13.1 Grafieken en toenamen >

Hoofdstukken > Groei van groei

In dit hoofdstuk leren we exponentiële en logaritmische functies differentiëren.
Eerst geven we een flinke herhaling van allerlei soorten functies waarbij hun afgeleide ook weer aan de orde komt.

Groei van zuigelingen
Bij de geboorte is een mens $50$ cm lang en weegt hij $4$ kg. Als hij één jaar oud is, is hij gegroeid tot $74$ cm en weegt hij inmiddels $9$ kg. Uiteraard zijn deze cijfers gemiddelden. De groei verloopt min of meer gelijkmatig. We volgen de “modelbaby” gedurende zijn eerste $12$ maanden.

Hoe lang en hoe zwaar is de baby na $8$ maanden ? Bereken dat uitgaande van bovenstaande gegevens; controleer je antwoorden in de figuur.

Na $t$ maanden is de lengte $L$ cm en het gewicht $G$ kg.

Stel een formule op voor de lengte $L$ uitgedrukt in $T$ .
Ook voor het gewicht $G$ uitgedrukt in $t$ .

De formules zijn van de gedaante: $y = a t + b$ .

Controleer je antwoorden door op de GR de grafieken ervan te tekenen.

Wat zijn de betekenissen van de getallen $b$ in beide formules in termen van de baby ?

Wat zijn de betekenissen van de getallen $a$ in beide formules in termen van de baby ?

Als de groei ven een hoeveelheid (bijvoorbeeld lengte, gewicht) per tijdseenheid constant is, is de grafiek van het verband tussen de hoeveelheid en de tijd een rechte lijn. We spreken dan van lineaire groei.
De formule die hierbij hoort heeft de vorm: $y = a t + b$ , $t$ stelt de tijd voor en $y$ de hoeveelheid. $b$ is de beginhoeveelheid (op tijdstip t = 0). $a$ is de richtingscoëfficiënt van de lijn; dat is de toename van de hoeveelheid per tijdseenheid.
De grafiek van een lineair verband tussen $y$ en $t$ is een rechte lijn met formule: $y = a t + b$ .

Als je twee punten van de rechte lijn kent, kun je $a$ en $b$ vinden.
$a =$ de richtingscoëfficiënt $= \frac{Δ y}{Δ t}$
$b$ vind je door een van de gegeven punten in te vullen, welk van de twee, doet er niet toe.

Voorbeeld:

Een vergelijking van de lijn door de punten $(1,2)$ en $(11,5)$ vind je als volgt.
De richtingscoëfficiënt van de lijn door deze twee punten is $a = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{5 - 2}{11 - 1} = \frac{3}{10}$ , dus een vergelijking is: $y = \frac{3}{10} t + b$ .
$(1,2)$ invullen geeft $2 = \frac{3}{10} \cdot 1 + b$ , dus $b = 1 \frac{7}{10}$ .
Een vergelijking van de lijn is dus: $y = \frac{3}{10} t + 1 \frac{7}{10}$ .

Hieronder staat een (deel van een) tabel van een lineair verband tussen $x$ en $y$ .

$‐4$	$‐2$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
$‐5$	$‐2$					$13$

Vul de tabel verder in.

Teken de bijbehorende grafiek.

Stel een formule op voor het verband tussen $x$ en $y$ .

Gegeven is de lijn $k$ met daarop de punten $(1,2)$ en $(6,‐3)$

Teken $k$ in een assenstelsel.

Geef een vergelijking van $k$ . Gebruik de variabelen $x$ en $y$ .

Gegeven is de lijn $m$ met richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ door $(4,4)$ .

Teken $m$ in een assenstelsel.

Stel een formule op voor $m$ .

Uitzetten
Als metaal warmer wordt, zet het uit. Bij spoorrails werd daar vroeger rekening mee gehouden; de rails sloten niet precies op elkaar aan, maar er was in de winter bij $0$ °C een tussenruimte van $1$ cm om het uitzetten op te vangen. De lengte van een rail wordt gegeven door de formule: $L = 18 + 0,0002 \cdot T$ . Hierin is $L$ de lengte in meters en $T$ de temperatuur in graden Celsius. Om de grafiek van $L$ als functie van $T$ op de GR te kunnen tekenen moet je een geschikt window nemen.

Welke waarden van $T$ lijken je redelijk? En welke waarden voor $L$ ? Welk window kies je dus?

