In de vorige paragrafen heb je vergelijkingen op moeten lossen. Technieken hiervoor heb je eerder al geleerd. In deze paragraaf zetten we ze nog eens bij elkaar.
|
|
|
haakjes wegwerken |
|
|
|
Plus , Min |
|
|
|
Delen door |
|
|
|
Los de volgende vergelijkingen op.
|
|
|
|
De trapformule
De aantrede van een trap noemen we : dat is de lengte
van het horizontale stuk van een trede (in cm). De optrede
noemen we : dat is de lengte van het verticale stuk
(in cm). Zie plaatje. Als de aantrede nogal groot is, kan
niet te groot zijn, en omgekeerd; anders is de trap niet
meer goed te beklimmen. Bij welke waarden van en is
een trap goed te beklimmen? Timmerlieden hanteren
een merkwaardige formule: een trap is goed te beklimmen
als (alles in cm).
Teken de grafiek van deze formule op de GR. Daarvoor moet je de formule eerst herschrijven in de vorm .
Van een zekere trap zijn de optrede en aantrede gelijk.
Bereken hoe groot deze zijn volgens de formule.
Lees je antwoord ook af met behulp van de grafiek, bijvoorbeeld door er in het window de grafiek van bij te tekenen.
Een leraar gaat duiven houden. Hij wil met twee soorten beginnen: Blauwe Amsterdamse duiven en Belgische witkuiven. Hij koopt Blauwe Amsterdamse duiven en Belgische witkuiven. Een Blauwe Amsterdamse duif kost euro en een Belgische witkuif euro. In totaal besteedt hij euro.
Leid uit de gegevens een gelijkheid af van de vorm: .
Teken de grafiek van het verband op de GR.
De leraar koopt in totaal duiven. Dus .
Teken de grafiek van deze formule in hetzelfde window.
Lees af hoe groot en zijn. Controleer deze waarden door ze in de twee formules in te vullen.
Bereken - uitgaande van de twee formules - de waarden van en langs algebraïsche weg.
Op de GR heb je de mogelijkheid om het snijpunt van twee grafieken te vinden (intersect).
Zoek uit hoe dat bij jouw machine werkt.
Neem bijvoorbeeld de functies en
, met en
;
het snijpunt is .
In de economie spelen isokostenlijnen een belangrijke rol. Om producten te maken heb je arbeid en kapitaal nodig. Voor arbeid kun je een aantal werknemers in dienst nemen, zeg werknemers. Iedere werknemer kost € per week. Kapitaal gebruik je voor machines: afschrijvingen,onderhoud, enzovoort. Per machine kost dat € per week. Zeg dat je machines koopt. Er is per week in totaal € beschikbaar voor arbeid en kapitaal samen.
Geef een formule voor het verband tussen en en teken de grafiek op de GR.
Elke machine wordt bediend door drie werknemers; andere werknemers zijn er niet.
Welke formule voor en volgt hieruit?
Teken de grafiek hiervan in hetzelfde window.
Bepaal het snijpunt van de twee grafieken, zowel met aflezen op de GR als langs algebraïsche weg.
Hoe verandert de eerste grafiek als er niet € maar € per week beschikbaar is?
Bij bakker Van der Wijst kost een brood € . Nu denk je
misschien dat een half brood de helft, dus € , kost.
Maar dat is niet zo. Een half brood kost bij Van der Wijst namelijk € .
Het aantal halve broden dat Van der Wijst verkocht noemen we , het aantal hele broden noemen we .
Als en , hoeveel broden heeft van der Wijst dan totaal verkocht?
Van der Wijst heeft vandaag broden verkocht, sommige als heel brood, andere als twee halve broden. Een van de mogelijkheden is: , . Maar ook andere combinaties van en leveren in totaal broden op.
Stel een formule op voor het verband tussen en .
Teken de bijbehorende grafiek op de GR.
In totaal brachten de broden vandaag € in de kassa.
Welke formule voor en volgt hieruit?
Teken de grafiek van deze formule in het hetzelfde window.
Bepaal hoeveel hele broden en hoeveel halve broden Van der Wijst vandaag verkocht heeft met de GR en langs algebraïsche weg.
Er zijn drie methoden om kwadratische vergelijkingen op te lossen:
ontbinden in factoren,
kwadraatafsplitsen,
de wortel- of abc-formule.
Zie ook hoofdstuk 28 van klas 3: Vierkantsvergelijkingen.
De laatste methode werkt als volgt.
De vierkantsvergelijking heeft oplossingen
en
,
als en
, hierbij is
, de discriminant.
Met een voorbeeld laten we nog eens zien hoe de drie methodes werken.
We lossen de vergelijking op drie manieren op.
