)$ .

Ga dat na.
Wat is dus de helling van de grafiek van $g$ in $(8,3)$ ?

We nemen een punt $(a, b)$ op de grafiek van $f$ . Het spiegelbeeld $(b, a)$ ligt dan op de grafiek van $g$ .

Wat is de helling van de grafiek van $g$ in $(b, a)$ ?

Uit het antwoord op de voorgaande vraag volgt: $g^{'} (b) = \frac{1}{b \cdot \ln (2)}$

Ga na dat deze waarde overeenkomt met de conclusie na opgave 63.

Wat hierboven met grondtal $2$ is gedaan, kun je natuurlijk voor elk grondtal doen.

Als $y = {}^{g} \log (x)$ , dan $y^{'} = \frac{1}{x \cdot \ln (g)}$ ,
anders genoteerd: $\frac{d}{d x} {}^{g} \log (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (g)}$ .
In het bijzonder: $\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$ .

Voorbeeld:

Als $y = \log (x)$ , dan $y^{'} = \frac{1}{x \cdot \ln (10)} \approx \frac{0,43}{x}$ .
Als $y = x \cdot {}^{2} \log (x)$ , dan $y^{'} = 1 \cdot {}^{2} \log (x) + x \cdot \frac{1}{x \cdot \ln (2)} \approx {}^{2} \log (x) + 1,443$ (productregel).
Als $y = \sqrt{{}^{2} \log (x)}$ , dan $y^{'} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{{}^{2} \log (x)}} \cdot \frac{1}{x \cdot \ln (2)} \approx \frac{0,721}{x \cdot \sqrt{{}^{2} \log (x)}}$ (kettingregel).

Differentieer.

$y = {}^{5} \log (x)$	$y = {}^{\frac{1}{2}} \log (x)$
$y = 2 \cdot \log (x) + 11$	$y = {({}^{2} \log (x) - 1)}^{5}$
$y = \ln (x^{2} + 1)$	$y = x^{2} \ln (x)$