Het aantal klanten in de eerste $1\frac{1}{2}$ uur is Poissonverdeeld met $3\cdot 1\frac{1}{2}=4\frac{1}{2}$.
De kans dat een klant minstens anderhalf uur op zich laat wachten is ${\text{e}}^{‐1\frac{1}{2}}$.
De gevraagde kans is dus ${\text{e}}^{‐\frac{1}{2}}-{\text{e}}^{‐4\frac{1}{2}}\approx \mathrm{0,2120}$.

$X$ is het aantal klanten dat het eerste halfuur komt, dan $X$ is Poissonverdeeld met $\text{λ}=1\frac{1}{2}$.
$Y$ is het aantal klanten dat het derde kwartier komt, dan $Y$ is Poissonverdeeld met $\text{μ}=\frac{3}{4}$.
De gevraagde kans is: $\text{P}(X=2)\cdot \text{P}(Y=2)+\text{P}(X=1)\cdot \text{P}(Y=3)+\text{P}(X=0)\cdot \text{P}(Y=4)$, dus $\frac{{\text{λ}}^2}{2!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^2}{2!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{μ}}+\frac{{\text{λ}}^1}{1!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^3}{3!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{μ}}+\frac{{\text{λ}}^0}{0!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^4}{4!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{μ}}=$
$\frac{{\text{λ}}^2}{2!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^2}{2!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{μ}}+\frac{{\text{λ}}^1}{1!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^3}{3!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{μ}}+\frac{{\text{λ}}^0}{0!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^4}{4!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{μ}}$ $\approx \mathrm{0,0459}$.

Alle getallen groter dan $0$

$X$ is discreet verdeeld, $T$ is continu verdeeld.

Het aantal klanten in de eerste $t$ uur is Poissonverdeeld met parameter $\text{λ}\cdot t$.
$\text{P}(T\le t)=1-\text{P}(T>t)=$ $1-\text{P}(0\text{ klanten in de eerste }t\text{ uur})=$ $1-\frac{{\left(\text{λ}\cdot t\right)}^0}{0!}{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot t}=$ $1-{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot t}$

Als $t=0$, levert de formule $\text{P}(T\le 0)=1-{\text{e}}^0=0$ en dat moet ook: de kans dat de eerste klant onmiddellijk komt is $0$.
Als $t$ nadert tot oneindig, levert de formule $\text{P}(T\le \infty )=1$ en dat moet ook: de kans dat er ooit een klant zal komen is $1$.

Er geldt: ${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)\text{d}x}={\left[F(x)\right]}_0^t$ $=F(t)-F(0)$.
Aangezien $F(0)=0$, is dus ${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)\text{d}x}=F(t)$.

De tijd (in minuten) die Study moet wachten, noemen we $T$, met bijbehorende parameter $\text{λ}$, dan $\text{P}(T\le 30)=1-{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot \text{30}}=\frac{1}{2}$, dus ${\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot 30}=\frac{1}{2}$.
De kans dat ze binnen $5$ minuten een lift heeft, is $\text{P}(T\le 5)=1-{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot 5}=$ $1-{\left({\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot 30}\right)}^{\frac{1}{6}}=$ $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1091}$.

$\text{P}(T>60)=1-\left(1-{\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot 60}\right)={\left({\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot 30}\right)}^2=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{6}$

Nee

Hokjes tellen: de oppervlakte is ongeveer $2$ hokjes van oppervlakte $\frac{1}{4}$. Dus is de oppervlakte ongeveer $\frac{1}{2}$.

$G^{\prime }(x)=‐{\text{e}}^{‐\text{2}\cdot x}-x\cdot ‐\text{2}\cdot {\text{e}}^{‐\text{2}\cdot x}-\frac{1}{2}\cdot ‐\text{2}\cdot {\text{e}}^{‐\text{2}\cdot x}=g(x)$

$\text{E}(T)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(G(x)-G(0)\right)=$ $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x\cdot {\text{e}}^{‐\text{2}\cdot x}-\frac{1}{2}\cdot {\text{e}}^{‐\text{2}\cdot x}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.

$\text{E}(T)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}x\cdot \text{λ}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot x}\text{d}x}$.
Een primitieve van $h:x\to x\cdot \text{λ}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot x}$ is $H:x\to x\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot x}-\frac{1}{\text{λ}}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot x}$.
Dus $\text{E}(T)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot x}-\frac{1}{\text{λ}}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}\cdot x}+\frac{1}{\text{λ}}\right)=\frac{1}{\text{λ}}$.

$40$ minuten

$X$ is het aantal auto's dat stopt voor lifters. Dan is $x$ Poissonverdeeld met parameter $\text{λ}$ met $\frac{1}{\text{λ}}=10$, dus $\text{λ}=\mathrm{0,1}$.
$\text{P}(X\ge 4)=1-\text{P}(X\le 3)=1-{\text{P}}_{\text{Poisson}}(X\le \mathrm{3,}\text{λ}=\mathrm{0,1})\approx \mathrm{0,3528}$.