Teken de grafiek van $L$ als functie van $T$ op de GR.

Hoe verandert de lengte als het $15$ °C warmer wordt?

Hoe warm moet het worden om de tussenruimte tussen de rail helemaal te vullen?

Sterkte van touwen
Hoe dikker een touw, hoe sterker het is. Voor een bepaald type touw geldt de formule $S = 400 d (d + 2,5)$ . Hierin is $d$ de diameter van het touw (in cm) en $S$ het maximale gewicht dat het touw kan hebben zonder te breken (in kg).

Teken de grafiek op de GR. Welk window kies je?

Bereken hoeveel kg nodig is om een touw van $4$ cm te doen breken?

Bereken langs algebraïsche weg in twee decimalen hoe dik een touw moet zijn om een gewicht van $40.000$ kg te dragen.

Een touw van $4$ cm wordt vervangen door een touw van $4,1$ cm. Het nieuwe touw kan zwaarder belast worden. dan het oude.

Bereken met hoeveel kg meer.

Bereken $S^{'} (4)$ .

$S^{'} (4)$ is ongeveer $10$ keer zo groot als het antwoord op vraag d.

Kun je dat verklaren?

In de praktijk worden touwen veel minder belast dan wat ze theoretisch kunnen dragen. Men hanteert wel een veiligheidsfactor $5$ , dat wil zeggen dat men niet meer dan $5$ van de maximale last gebruikt.

Opmerking:

Zoomfit
Soms is het lastig een geschikt window op de GR te vinden. Voor Xmin en Xmax kun je meestal uit het verhaal wel verstandige waarden afleiden. Voor Ymin en Ymax kies je dan maar twee waarden. Op de GR is een optie 'ZoomFit' waarmee dan achteraf de $y$ -waarden van het window aangepast worden. Zo krijg je een mooi passende grafiek op de GR.
Zoek uit hoe dat bij jouw machine werkt.

Kimduiking
Je staat op een vuurtoren aan het strand en je kijkt over zee. Omdat je je op een behoorlijke hoogte bevindt, ligt de horizon (de kim) duidelijk onder je. Hoeveel hij onder je ligt heet wel de kimduiking en wordt gemeten in minuten. Een minuut is het $\frac{1}{60}$ -ste deel van een graad. In het plaatje hiernaast is aangegeven welke hoek de kimduiking is: de hoek tussen de horizontale lijn en en kijklijn waarlangs je de horizon ziet. Duidelijk is dat de kimduiking $k$ afhangt van de hoogte $h$ waarop je je bevindt. Er geldt de volgende merkwaardige formule: $k = \sqrt{h}$ , waarbij $h$ gemeten wordt in voeten en $k$ in minuten. Een voet is $30,5$ cm.

Teken de grafiek van $k$ als functie van $h$ op de GR. Welk window kies je?

Hoe verandert $k$ als $h$ twee keer zo groot wordt?
Hoe moet je $h$ veranderen als je $k$ twee keer zo groot wilt maken?

Iemand verplaatst zich van hoogte $36$ voet naar hoogte $36,4$ voet.

Hoeveel neemt de kimduiking dan toe?
Hoeveel is dat gemiddeld per voet dat de hoogte toeneemt?

Bereken $k^{'} (36)$ . Wat is het verband met vraag c?

Het is ouderwets om hoeken in minuten te rekenen en hoogtes in voeten. Als we de kimduiking gewoon in graden rekenen en de hoogte in meters, wordt de formule minder mooi.

Stel de nieuwe formule op.

Windenergie
De hoeveelheid vermogen die een windmolen levert, is evenredig met de derdemacht van de windsnelheid. De windsnelheid noemen we $w$ (m/s) en de geleverde energie $E$ (watt). Er is dus een evenredigheidsconstante $c$ , zo dat $E = c \cdot w^{3}$ .
Een zekere molen levert $300$ watt bij een windsnelheid van $10$ m/s.

Bereken de evenredigheidsconstante $c$ exact.

Teken de grafiek van $E$ als functie van $w$ . Kies bij het window: $0 \leq x \leq 50$ . Wat zijn de bijbehorende $y$ -waarden?

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal hoe hard het moet waaien (in m/s) wil de geleverde energie $500$ watt bedragen.

Als het harder gaat waaien neemt de geleverde energie toe.
De windsnelheid neemt toe van $10$ tot $10,6$ m/s.