Met ontbinden
of
.
Met kwadraatafsplitsen
of
, dus
of
.
Met de wortelformule
We nemen in de wortelformule ,
en
.
Dan , dus
of
.
De methode 'ontbinden' zul je niet in alle gevallen kunnen gebruiken.
Los de volgende vergelijking op.
|
|
|
|
Het maximale gewicht dat een bepaald type touw kan dragen, wordt gegeven door , waarbij de diameter van het touw is in cm, zie opgave 5.
Teken de grafiek van G als functie van d op de GR.
Welke diameter is nodig voor een gewicht van kg?
Bepaal het antwoord op deze vraag met de GR en langs algebraïsche weg.
Een fabrikant van accu's verkoopt ze voor de volgende prijzen. Als je
stuks afneemt, betaal je euro per stuk. Voor elke
accu die je meer koopt betaal je per stuk
euro minder; voor elke accu die je minder koopt, betaal je per stuk euro meer.
Dus voor stuks betaal je
euro per stuk en voor
stuks betaal je euro per stuk.
Het aantal stuks dat iemand koopt noemen we en de prijs hij per stuk moet betalen (in euro).
Maak de tabel af.
Druk uit in .
Druk het totaal te betalen bedrag voor de gekochte accu's (in euro) uit in .
Bereken hoeveel stuks iemand afgenomen heeft als hij euro moet afrekenen.
Het gaat er in deze paragraaf om dat je de algebra-technieken oefent om vergelijkingen op te lossen. In het vervolg zullen we daarom alleen maar naar de algebraïsche weg vragen. Uiteraard is het verstandig om ook de GR in te zetten, in elk geval om je antwoord te controleren.
Kimduiking
De kimduiking (in graden) voor een waarnemer op
hoogte (meter) wordt gegeven door: , zie
opgave 6.
Bereken exact bij welke hoogte de kimduiking ° is.
Windenergie
De energie (in watt) die een windmolen levert bij windsnelheid
(in m/s) wordt gegeven door: .
Bereken in één decimaal langs algebraïsche weg bij welke windsnelheid de geleverde energie watt is.
Gegeven zijn de functies en met en voor .
Ga op de GR na hoe de grafieken liggen ten opzichte van de lijn ; zorg voor een "vierkant" window.
Het punt ligt op de grafiek van en het punt op de grafiek van .
Laat dat met een exacte berekening zien.
Als op de grafiek van ligt, dan ligt op de grafiek van .
Leg dat uit.
De grafieken van de functies en
met en
zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn .
Als de invoer omrekent naar de uitvoer , dan
doet precies het omgekeerde: rekent invoer
om naar uitvoer .
Dus: en zijn elkaars inverse.
Een bijzonder geval hiervan is: de functies en
zijn elkaars inverse.
Hierbij is positief geheel.
We lossen de volgende twee vergelijkingen in op langs algebraïsche weg.
|
|
|
deel door |
|
|
|
kwadrateer |
|
|
|
|
|
|
met gebroken exponent schrijven |
|
|
|
deel door |
|
|
|
inverse van is |
|
|
|
Los de volgende vergelijkingen in op langs algebraïsche weg.
|
|
|
|
|
|
De huidoppervlakte (in m2) van een mens met een
gewicht van kg en een lengte van cm, wordt gegeven
door:
.
Iemand heeft een huidoppervlakte van m2.
Bereken langs algebraïsche weg hoe lang die persoon is volgens de formule, als hij kg weegt?
Bereken langs algebraïsche weg hoe zwaar die persoon is als hij meter lang is.
We lossen de volgende twee vergelijkingen in op langs algebraïsche weg.
|
|
|
van beide kanten aftrekken |
|
|
|
beide kanten met vermenigvuldigen |
|
|
|
verder oplossen |
|
|
|
|
|
|
van beide kanten aftrekken |
|
|
|
beide kanten met vermenigvuldigen |
|
|
|
verder oplossen |
|
|
|
Los de volgende vergelijkingen in langs algebraïsche weg op.
|
|
|
|
Wegrijdend bestelbusje
Als het bestelbusje weg rijdt, zie ik het steeds kleiner op
de ruit. Mijn oog heeft afstand meter tot de ruit. De hoogte (in cm) van de achterkant van de
busje op de ruit, als het meter weg is, wordt gegeven
door de formule: .
Bereken langs algebraïsche weg hoe ver het busje weg is, als ik het cm groot zie op de ruit.
Laat met gelijkvormigheid zien dat de formule juist is.
De lichtsterkte (in lux) op een plek op afstand (meter) van de plek
recht onder een lamp wordt gegeven door:
.
Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal op welke afstand is de lichtsterkte lux is.
Regel
is gelijkwaardig met
.
