5.3  De formule van de Moivre >
1

Veronderstel z = cos ( ϕ ) + i sin ( ϕ ) en n geheel.

a

Wat is | z | n en wat is arg ( z n ) ?

Uit het antwoord op het vorige onderdeel volgt: ( cos ( ϕ ) + i sin ( ϕ ) ) n = cos ( n ϕ ) + i sin ( n ϕ ) .

b

Wat levert deze formule op voor n = 2 , als je de linkerkant zonder haakjes schrijft?

Formule van de Moivre
( cos ( ϕ ) + i sin ( ϕ ) ) n = cos ( n ϕ ) + i sin ( n ϕ )

De Moivre 1667-1754

De Moivre (1667-1754) was een pionier in de ontwikkeling van de analytische meetkunde en de theorie van de kansrekening. Daarbij bouwde hij voort op werk van zijn voorgangers, met name Christiaan Huygens en verschillende leden van de Bernoulli-familie. Hij produceerde ook het tweede leerboek over de kansrekening, The Doctrine of Chances: a method of calculating the probabilities of events in play (Een doctrine over kansen: een methode voor de berekening van de waarschijnlijkheden van gebeurtenissen in het spel).
De Moivre was een calvinist. Hij verliet Frankrijk na de herroeping van het Edict van Nantes in 1685. De rest van zijn leven bracht hij in Engeland door. Doordat hij op zijn achttiende in ballingschap ging en niet over veel geld beschikte, behaalde hij geen academische graad. In 1697 werd hij tot lid van Royal Society gekozen. Hij was een vriend van Isaac Newton.
Uit Wikipedia

2
a

Bereken met de formule van de Moivre:
( 1 2 + 1 2 i 3 ) 10 , ( 1 2 1 2 i 3 ) 10 , ( 1 2 2 1 2 i 2 ) 10 .

b

Bereken nu ( 1 + i 3 ) 10 met behulp van de eerste uitkomst van onderdeel a.

Als z = r cos ( ϕ ) + r sin ( ϕ ) i , dan
z n = r n cos ( n ϕ ) + r n sin ( n ϕ ) i .

In het volgende bekijken de complex geconjungeerde van een complex getal, onder andere nodig bij het berekenen van het omgekeerde van een complex getal.

Definitie
De complex geconjungeerde z ¯ van een getal z = a + b i , is z ¯ = a b i .
Regels
Voor alle complexe getallen z en w geldt:

  1. z + w ¯ = z ¯ + w ¯

  2. z w ¯ = z ¯ w ¯

  3. z z ¯ = | z | 2

  4. z ¯ ¯ = z

  5. Als z ¯ = z , dan is z reëel.

3
a

Bewijs de regels.

Gegeven is de vergelijking z 3 = 11 z 20 .

b

Ga na: als z oplossing van de vergelijking is, dan ook z ¯ .

2 + i is oplossing van de vergelijking.

c

Ga dat na. Welk getal is dus ook oplossing?

4

Als je de plaats van z weet in het complexe vlak, hoe vind je dan de plaats van z ¯ ?

In de onderbouw en in vwo4 hebben we gewerkt met machientjes in .
Het machientje [PLUS 3 ] geeft bij invoer x de uitvoer x + 3 .
x [PLUS 3 ] x + 3 .

De werking van dit machientje kun je ongedaan maken met [PLUS 3 ].
De getallen 3 en 3 , algemeen a en a noemen we elkaars tegengestelde.
Er geldt: a + a = 0 voor alle getallen a uit . De werking van het machientje [MAAL a ] wordt ongedaan gemaakt door het machientje [MAAL a 1 ] ( a 0 ).
De getallen a en a 1 zijn elkaars inverse.
Er geldt: a 1 a = a a 1 = 1 .
Zo is de inverse van 2 gelijk aan 1 2 en de inverse van 2 1 2 is 2 5 .
In is delen door een getal a 0 hetzelfde als vermenigvuldigen met a 1 .
Immers met b : a bedoelen we het getal x dat met a vermenigvuldigd b oplevert; in formule: a x = b .
Als je de gelijkheid a x = b aan beide kanten met a 1 vermenigvuldigt vind je: a 1 a x = a 1 b , dus x = a 1 b , want a 1 a = 1 .
Om x te vinden als a x = b , moet je de inverse van a kennen.
In de volgende opgave zullen we zien hoe je die kunt vinden voor complexe getallen a .

5

Regel 3 hierboven zegt: z z ¯ = | z | 2 .

a

Laat zien dat hieruit volgt: z 1 = z ¯ | z | 2 .

De inverse of omgekeerde van z is dus: z ¯ | z | 2 .

b

Geef de inverse van 1 + i in de vorm: + i en reken na dat het door jou gegeven getal vermenigvuldigd met 1 + i inderdaad 1 oplevert.
Doe hetzelfde voor het getal 1 3 1 2 i .

c

Als z op de eenheidscirkel ligt, hoe vind je dan de plaats van z 1 ?

d

Hoe ziet de formule voor de inverse van a + b i eruit, geschreven in de vorm + i ?

z 1 = z ¯ | z | 2
Als z = a + b i , dan z 1 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i .

Voorbeeld:

De vergelijking in z : ( 1 + i ) z + i = 3 los je als volgt op.
( 1 + i ) z + i = 3 ( 1 + i ) z = 3 i z = ( 1 + i ) 1 ( 3 i ) .
In de voorgaande opgave heb je gezien dat ( 1 + i ) 1 = 1 2 1 2 i , dus z = ( 3 i ) ( 1 2 1 2 i ) = 1 1 2 1 2 i 1 1 2 i 1 2 = 1 2 i .

6

Los de volgende vergelijkingen in z op.

a

2 z = 1 + i

b

( 2 + i ) z = 4 + 3 i

c

( 2 + 3 i ) z + 3 + i = 2 + 13 i

7

De getallen z met Re ( z ) = 1 liggen op een rechte lijn. We bekijken waar die rechte lijn op afgebeeld wordt door de afbeelding z z 1 .
Drie getallen op die lijn zijn: 1 , 1 + i en 1 i .

a

Bepaal de beelden van die getallen onder de afbeelding z z 1 .

De bewering is dat de getallen op die rechte lijn afgebeeld worden op een cirkel. Uit de drie beelden uit onderdeel a volgt wat de straal en het middelpunt van die cirkel zijn.

b

Wat zijn de straal en het middelpunt van die cirkel?

c

Bewijs de bewering.

(hint)
De punten op de lijn Re ( z ) = 1 zijn van de vorm 1 + t i , met t uit .
d

Krijg je de hele cirkel als beeld van de lijn? Licht je antwoord toe.