Met hoeveel watt neemt de geleverde energie dan toe? Hoeveel is dat gemiddeld per m/s dat de windsnelheid toeneemt?

Bereken $E^{'} (10)$ . Wat is het verband met vraag d?

Als je tegen een berg op fietst of tegen de wind in, kun je beter in een kleine versnelling rijden. In wielertermen: in een kleiner verzet. Dan gebruik je op het achterwiel een groot tandwiel, dus met veel tandjes.
Vergelijk een groot met een klein verzet. Bij beide trappen we de pedalen één keer rond.

Bij welk van de twee rijden we het hardst?
Bij welk van de twee kost dat het meeste moeite?

In de figuur staat een bundel grafieken, afkomstig uit het Prisma Fietsboek. Bij twaalf trapsnelheden is de grafiek getekend van het verband tussen de rijsnelheid en het verzet. Hierbij is het verzet het aantal meters dat je aflegt, als je de pedalen één keer rond trapt.

Anneke trapt de pedalen elke seconde één keer rond met een verzet van $6,0$ meter.

Hoe hard fietst Anneke (in km/uur)?

Anneke rijdt in een zeker verzet en zal niet schakelen (van verzet veranderen). Als ze twee keer zo hard wil rijden, moet ze dan ook twee keer zo snel trappen?

Onderzoek met de grafiek of dat het geval is bij trapsnelheid $40$ en $70$ als het verzet $6,0$ is.

Algemener geldt: als Anneke $p$ keer zo hard wil gaan rijden, moet ze ook $p$ keer zo snel gaan trappen. De trapsnelheid noemen we $T$ , de rijsnelheid $S$ .

Teken de grafiek voor het verband tussen $T$ en $S$ , bij verzet $V = 6,0$ ( $T$ horizontaal, $S$ verticaal).

Stel een formule op voor $S$ uitgedrukt in $T$ bij $V = 6,0$ .

Er geldt het volgende verband:

S = 0,06 \cdot T \cdot V

, waarbij

V

het verzet is.

Leg dit uit.

In het diagram hieronder kun je aan de hand van je lengte zien of je te zwaar of te licht bent.

Het stond bij een artikel over hartziekten: The biggest single killer of women in the UK, in het Engelstalige blad Cosmopolitan van april 1995. Verticaal staat de lengte in inches, horizontaal het gewicht in stones. Engeland is weliswaar overgestapt op “meter” en “kilogram”, maar je komt toch nog vaak “ouderwetse” Engelse maten tegen.
$1$ inch $= 2,54$ cm, $1$ stone $= 6,35$ kg.

Jane weegt $13,5$ stones en is $71$ inches lang. Heeft ze een goed gewicht?

Diewertje weegt $102$ kg en is $1,65$ meter lang.

Bereken hoeveel kilo Diewertje minimaal moet afvallen om in het OK-gebied te komen?

De grenslijn tussen “under-weight” en “OK” heeft de formule: $y = 3 \frac{1}{3} x + 38$ , waarbij $x$ het gewicht in stones is en $y$ de lengte in inches.

Maak zelf een formule voor de lijn tussen “OK” en “overweight”.

Vul passende uitdrukkingen in $x$ in:
voor de punten ( $(x, y)$ in het OK-gebied geldt: $\dots < y < \dots$ .

We willen een formule voor de grenslijn tussen “underweight” en “OK” voor de Nederlandse maten. Dus als je in die formule het gewicht in kilogrammen invult, moet de formule als uitkomst de lengte in centimeters opleveren.

Pas daartoe de Engelse formule aan.

Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m³ hout het bos op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte. Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt van de volgende formule:
$V = f \cdot d^{2} \cdot h$ , met diameter $d$ en hoogte $h$ beide in m (meter).
In deze formule is $V$ het volume aan hout in de boom in m³. De factor $f$ heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter $d$ van de boom.

Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove den (Pinus sylvestris). Zie de figuur.

Voor de grove den wordt het verband tussen vormfactor $f$ en de diameter $d$ (in m) bij benadering gegeven door de volgende formule: $f = 0,30 \cdot d^{2} - 0,36 \cdot d + 0,46$ .

In een bos staat een grove den met een diameter van $0,16$ m.

Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met $100$ % toeneemt.

De grootste bekende diameter van een grove den is $1,2$ m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte $h$ en de diameter $d$ :
$h = 44 \cdot d^{0,65}$ . Ook hier is de diameter in m en de hoogte in m.

Een grove den van $40$ m hoog wordt gekapt.

Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.

Op basis van de formule $f = 0,30 \cdot d^{2} - 0,36 \cdot d + 0,46$ en de formule $h = 44 \cdot d^{0,65}$ kan de formule $V = f \cdot d^{2} \cdot h$ worden geschreven als $V = a \cdot d^{4,65} + b \cdot d^{3,65} + c \cdot d^{2,65}$ . Hierin zijn $a$ , $b$ en $c$ constanten.

Toon aan dat $V$ inderdaad geschreven kan worden als
$V = a \cdot d^{4,65} + b \cdot d^{3,65} + c \cdot d^{2,65}$ en bereken $a$ , $b$ en $c$ in twee decimalen.

Een bos met grove dennen moet worden gekapt. Alvorens tot de kap over te gaan wordt eerst een schatting gemaakt van de houtopbrengst. Hiertoe worden de diameters van de bomen opgemeten en ingedeeld in klassen van verschillende grootte. Zie de tabel hieronder.

Maak met behulp van de eerste twee kolommen van de tabel een schatting van de gemiddelde diameter.

De formule voor $V$ is, met afgeronde getallen $a$ , $b$ en $c$ :
$V = 13 \cdot d^{4,65} - 16 \cdot d^{3,65} + 20 \cdot d^{2,65}$ .
We bekijken de grafiek van $V$ alleen maar voor waarden van $d$ tussen $0$ en $1,2$ .
Iemand beweert dat de grafiek van $V$ op dit stuk toenemend stijgend is.

Stel de afgeleide functie van $V$ op en toon met de grafiek van deze afgeleide functie aan dat deze bewering juist is.

Op de site buienradar.nl kun je verschillende weerkaarten bekijken. De kaarten bevatten actuele weergegevens zoals temperatuur, windkracht en windrichting. In de figuur hiernaast zie je de windkaart van Nederland op maandag 11 maart 2013 om 20:40 uur. Deze kaart is gebaseerd op gegevens van KNMI-meetstations die over Nederland zijn verspreid. Deze meetstations geven elke $10$ minuten een nieuwe waarneming af.

In Nederland zijn er $53$ officiële KNMI-meetstations.

Bereken hoeveel waarnemingen er elke dag in totaal door de officiële meetstations aan het KNMI worden doorgegeven.

Als je in de ochtend van huis naar school fietst en in de middag terugfietst, kan de wind invloed hebben op je totale reistijd. Hoe dat zit, onderzoeken we in de rest van deze opgave.

Sylvia woont $10$ km van school. Zij fietst elke schooldag. We gaan ervan uit dat als er geen wind is, haar snelheid constant $20$ km/u is. Haar totale reistijd is op zo'n schooldag dus $1$ uur. Meestal waait het echter. We veronderstellen dat Sylvia altijd wind mee heeft op de heenweg en wind tegen op de terugweg en dat de wind de hele dag constant is. Dan is Sylvia's snelheid op de heenweg $20 + w$ km/u en op de terugweg $20 - w$ km/u. Hierbij geldt $0 \leq w \leq 20$ .

Op een dag geldt $w = 5$ . Sylvia's totale reistijd is die dag langer dan $1$ uur.

Bereken hoeveel minuten haar totale reistijd die dag langer is dan $1$ uur.

Sylvia's totale reistijd $T$ in uren wordt gegeven door de formule: $T = \frac{400}{400 - w^{2}}$ .
De formule voor $T$ kan worden gevonden door een formule voor de reistijd voor de heenweg en een formule voor de reistijd voor de terugweg op te stellen en deze formules bij elkaar op te tellen.

Stel deze formules op en toon daarmee aan dat de bovenstaande formule voor $T$ juist is.

Op een dag is Sylvia's totale reistijd $1$ uur en $20$ minuten.

Bereken exact de waarde van $w$ op die dag.

Met de formule voor Sylvia's totale reistijd kun je zonder te rekenen beredeneren dat haar totale reistijd op een dag met wind groter is dan op een dag zonder wind.

Geef zo'n redenering.

Dat de totale reistijd toeneemt als $w$ toeneemt, kun je ook aantonen met behulp van de afgeleide van $T$ .

Stel een formule op voor de afgeleide van $T$ en toon daarmee aan dat de totale reistijd toeneemt als $w$ toeneemt.