7.7 Gemengde opgaven >

Hoofdstukken > Continue dynamische modellen

Afbraak van penicilline
Ter bestrijding van een infectie begint een patiënt aan een penicillinekuur die bestaat uit het innemen van pillen. Iedere keer na het innemen van een pil stijgt de concentratie penicilline in het bloed met $350.000$ eenheden per milliliter. Aan het begin van de kuur zit er geen penicilline in het bloed van de patiënt. De penicilline wordt afgebroken met een snelheid die evenredig is met de concentratie:
$\frac{d P}{d t} = ‐ 0,3 P$ .
Hierbij is $t$ de tijd (in uren) en $P$ de concentratie penicilline (in eenheden per milliliter). De concentratie penicilline mag niet onder de $100.000$ eenheden per milliliter komen

Bereken hoeveel uur na het innemen van de eerste pil de tweede, derde en vierde pil moeten worden ingenomen. Geef je antwoorden in gehele uren.

Radioactief verval
Een manier om de ouderdom van organisch materiaal vast te stellen is de zogenaamde koolstof-14 methode. In levende organismen zit koolstof-12 en koolstof-14 in een vaste verhouding. Zodra het organisme sterft, vervalt het radioactieve koolstof-14. Het gehalte koolstof-14 noemen we $K$ (in procenten van de oorspronkelijke hoeveelheid), de tijd $t$ rekenen we in jaren vanaf het moment van sterven van het organisme.
De groeisnelheid van $K$ is evenredig met $K$ zelf.
De evenredigheidsconstante noemen we $c$ .

Welke differentiaalvergelijking volgt hieruit voor $K$ ?

Is de evenredigheidsconstante $c$ in de differentiaalvergelijking positief of negatief?

Wat is de beginwaarde $K (0)$ van $K$ ?

Stel een formule op voor $K (t)$ uitgedrukt in $c$ .

De halfwaardetijd is de tijd waarin $K$ wordt gehalveerd. Voor koolstof-14 is de halfwaardetijd $5730$ jaar.

Bereken $c$ .

Liften
Een student lift elke dag naar de universiteit. De ene dag heeft hij snel een lift, de andere dag duurt dat langer. De kans dat hij langer dan $t$ minuten moet wachten om een lift te krijgen, noemen we $w (t)$ .

Leg uit dat $w (0) = 1$ .

Maak aannemelijk dat voor alle getallen $a$ en $b$ geldt:
$w (a) \cdot w (b) = w (a + b)$ .

Uit b volgt:
$\frac{d w}{d t} = \lim_{Δ \to 0} \frac{w (t + Δ) - w (t)}{Δ} = \lim_{Δ \to 0} \frac{w (t) \cdot w (Δ) - w (t)}{Δ} =$ $w (t) \cdot \lim_{Δ \to 0} \frac{w (Δ) - w (0)}{Δ} =$ $w^{'} (0) \cdot w (t)$ .
Dus $\frac{d w}{d t} = c \cdot w$ met $c = w^{'} (0)$ .
De ervaring leert dat de wachttijd in een kwart van de gevallen langer is dan $10$ minuten.

Geef een formule voor $w (t)$ .

Luchtdruk
De luchtdruk (in pascal) is gelijk aan het gewicht van de kolom lucht die zich boven een vierkante meter oppervlak bevindt. Volgens de wet van Boyle is de snelheid waarmee de luchtdruk afneemt bij toenemende hoogte boven het zeeniveau evenredig met de luchtdruk.
Dit leidt tot de differentiaalvergelijking $\frac{d p}{d h} = c \cdot p$ waarbij $p$ de luchtdruk in hectopascal is en $h$ de hoogte boven het zeeniveau in meters.
De luchtdruk op zeeniveau is $1030$ hectopascal en op $5$ km boven het zeeniveau $570$ hectopascal.

Bepaal de hoogte met luchtdruk $770$ hectopascal.

In elk punt $P$ van de grafiek van de functie $f$ hiernaast geldt: de raaklijn in $P$ aan de grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in $X$ en de $y$ -as in $Y$ en $P$ is het midden van lijnstuk $X Y$ .
Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{d y}{d x} = ‐ \frac{y}{x}$ .

Laat zien dat $f$ oplossingsfunctie is van de differentiaalvergelijking.

Toon aan dat de functies $f : x \to \frac{c}{x}$ , waarbij $c$ een willekeurig getal is, oplossingsfuncties zijn van de differentiaalvergelijking

Teken op de GR de grafiek van een oplossingsfunctie die door $(2,3)$ gaat.

Algen
In een poel leeft een algenpopulatie. De hoeveelheid algen die in de poel kan leven kent een natuurlijke bovengrens, zeg $M$ . Hierdoor vindt geremde groei plaats. Noem $A (t)$ de omvang van de algenpopulatie op dag $t$ , uitgedrukt in procenten van $M$ . De groei wordt geremd doordat in de poel visjes leven die algen eten. Hierdoor verdwijnt een constante hoeveelheid algen per dag uit de poel. Er geldt nu: $\frac{d A}{d t} = c \cdot A (1 - \frac{A}{100}) - v$ , waarbij $c$ en $v$ positieve constanten zijn. Neem aan dat $A (0) = 70$ , $c = 0,5$ en $v = 10$ .

