13.4 De afgeleide van exponentiële functies >

Gemiddelde groeisnelheid

De wereldbevolking
Het aantal mensen op aarde noemen we $B$ (in miljarden) en het aantal jaren na begin 2000 noemen we $t$ .
Begin 2000 was $B = 6,2$ en 31 oktober 2011 schatte de VN $B$ op $7,2$ miljard.
We nemen aan dat de wereldbevolking exponentieel groeit.

Bereken hieruit de groeifactor van de wereldbevolking per jaar in vier decimalen.

We werken in het vervolg met het model: $B = 6,2 \cdot {1,0155}^{t}$ .

Met hoeveel miljoen mensen neemt de wereldbevolking gemiddeld per jaar toe tussen begin 2000 en begin 2050?

Met hoeveel miljoen mensen neemt de bevolking toe gedurende het jaar 2000? En gedurende het jaar 2050?

Je ziet dat de bevolking steeds sneller groeit. Logisch, want als er meer mensen zijn (en de omstandigheden blijven gelijk), zullen er ook jaarlijks meer mensen bijkomen.
In het jaar 2050 zijn er $2,16$ keer zo veel mensen als in het jaar 2000. In 2050 komen er dus ook meer mensen bij dan in 2000.

Hoeveel keer zo veel?

Lawaai op de werkvloer
In het voorjaar van 1987 trad een wet voor lawaai op arbeidsplaatsen in werking. Hier volgt een citaat uit de toelichting op de wet uit 1987, afkomstig van de minister van Sociale Zaken.

Wetenschappelijk staat vast dat langdurige blootstelling aan schadelijk geluid blijvende doofheid kan veroorzaken. Dit kan optreden vanaf $80$ dB. Naarmate het niveau hoger is en de blootstelling langer duurt, wordt de kans op doofheid groter. Deze lawaaidoofheid ontstaat geleidelijk. Daarom denkt men wel eens ten onrechte dat men aan lawaai went.

Volgens een internationale norm mag men niet langer dan $8$ uur blootgesteld worden aan lawaai van $90$ decibel (dB) of meer. In harder geluid mag minder lang gewerkt worden. Het verband tussen de maximale werktijd $T$ (uur) en het aantal decibel $S$ wordt gegeven door: $T = 8 \cdot {0,794}^{S - 90}$ .

Met hoeveel uur neemt de maximale werktijd gemiddeld per decibel af, als $S$ toeneemt van $90$ tot $105$ ?

Met hoeveel uur neemt de maximale werktijd af, als $S$ toeneemt van $90$ tot $91$ ?

En als $S$ toeneemt van $105$ tot $106$ ?

Je ziet dat de snelheid waarmee de werktijd afneemt steeds kleiner wordt.

Gas tanken
Een gaspomp werkt niet zo gelijkmatig als een benzinepomp. Het aantal liter gas dat per seconde wordt geleverd, hangt af van de hoeveelheid gas dat al in de tank zit.

Kun je dat verklaren?

Annekes auto rijdt op gas. De tank is helemaal leeg. Na $t$ seconden tanken zit er $G = 40 - 40 \cdot {0,95}^{t}$ liter gas in de tank.

Hoeveel liter komt er gemiddeld per seconde bij gedurende de eerste $10$ seconden van het tanken?

Hoeveel liter komt er gedurende de eerste seconde bij?

En hoeveel liter komt er gedurende de elfde seconde bij?

Exponentiële functies differentiëren

We zijn geïnteresseerd in de afgeleide van exponentiële functies. Daarvoor herhalen we eerst de beginselen van het differentiëren.

$B$ is een functie van $t$ .
Hoe snel $B$ gemiddeld per jaar groeit tussen $t = 0$ en $t = 50$ kun je op twee manieren bepalen.

Meet de helling van de lijn die gaat door de bijbehorende punten van de grafiek.
Bereken $\frac{Δ B}{Δ t}$ met een rekenschema.

$t = 0$	$\to$	$B = \dots$
$\underline{t = 50}$	$\to$	$\underline{B = \dots}$
$Δ t = 50$	$\to$	$Δ B = \dots$

Hoe snel

B

groeit op het tijdstip

t = 0

kun je op twee manieren bepalen.

Meet de helling van de grafiek in het bijbehorende punt van de grafiek (raaklijn).
Bereken $\frac{Δ B}{Δ t}$ met een rekenschema.

$t = 0$	$\to$	$B = \dots$
$\underline{t = 0,1}$	$\to$	$\underline{B = \dots}$
$Δ t = 0,1$	$\to$	$Δ B = \dots$

$\frac{Δ B}{Δ t}$ benadert de gevraagde groeisnelheid.
Kleinere waarden van $Δ t$ geven preciezere benaderingen.

Een bacteriekolonie groeit met factor $2$ per uur; de hoeveelheid op tijdstip $0$ is $1$ mg. Er geldt: $h (t) = 2^{t}$ ; hierbij is $h (t)$ het aantal mg bacteriën na $t$ uur.

Teken de grafiek op de GR.

Bepaal de helling in $(0,1)$ met een rekenschema.

Ga na hoe je op de GR de raaklijn aan de grafiek in het punt $(0,1)$ kunt tekenen.
Hoe groot is de helling in dat punt?

De snelheid waarmee de kolonie op een moment groeit, hangt alleen af van het aantal bacteriën op dat moment. Je hebt berekend dat de groeisnelheid van de kolonie ongeveer $0,69$ mg/u is als er $1$ mg bacteriën is.

Kun je nu meteen zeggen (zonder veel rekenen) hoe groot de groeisnelheid is als er $4$ mg bacteriën is?
Controleer je antwoord op de GR door de raaklijn te tekenen op tijdstip $2$ (dan is er $4$ mg bacteriën).

Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip $3$ ?

Opmerking:

Op $t = 3$ is de groeisnelheid van de bacteriekolonie van opgave 52 $2^{3}$ keer zo groot als de groeisnelheid op $t = 0$ . Dat kun je ook met rekenschema's zien.

$t = 0$	$\to$	$h = 1$
$\underline{t = 0,001}$	$\to$	$\underline{h = 1,000693387...}$
$Δ t = 0,001$	$\to$	$Δ h = 0,000693387...$

Dus $\frac{Δ h}{Δ t} = 0,69$ (ongeveer).
En:

$t = 3$	$\to$	$h = 8$
$\underline{t = 3,001}$	$\to$	$\underline{h = 2^{3,001} = 2^{3} \cdot 2^{0,001} = 8 \cdot 1,000693387 \dots}$
$Δ t = 0,001$	$\to$	$Δ h = 8 \cdot 0,000693387...$

Dus $\frac{Δ h}{Δ t} = 8 \cdot 0,69$ (ongeveer).
Korter genoteerd:
Als $t = 0$ , dan $\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{2^{0,001} - 1}{0,001} \approx 0,69$ ;
Als $t = 3$ , dan $\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{2^{3,001} - 2^{3}}{0,001} = \frac{2^{3} (2^{0,001} - 1)}{0,001} =$
$2^{3} \cdot \frac{2^{0,001} - 1}{0,001} \approx 2^{3} \cdot 0,69$ .

Een bacteriekolonie groeit met factor $10$ per uur; de hoeveelheid op tijdstip $0$ is $1$ mg. Er geldt: $h (t) = 10^{t}$ ; hierbij is $h (t)$ het aantal mg bacteriën na $t$ uur.

Bepaal de groeisnelheid $t = 0$ met een rekenschema.

Kun je nu meteen zeggen hoe groot de groeisnelheid is op tijdstip $2$ ?
En op tijdstip $‐ 3$ ?

Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip $1,2$ ?
Dat is $h^{'} (1,2)$ .

Geef een formule voor $h^{'} (t)$ .

Opmerking:

Zie opgave 53. De groeisnelheid van de bacteriekolonie op $t = 2$ is $10^{2}$ keer de groeisnelheid op $t = 0$ .
Dat kun je ook als volgt inzien.
Als $t = 0$ , dan $\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{10^{0,001} - 1}{0,001} \approx 2,31$ .
Als $t = 2$ , dan $\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{10^{2,001} - 10^{2}}{0,001} = \frac{10^{2} \cdot 10^{0,001} - 10^{2}}{0,001} =$
$10^{2} \cdot \frac{10^{0,001} - 1}{0,001} \approx 10^{2} \cdot 2,31$ .

Een bacteriekolonie groeit met factor $g$ per uur. Het aantal mg op tijdstip $0$ is $1$ ; het aantal mg na $t$ uur is $h (t) = g^{t}$ .
$h$ is de exponentiële functie met grondtal $g$ .
De snelheid waarmee de kolonie groeit op tijdstip $0$ noemen we $c$ .
Dan geldt: $h^{'} (t) = c \cdot g^{t}$ .

$f$ is de exponentiële functie met grondtal $5$ : $f (t) = 5^{t}$ .

Bereken in twee decimalen de helling van de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $0$ .

Geef met behulp van a een formule voor $f^{'} (t)$ (ongeveer).

$g$ is de exponentiële functie met grondtal $\frac{1}{5}$ : $g (t) = {(\frac{1}{5})}^{t}$ .

Wat is het verband tussen $f (t)$ en $g (‐ t)$ ?

Hoe vind je de grafiek van de functie $g$ uit die van $f$ ?
Wat is dus de helling van de grafiek van $g$ in het punt met eerste coördinaat $0$ ?

Geef een formule voor $g^{'} (t)$ (ongeveer).

Het getal e

Hiernaast zijn getekend de exponentiële functies met grondtal $1 \frac{1}{2}$ , $2$ , $3$ en $4$ .
Ze gaan alle door het punt $(0,1)$ .

Welke grafiek hoort bij de exponentiële functie met grondtal $1 \frac{1}{2}$ ? En welke bij de exponentiële functie met grondtal $4$ ?

De helling in $(0,1)$ van de exponentiële functies met grondtal $2$ is ongeveer $0,69$ en die van de exponentiële functies met grondtal $3$ is ongeveer exponentiële functies met grondtal $3$ is ongeveer $1,10$ . (Reken maar na.)
Er is een exponentiële functie die in $(0,1)$ de helling $1$ heeft. Het grondtal van deze exponentiële functie noemen we e.

In het volgende leiden we een benadering voor het getal e af.

Geef een formule voor de afgeleide van de exponentiële functie met grondtal e.

Voor het getal e geldt dus ongeveer: $\frac{e^{0,001} - 1}{0,001} = 1$ .

Waarom? Leid hieruit af dat $e \approx {1,001}^{1000}$ .

Er is een getal dat we e noemen met de volgende eigenschap: de exponentiële functie met grondtal e heeft in $(0,1)$ helling $1$ .
Het gevolg is dat voor de functie $f$ met $f (x) = e^{x}$ geldt:
$f^{'} (x) = e^{x}$ , ander genoteerd: $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ .

Een goede benadering van het getal e is: ${(1,001)}^{1000} \approx 2,717...$ , een betere ${(1,0001)}^{10000} \approx 2,718...$ , enzovoort.
Het getal e is ook op je rekenmachine te vinden. Het is geen rationaal getal (breuk).

Leonard Euler
1707-1783

Het symbool e is ingevoerd door de grote Zwitserse wiskundige Leonard Euler. Hij werkte aan de Academie in Sint Petersburg en aan de Pruisische Academie. Euler hield zich bezig met alle takken van de wiskunde die in de achttiende eeuw bekend waren en was daarin enorm productief; tijdens zijn leven verschenen 530 boeken en artikelen van zijn hand (na zijn dood is dit aantal zelfs verhoogd tot 886). Door het grote prestige van zijn boeken heeft hij een eind gemaakt aan veel verwarring. Zo is de huidige goniometrie wat inhoud en notatie betreft van Euler afkomstig en ook de functie $y = e^{x}$ .