Hierbij is .
Bijvoorbeeld:
is gelijkwaardig met
.
|
|
|
deel door |
|
|
|
bovenstaande regel toepassen |
|
|
|
Los langs algebraïsche weg de volgende vergelijkingen in op. Rond je antwoorden af op twee decimalen.
|
|
|
|
Schuimkraag
Als je een pilsje goed tapt, krijg je een flinke schuimkraag.
Die schuimkraag wordt steeds lager: hij verdwijnt vanzelf. Duitse "bierologen" hebben
vastgesteld dat de
hoogte van de schuimkraag exponentieel in de tijd afneemt:
elke seconden wordt de schuimkraag % lager.
We beginnen met een schuimkraag van cm.
Hoe hoog is de schuimkraag na minuut?
Stel een formule op voor de hoogte (in cm) van de schuimkraag als functie van de tijd (in seconden).
Bereken langs algebraïsche weg hoe lang het duurt voordat de schuimkraag cm is.
Stel dat de bevolking van een land elk jaar met % groeit.
Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal hoe lang het dan duurt voordat de bevolking verdubbeld is.
Stel dat van een ander land de bevolking in jaar verdubbelt.
Bereken langs algebraïsche weg met hoeveel procent de bevolking van dat land jaarlijks groeit in één decimaal.
Als , dan
.
Als , dan
.
De hoeveelheid van een of andere stof groeit exponentieel in de tijd volgens de formule: .
Bereken langs algebraïsche weg als en .
Bereken langs algebraïsche weg als als en .
Bereken langs algebraïsche weg als en .
Sterilisatie
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt
dit
steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden.
In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De
temperatuur bij dat proces is °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur
zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur hiernaast zie
je een
overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus. Horizontaal staat aantal minuten verhitting bij
°C en verticaal het aantal
levende bacteriën. De grafiek gaat door de punten en
.
De figuur staat ook op het werkblad.
Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling.
Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op 1
miljoen. We
gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken
rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft.
Waar op de verticale as vind je het aantal van bacteriën?
Hoeveel levende bacteriën zijn er na minuten verhitting?
Bij de grafiek in de figuur hoort een formule van de vorm: .
Hierin is het aantal bacteriën na minuten en is de sterftefactor. De sterftefactor is
afhankelijk van het type bacteriën.
Met behulp van de figuur kun je berekenen dat de sterftefactor van de Bacillus
stearothermophilus ongeveer gelijk is aan .
Toon dat met een berekening aan.
De -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.
Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.
Men heeft ook van andere bacteriën de -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze -waarde gelijk aan minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met miljoen bacteriën.
Teken deze overlevingsgrafiek in de figuur op het werkblad. Licht je werkwijze toe.
|
|
|
aan beide kanten aftrekken |
|
|
|
definitie toepassen |
|
|
(of exact: ) |
Los de volgende vergelijkingen in langs algebraïsche weg op.
|
|
|
|
Loopsnelheid
Een atleet loopt de meter met een snelheid van
km/u. Een kortere afstand meter zal hij afleggen met
een grotere snelheid, zeg van km/u.
Er geldt: .
Teken de grafiek van als functie van op de GR.
Bereken langs algebraïsche weg als .
Hoe kun je aan de formule zien dat bij een langere afstand een lagere gemiddelde snelheid hoort?
Bereken langs algebraïsche weg als .
Lichtsterkte van sterren
We bekijken de lichtsterkte van sterren aan de hemel, zoals wij die op aarde waarnemen.
De lichtsterkte wordt
vaak uitgedrukt in de zogenaamde magnitude . Als van ster de magnitude 1 groter is dan van ster , dan is
keer zo zwak als . De lichtsterkte van een ster van magnitude stellen we op duizend eenheden.
Hieronder staat een tabel van de lichtsterkte van sterren van magnitude t/m .
De getallen in de tabel zijn benaderingen; alleen de lichtsterkten bij en zijn precies.
Hoe vind je uit deze twee de factor ?
Stel een formule op van als functie van .
Het sterrenbeeld Lier heeft magnitude ; het sterrenbeeld Leeuw heeft magnitude .
Hoeveel keer zo groot is de lichtsterkte van Lier als van Leeuw?
Hoe groter de magnitude (hoe zwakker de ster) des te meer sterren er van aan de hemel staan. Het totaal aantal sterren van magnitude kleiner dan noemen we . Hieronder is de grafiek van de functie weergegeven. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt.
Lees hieruit af hoeveel sterren aan de hemel staan met magnitude tussen en . Licht je antwoord toe.
Een formule voor de functie is:
Het aantal sterren met magnitude tussen en
noemen we .
Toon aan .
Toon aan: