12.4  Toetsen met de normale verdeling >
1

In Nederland worden jaarlijks ongeveer 185.000 kinderen geboren. Het aantal jongetjes daaronder is 94.900 , met een standaarafwijking (SD) van 215 . Op grond hiervan is gesteld dat de kans op een jongetje 0,513 is.

a

Reken de kans 0,513 na.

Het aantal jaarlijkse geboortes schommelt wel een beetje, maar dat heeft nauwelijks invloed op de SD.
In 2010 werden 183.866 kinderen geboren.

b

Bij welke aantallen jongetjes zal de gestelde kans van 0,513 op een jongetje moeten worden aangepast, bij een significantieniveau van 5 %?

Het aantal jongetjes onder de 183.866 geboortes lijkt normaal verdeeld te zijn, maar in feite is het binomiaal verdeeld.

c

Controleer daarmee de gegeven SD van 215 .

2

Een toetsingsgrootheid X is normaal verdeeld met σ = 4,6 en onbekende μ .
Er zijn twee hypotheses: H0 : μ = 83,4 en H1 : μ 83,4 .

a

Wat is het kritieke gebied bij α = 0,05 ?

b

Wordt de hypothese H1 geaccepteerd bij het steekproefresultaat X = 92,7 ?

Vaak is het probleem bij toetsen met een normaal verdeelde grootheid dat de standaardafwijking eerst moet worden berekend. Dat gebeurt met de wortel n -wet.
Het volgende staat in hoofdstuk 10, De normale verdeling.

Als X 1 , X 2 , ..., X n onafhankelijk zijn, allemaal met standaardafwijking σ dan heeft

  1. de som S = X 1 + X 2 + + X n standaardafwijking n σ ,

  2. het gemiddelde G = 1 n ( X 1 + X 2 + + X n ) standaardafwijking 1 n σ .

3

Zakken met 2,5 kg aardappelen bevatten natuurlijk zelden precies 2500 gram. Ontevreden klanten beweren dat er vaak te weinig in zit. Een leverancier beweert dat in zijn zakken 2500 gram aardappelen zit met een standaardafwijking van 80 gram.
Een consumentenvereniging doet een onderzoek. In verschillende winkels worden in totaal 40 van die zakken gekocht.
De totale inhoud T van die zakken wordt gewogen ( T in grammen).
We mogen wel aannemen dat T normaal verdeeld is.

a

Als de leverancier het bij het rechte eind heeft, wat is dan het te verwachten totale gewicht?

b

Heb je hier te maken met een éénzijdige of met een tweezijdige toets? Waarom?

c

Welke twee hypothesen staan tegenover elkaar?

d

Hoe groot is, als H0 juist is, σ ( T ) ?

e

Bepaal het kritieke gebied bij significantieniveau 5 %.

De totale inhoud van de 40 zakken bleek 99,1 kg te zijn.

f

Worden de ontevreden klanten in het gelijk gesteld bij een significantieniveau van 5 %?

4

Een supermarkt zegt dat de gemiddelde wachttijd voor haar kassa’s niet meer dan 2 minuten bedraagt. Laten we eens aannemen dat de wachttijd normaal verdeeld is met een gemiddelde van 2 minuten en een standaardafwijking van 0,5 minuten. De laatste vier keer heb ik bijgehouden hoe lang ik moest wachten: 3 , 4 , 3 en 2 minuten. Ik beweer dat de supermarkt een oneerlijk beeld schetst van de werkelijkheid.

Krijg ik gelijk bij een significantieniveau van 5 %?

(hint)
Bekijk de totale wachttijd.

5

Het bedrag dat in een week bij de kassa's van een supermarkt binnenkomt, is in zes van de tien weken meer dan € 40.000 .
Neem aan dat de wekelijkse omzet X normaal verdeeld is met standaardafwijking € 6515 .

a

Bereken E ( X ) .

Er is nog een filiaal van de supermarkt. De bedrijfsleider hiervan beweert dat zijn omzet € 45.000 per week is met een standaardafwijking van € 5.000 . De standaardafwijking van de omzet van de twee vestigingen samen kun je uitrekenen via de varianties van hun omzetten, dankzij de formule
Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y ) , mits X en Y onafhankelijk zijn.

b

Bereken die standaardafwijking.

Een accountant constateert dat in de afgelopen vier weken de totale omzet van de twee winkels € 368.743,36 was.

c

Is er, bij een significantieniveau van 5 %, voldoende reden om de bewering van de bedrijfsleider van het filiaal te verwerpen?

6

Het IQ van een Nederlander is normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15 . Het vermoeden bestaat dat profvoetballers bovengemiddeld slim zijn. Om dat te onderzoeken nemen we een steekproef van 25 profvoetballers en onderwerpen ze aan een IQ-test. Het gemiddelde IQ in deze steekproef noemen we μ .

a

Definieer een toetsingsgrootheid G en formuleer de H0- en de H1-hypothese.

Om de toets uit te kunnen voeren moeten we de standaardafwijking kennen van het gemiddelde IQ van 25 mensen.

b

Wat is de standaardafwijking van G ?

c

Bij welke waarden van μ mag ik concluderen dat profvoetballers inderdaad bovengemiddeld slim zijn, bij α = 0,05 ?

7

In een bedrijf is het aantal uur dat dagelijks wordt overgewerkt normaal verdeeld met gemiddeld 9,1 uur en standaardafwijking 2,1 uur. Er wordt een nieuw systeem van flexibele werktijden ingevoerd. In een periode van 25 werkdagen bleek de gemiddelde dagelijkse overwerktijd 8,4 uur per dag te zijn. Neem aan dat de standaardafwijking onveranderd 2,1 uur is.

Onderzoek of bij een significantieniveau van 5 % geconcludeerd kan worden dat het nieuwe systeem invloed heeft op de overwerktijd.

8

In elektronische apparatuur worden veel chips gebruikt. Neem aan dat de levensduur van chips van type A normaal verdeeld is met verwachtingswaarde μ = 8,0 jaar en standaardafwijking 2,0 jaar.

Een klant koopt 500 chips van type A.

a

Hoeveel van deze chips zullen naar verwachting binnen 5 jaar stukgaan?

Van de chips van type B vermoedt men dat μ kleiner is dan 8,0 jaar. Een laboratorium test daarom 50 chips van type B. Van deze bleken er na vijf jaar 7 stuk te zijn. Neem aan dat ook van deze chips de standaardafwijking van de levensduur 2,0 jaar is.

b

Geeft deze uitkomst voldoende aanleiding om bij een significantieniveau van 1 % de aanname dat μ = 8,0 jaar te verwerpen?