Opmerking:

In het verleden hebben we vaak $2$ of $10$ als grondtal van de exponentiële functie genomen. Vanwege de prettige eigenschap dat de exponentiële functie met grondtal e zijn eigen afgeleide is, gaat kiezen we in het vervolg bij voorkeur het getal e als grondtal.

Voorbeeld:

Als $y = x \cdot e^{x}$ , dan $\frac{d y}{d x} = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ (productregel).
Als $y = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \cdot e^{x} - e^{x} \cdot x^{2}}{e^{2 x}}$ (quotiëntregel).
De afgeleide van $y = e^{‐ 2 x}$ vind je met de kettingregel.
Het is de ketting $x \to ‐ 2 x = u \to e^{u} = y$ , dus
$\frac{d y}{d x} = ‐ 2 \cdot e^{u} = ‐ 2 \cdot e^{‐ 2 x}$ .
Als $y = \sqrt{x} \cdot e^{‐ x}$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{‐ x} + \sqrt{x} \cdot ‐ 1 \cdot e^{‐ x} = \frac{e^{‐ x}}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot e^{‐ x}$ (combinatie van product- en kettingregel).

Differentieer de volgende functies.

$y = 2 \cdot e^{‐ x}$	$y = x \cdot e^{‐ x}$
$y = e^{\sqrt{x}}$	$y = \frac{1}{1 + e^{x}}$
$y = {(1 + e^{x})}^{3}$	$y = \frac{2 x}{1 + e^{x}}$

De afgeleide van andere exponentiële functies

De logaritmische functie met grondtal e noteren we met ln, dus $\ln (x) =^{e} \log (x)$ .

Tegen $\ln (x)$ zeggen we wel: de natuurlijke logaritme van $x$ .
ln staat voor logarithmus naturalis.
Op de GR heb je twee knoppen voor de logaritme: die met grondtal $10$ : $\log (x)$ en die met grondtal $e$ : $\ln (x)$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

$e^{\ln (x)} = 2$	$\ln (e^{x}) = 2$
$\frac{\ln (x)}{\ln (2)} = 5$	$e^{x \cdot \ln (2)} = 4$
$\ln (x) = ‐ 2$	$e^{x} = 2$
$2 + \ln (2) = \ln (x)$	$\ln (2) + \ln (x) = 2$

Een bijzonder geval van de regel $a^{{}^{a} \log (x)} = x$ en ${}^{a} \log (a^{x}) = x$ is het volgende.

Er geldt: $e^{\ln (x)} = x$ en $\ln (e^{x}) = x$ .

Met behulp van bovenstaande regel kun je elk positief getal als een macht van e schrijven, bijvoorbeeld: $2^{x} = e^{\ln (2^{x})}$ , dus $2^{x} = e^{x \cdot \ln (2)}$ , want $\ln (2^{x}) = x \cdot \ln (2)$ . Nu kunnen we de afgeleide van de exponentiële functie met grondtal $2$ , $y = 2^{x}$ differentiëren met de kettingregel.
$y = 2^{x}$ is de ketting $x \to x \cdot \ln (2) = u \to e^{u} = y$ , dus $\frac{d y}{d x} = \ln (2) \cdot e^{u} = \ln (2) \cdot 2^{x}$

Als $y = g^{x}$ , dan $\frac{d y}{d x} = \ln (g) \cdot g^{x}$

Opmerking:

De helling in $(0,1)$ van de exponentiële functie met grondtal $g$ is dus $\ln (g)$ .
Dit komt overeen met de eerdere berekeningen in opgave 52, 53 en 54. Daar heb je de hellingen in $(0,1)$ berekend van de exponentiële functies met grondtal $2$ , $10$ , $5$ en $\frac{1}{5}$ .
De exacte waarden van die hellingen zijn: $\ln (2)$ , $\ln (10)$ , $\ln (5)$ en $\ln (\frac{1}{5})$ .

