1

Gegeven is de differentiaalvergelijking d y d x = 2 ( y 4 ) x .

Als een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking een extreme waarde heeft, dan is die 4 .

a

Hoe zie je dat aan de differentiaalvergelijking?

b

Toon aan dat alle kwadratische functies met top ( 0,4 ) oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking zijn.

2

Val met wrijving
Een kogeltje valt in een bak met een of andere vloeistof. De snelheid van het kogeltje, t seconden nadat het in die vloeistof is gekomen, is v ( t ) m/s. De val van het kogeltje wordt versneld door de gravitatiekracht en vertraagd door een wrijvingskracht. We nemen aan dat die evenredig met de snelheid is. Dit leidt tot de differentiaalvergelijking: d v d t = f v + 10 , waarbij f een positieve evenredigheidsconstante is. Hierbij hebben we de valversnelling op 10 m/s2 afgerond.
De wrijvingsconstante f is afhankelijk van de "stroperigheid" van de vloeistof. (De opwaartse druk is verwaarloosd.)

a

Geef de algemene formule voor een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking.

De snelheid van het kogeltje wordt na enige tijd nagenoeg constant: 5 m/s.

b

Bereken hieruit f .

De snelheid waarmee het kogeltje in de vloeistof komt is 3 m/s.

c

Geef de formule van de oplossingsfunctie.

De in de vloeistof afgelegde weg na t seconden noemen we s ( t ) .

d

Geef een formule van s ( t ) en bereken hiermee hoe diep het kogeltje na 20 seconden gevallen is.

e

Teken de grafiek van s op de GR of in GeoGebra.

f

Hoe zie je dat aan de grafiek van s ?

g

Geef een formule van de rechte lijn waarop de grafiek van s steeds meer lijkt.

3

Hieronder is de grafiek van de functie y = 1 1 + e x getekend.

a

Geef vergelijkingen van de asymptoten van de grafiek. Schrijf de bijbehorende limieten op.

b

Ga langs algebraïsche weg na dat y ( x ) en y ( x ) gemiddeld 1 2 zijn.
Wat betekent dat voor de grafiek?

Dit is (de meest eenvoudige) logistische groeifunctie.

c

Geef de bijbehorende differentiaalvergelijking.

4

Een logistische groeifunctie voldoet aan de differentiaalvergelijking d y d x = 8 y 2 y 2 .

a

Wat is het verzadigingsniveau?

b

Wat is de grootste groeisnelheid?

De enige oplossingsfuncties waarvan de grafiek een horizontale raaklijn heeft, zijn twee constante functies.

c

Welke functies?
Hoe zie je dat aan de differentiaalvergelijking?

Elke oplossingsfunctie met een buigpunt, heeft daar dezelfde groeisnelheid.

d

Toon dat aan.
Welke waarde is dat?

5

In deze opgave bewijzen we: de oplossingsfunctie van een logistische groeifunctie ligt vast door zijn startwaarde.
Gegeven is de differentiaalvergelijking d y d t = c y ( M y ) .
Voor een oplosingsfunctie f van de differentiaalvergelijking geldt: f ( t ) = c f ( t ) ( M f ( t ) ) .

a

Laat zien dat daar uit volgt: f ( t ) ( f ( t ) ) 2 = c M f ( t ) c .

We bekijken de functie g : t 1 f ( t ) .

b

Laat zien dat g ( t ) = f ( t ) ( f ( t ) ) 2 .

c

Uit a en b volgt dat g oplossingsfunctie is van de differentiaalvergelijking: d y d t = c M ( y 1 M ) .

In paragraaf 5 Ongeremde groei hebben we gezien dat g dan een formule moet hebben van de vorm:
g ( t ) = a e c M t + 1 M

d

Laat zien dat hieruit volgt: f ( t ) = M 1 + a M e c M t .

6

In de figuur is een functie k getekend met daarop een punt P . De raaklijn in P aan k snijdt de x -as in Q . De projectie van P op de x -as is R . Dan is de oppervlakte van driehoek P Q R = 2 . De functie k voldoet dan aan de differentiaalvergelijking d y d x = 1 4 y 2 of aan de differentiaalvergelijking d y d x = 1 4 y 2 .

a

Toon dat aan.

Gegeven zijn de functies y = 4 x + a , voor alle mogelijke waarden van a .

b

Toon aan dat deze functies aan de differentiaalvergelijking d y d x = 1 4 y 2 voldoen.

c

Geef een oplossingsfunctie f van de differentiaalvergelijking met beginwaarde f ( 3 ) = 2 .

7

Gegeven is de differentiaalvergelijking d y d x = 2 x + 3 y x . Een lineaire functie is oplossing van de differentiaalvergelijking.

Bepaal een formule van deze functie.