Benader $A (10)$ met de methode van Euler. Neem $1$ als stapgrootte. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Bereken uit de gegeven differentiaalvergelijking op welk percentage van $M$ de algenpopulatie zich zal stabiliseren.
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = 2 y - y^{2}$ .
$f$ is de oplossingsfunctie met $f (3) = 1$ .

Geef een formule voor $f$ .

Hoe kun je aan de differentiaalvergelijking zien dat $(3,1)$ een buigpunt van de grafiek van $f$ is?

In elk punt $P$ van de grafiek van de functie $f$ hiernaast geldt: de raaklijn in $P$ aan de grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in $X$ en de $y$ -as in $Y$ , dat $X$ het midden van lijnstuk $P Y$ is.
Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x}$ .

Laat zien dat $f$ oplossingsfunctie is van de differentiaalvergelijking.

Oplossingsfuncties zijn kwadratische functies met top $(0,0)$ .

Toon dat aan.

Glas
In de glastuinbouw is bekend dat licht aan intensiteit verliest wanneer het door een glasplaat valt. De afstand die het licht door het glas aflegt in mm noemen we $s$ en de intensiteit $i$ die voldoet aan de differentiaalvergelijking $\frac{d i}{d s} = ‐ k \cdot i$ . Hierbij is $k$ de uitdovingscoëfficiënt.
Een glasplaat van $3$ mm dik laat $40$ % van het (loodrecht) erop vallende licht door.

Bereken $k$ .

De Italiaan Volterra (1860-1940) heeft wiskundige modellen opgesteld die gebruikt worden bij populatievoorspellingen in de biologie. In een van deze modellen ging hij uit van twee vissoorten: $R$ roofdieren en $P$ prooidieren in een zeker gebied.
Volterra nam aan dat bij afwezigheid van roofdieren, het aantal prooidieren exponentieel zou toenemen, dus: $\frac{d P}{d t} = k \cdot P$ , waarbij $k$ een evenredigheidsconstante is.
Als er wel roofdieren zijn, zal de factor $k$ afhankelijk zijn van het aantal roofdieren: hoe groter het aantal roofdieren, hoe kleiner de factor $k$ .
Volterra ging uit van een lineair verband: $k = a - b \cdot R$ . Dit geeft de differentiaalvergelijking: $\frac{d P}{d t} = (a - b \cdot R) \cdot P$ .
Op dezelfde manier vond hij voor de groei van het aantal roofdieren: $\frac{d R}{d t} = (c \cdot P - d) \cdot R$ .
We kiezen $a = 50$ , $b = 2$ , $c = 0,04$ en $d = 3$ .

Verklaar waarom $c > 0$ genomen moet worden.

Op een gegeven moment zijn er $20$ roofdieren en $60$ prooidieren.

Geef een schatting van het aantal prooidieren en het aantal roofdieren $0,1$ tijdseenheid later.

Bij welk aantal prooi- en roofdieren zullen beide populaties volgens dit model constant blijven?

We bekijken opnieuw de differentiaalvergelijking bij de mottenbal uit opgave 21: $\frac{d y}{d x} = ‐ 0,3 y^{\frac{2}{3}}$ .
We definiëren de functies $y_{k}$ door $y_{k} = {(k - 0,1 x)}^{3}$ .
Hieronder staan de grafieken van $y_{k}$ voor $k = ‐ 1, 0, 1, 2, 3$ .

Laat zien dat de functies $y_{k}$ oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking zijn.

Ga na dat de nulfunctie (dat is de functie die constant de waarde $0$ heeft) ook een oplossing is.

En er zijn nog meer oplossingen. Bijvoorbeeld de functie $f$ die ontstaat door een stuk van bijvoorbeeld $y_{2}$ in het snijpunt met de $x$ -as aan een stuk van de nulfunctie te 'plakken':
$f (x) = {\begin{cases} {(2 - 0,1 x)}^{3} als x < 20 \\ 0 als x \geq 20 \end{cases}$ .
En deze functie beschrijft voor $x \geq 0$ precies het gewicht $y$ van de mottenbal van opgave 21 als functie van de tijd $x$ . Op tijdstip $20$ wordt het gewicht $0$ en blijft het $0$ ! Bij deze differentiaalvergelijking gaan er door alle punten van de $x$ -as meer dan één oplossingsfunctie. In deze punten kun je van de ene oplossingsfunctie "overstappen" op de andere. Er zijn dus meerdere oplossingen van hetzelfde beginwaardeprobleem. Uit de context volgt welke oplossingsfunctie het fysische proces beschrijft.

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = y - x^{2} + 4 x$ .

Zoek een kwadratische functie die oplossing is van de differentiaalvergelijking.

(hint)

Substitueer $y = a x^{2} + b x + c$ .
Links en rechts moet je dezelfde uitdrukking in $x$ krijgen.