Voorbeeld:

Als $y = x \cdot 2^{x}$ , dan $\frac{d y}{d x} = 1 \cdot 2^{x} + x \cdot 2^{x} \cdot \ln (2)$ (productregel).
Als $y = \frac{x^{2}}{3^{x}}$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \cdot 3^{x} - 3^{x} \cdot \ln (3) \cdot x^{2}}{3^{2 x}}$ (quotiëntregel).
De afgeleide van $y = 5^{‐ 2 x}$ vind je met de kettingregel.
Het is de ketting $x \to ‐ 2 x = u \to 5^{u} = y$ , dus
$\frac{d y}{d x} = ‐ 2 \cdot 5^{u} \cdot \ln (5) = ‐ 2 \cdot 5^{‐ 2 x} \cdot \ln (5)$ .
Als $y = \sqrt{x} \cdot 2^{‐ x}$ , dan
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 2^{‐ x} + \sqrt{x} \cdot ‐ 1 \cdot 2^{‐ x} \cdot \ln (2) = \frac{2^{‐ x}}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot 2^{‐ x} \cdot \ln (2)$ (combinatie van product- en kettingregel).

Differentieer de volgende functies.

$y = 2^{3 x + 2}$	$y = 3^{\sqrt{x}}$
$y = \frac{1}{2 + 3^{x}}$	$y = \sqrt{x + 3^{x}}$
$y = (x + 1) \cdot 4^{x}$	$y = \frac{4^{x}}{x + 1}$

Een radioactieve stof heeft een halveringstijd van $60$ dagen. Op tijdstip $0$ is de stralingsactiviteit $10^{5}$ becquerel per gram.

Geef een formule voor de stralingsactiviteit $A$ na $t$ dagen.

Bereken langs algebraïsche weg na hoeveel dagen de stralingsactiviteit $100$ becquerel per gram is. Geef je antwoord in één decimaal.

Met hoeveel becquerel per gram neemt de stralingsactiviteit dan per dag af?

De wekelijkse verkoop in de loop van het jaar van een bepaald product wordt gegeven door de formule $V = 1500 \cdot {0,99}^{{(t - 26)}^{2}}$ , met $0 \leq t \leq 52$ . Hierbij is $V$ het aantal verkochte producten en $t$ de tijd in weken vanaf $1$ januari.

Wanneer is de verkoop het grootst?
Wanneer het kleinst?
Hoe groot zijn de maximale en de minimale verkoop?

Hoe snel stijgt de verkoop na dertien weken (in aantallen per week)?

Het aantal exemplaren van een bepaalde diersoort wordt gegeven door de formule $A = 2^{‐ 0,2 t + 10}$ . Hierbij is $t$ de tijd in jaren.

Hoeveel exemplaren telt de diersoort op tijdstip $0$ ?

Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip $0$ (in aantal dieren per jaar)?

Hoe kun je aan de formule zien dat het aantal dieren afneemt?

Omdat de diersoort met uitsterven bedreigd wordt, wordt een aantal exemplaren in een reservaat uitgezet. De grootte van de populatie in het reservaat wordt gegeven door de formule: $R = \frac{200}{1 + 9 \cdot 2^{‐ 0,3 t}}$ .
Op tijdstip $0$ zijn de exemplaren uitgezet.

Hoeveel?

Hoe groot is de groeisnelheid op $t = 0$ ?

De groei van de diersoort wordt afgeremd door de beperkte ruimte in het reservaat.

Welk omvang zal de diersoort in het reservaat uiteindelijk bereiken? Licht je antwoord toe.