Gegeven is de differentiaalvergelijking .
Als een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking een extreme waarde heeft, dan is die .
Hoe zie je dat aan de differentiaalvergelijking?
Toon aan dat alle kwadratische functies met top oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking zijn.
Val met wrijving
Een kogeltje valt in een bak met een of andere vloeistof.
De snelheid van het kogeltje, seconden nadat het in die
vloeistof is gekomen, is m/s. De val van het kogeltje
wordt versneld door de gravitatiekracht en vertraagd
door een wrijvingskracht. We nemen aan dat die evenredig
met de snelheid is. Dit leidt tot de differentiaalvergelijking:
,
waarbij een positieve evenredigheidsconstante
is.
Hierbij hebben we de valversnelling op m/s2 afgerond.
De wrijvingsconstante is afhankelijk van de "stroperigheid"
van de vloeistof. (De opwaartse druk is verwaarloosd.)
Geef de algemene formule voor een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking.
De snelheid van het kogeltje wordt na enige tijd nagenoeg constant: m/s.
Bereken hieruit .
De snelheid waarmee het kogeltje in de vloeistof komt is m/s.
Geef de formule van de oplossingsfunctie.
De in de vloeistof afgelegde weg na seconden noemen we .
Geef een formule van en bereken hiermee hoe diep het kogeltje na seconden gevallen is.
Teken de grafiek van op de GR of in GeoGebra.
Hoe zie je dat aan de grafiek van ?
Geef een formule van de rechte lijn waarop de grafiek van steeds meer lijkt.
Hieronder is de grafiek van de functie getekend.
Geef vergelijkingen van de asymptoten van de grafiek. Schrijf de bijbehorende limieten op.
Ga langs algebraïsche weg na dat
en
gemiddeld zijn.
Wat betekent dat voor de grafiek?
Dit is (de meest eenvoudige) logistische groeifunctie.
Geef de bijbehorende differentiaalvergelijking.
Een logistische groeifunctie voldoet aan de differentiaalvergelijking .
Wat is het verzadigingsniveau?
Wat is de grootste groeisnelheid?
De enige oplossingsfuncties waarvan de grafiek een horizontale raaklijn heeft, zijn twee constante functies.
Welke functies?
Hoe zie je dat aan de differentiaalvergelijking?
Elke oplossingsfunctie met een buigpunt, heeft daar dezelfde groeisnelheid.
Toon dat aan.
Welke waarde is dat?
In deze opgave bewijzen we:
de oplossingsfunctie van een logistische groeifunctie ligt vast door zijn startwaarde.
Gegeven is de differentiaalvergelijking .
Voor een oplosingsfunctie f van de differentiaalvergelijking
geldt: .
Laat zien dat daar uit volgt: .
We bekijken de functie .
Laat zien dat .
Uit a en b volgt dat oplossingsfunctie is van de differentiaalvergelijking: .
In paragraaf 5 Ongeremde groei hebben we gezien dat
dan een formule moet hebben van de vorm:
Laat zien dat hieruit volgt: .
In de figuur is een functie getekend met daarop een punt . De raaklijn in aan snijdt de -as in . De projectie van op de -as is . Dan is de oppervlakte van driehoek . De functie voldoet dan aan de differentiaalvergelijking of aan de differentiaalvergelijking .
Toon dat aan.
Gegeven zijn de functies , voor alle mogelijke waarden van .
Toon aan dat deze functies aan de differentiaalvergelijking voldoen.
Geef een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking met beginwaarde .
Gegeven is de differentiaalvergelijking . Een lineaire functie is oplossing van de differentiaalvergelijking.
Bepaal een formule van deze functie.