De cirkel verdeeld in drie bogen
De punten
,
en
verdelen een cirkel in drie bogen.
De lengten van de bogen verhouden zich als ;
zie figuur.
Neem om te beginnen .
Hoe groot zijn de hoeken van driehoek ?
Neem .
Hoe groot zijn de hoeken van driehoek ?
Teken een cirkel en teken daarop punten
,
en
die
hieraan voldoen. Geef een toelichting.
Wat weet je van , en als driehoek rechthoekig is?
De cirkel verdeeld in vier bogen
De punten
,
,
en
verdelen (in deze volgorde) een
cirkel in vier bogen. De lengten van de bogen verhouden
zich als
; zie figuur.
Neem .
Hoe groot zijn de hoeken van vierhoek?
Teken een cirkel en teken daarop punten
,
,
en
die hieraan voldoen en licht je antwoord toe.
Wat weet je van , , en als een rechthoek is?
Wat weet je van , , en als de diagonalen en loodrecht op elkaar staan?
Gegeven zijn twee punten
en . We bekijken de cirkel
met middelpunt die door
gaat en de cirkel met middelpunt
die door
gaat.
De cirkels snijden elkaar in de
punten en .
De lijn snijdt de cirkel met middelpunt
in het punt , zie figuur.
Bewijs dat lijn raaklijn is aan de cirkel met middelpunt .
Bewijs dat .
Bereken als de straal van de cirkels is.
Bissectrice
is een gelijkzijdige driehoek met middelpunt
.
is een punt buiten de driehoek, zo dat.
Zie figuur.
Bewijs dat bissectrice is van hoek .
Een cirkelbeweging
Gegeven is een cirkel met koorde . Het punt ligt op
de cirkel.
Het punt X ligt op het verlengde van
zodanig dat
.
Als de in de figuur dikgetekende boog
doorloopt,
beschrijft een baan in het vlak.
Bewijs dat die baan een deel van een cirkel is.
Teken de baan, geef een toelichting.
Rechthoek
Gegeven zijn drie halve cirkels met middellijnen
,
en
waarbij ,
en
op één lijn liggen.
ligt op de
grootste halve cirkel.
De lijnen
en
snijden de andere
twee halve cirkels in respectievelijk en .
Bewijs dat een rechthoek is.
Veronderstel dat en .
Waar op de grootste halve cirkel moet je kiezen opdat en op afstand van elkaar af liggen?
Evenwijdig 1
en
zijn twee punten.
Hierboven zijn elf exemplaren
getekend van de bundel cirkels die door en
gaan.
is een lijn door ,
is een lijn door .
Elk van de cirkels
wordt door lijn in nog een ander punt dan
gesneden
en door lijn in nog een ander punt dan .
Deze snijpunten zijn door koorden verbonden.
In onderstaand plaatje zijn alleen de koorden
,
en
getekend met de bijbehorende cirkels.
Bewijs dat , en evenwijdig zijn.
Evenwijdig 2
Twee cirkels en snijden elkaar in
en .
is een
punt op .
De lijnen en
snijden
ook nog in
en
.
Bewijs dat de raaklijn in aan evenwijdig is aan .
Bewijs dat de lengte van lijnstuk onafhankelijk is van de plaats van punt op .
Koordenvierhoek
Gegeven is een cirkel met koordenvierhoek , zo
dat middellijn is van de cirkel.
Punt ligt op de zijde en punt
op de zijde
, zo
dat loodrecht staat op .
Bewijs dat een koordenvierhoek is.
Op één lijn 1
De cirkels
en in de figuur raken elkaar in .
De middelpunten van de cirkels zijn respectievelijk
en .
Lijn raakt in
en in .
De gemeenschappelijke raaklijn aan
en
in snijdt lijn in punt
.
Bewijs dat de punten , en op één cirkel met middelpunt liggen.
Verder is gegeven dat een middellijn van is.
Bewijs dat , en op één lijn liggen.
Even ver 1
De cirkels en
snijden elkaar in de punten
en .
is een punt op ,
en zijn de snijpunten van met
respectievelijk
en .
en zijn de snijpunten met
van respectievelijk en
.
Bewijs dat de punten en even ver van af liggen.
Even ver 2
Teken een cirkel. Teken een tweede cirkel met middelpunt
op de eerste cirkel. Noem de snijpunten van de
cirkels
en .
Kies op de eerste cirkel nog een punt: .
Bepaal het snijpunt
van met de tweede cirkel.
Bewijs dat en even ver van af liggen.
Gegeven is driehoek . De punten
,
en
liggen op respectievelijk de zijden
,
en
.
We bekijken drie cirkels:
door ,
en
,
door ,
en
en
door ,
en
.
Bewijs dat deze cirkels door één punt gaan.
Op één lijn 2
is een trapezium ().
is een punt op .
De omgeschreven cirkels van de driehoeken en
snijden elkaar behalve in ook nog in punt
.
Bewijs dat op de lijn ligt.
Op één cirkel
Twee cirkels
en raken elkaar in het punt
; ze hebben
dus een gemeenschappelijke raaklijn in .
Een lijn door snijdt in het punt
en
in .
Een lijn door snijdt
in het punt
. Een lijn door
snijdt in het punt .
De lijnen
en snijden elkaar in het punt .
Bewijs dat de punten , , en op één cirkel liggen.
Door één punt
Gegeven is driehoek . Op de zijden van de driehoek worden naar buiten gelijkzijdige driehoeken gezet. We bekijken de omgeschreven cirkels van die drie driehoeken.
Bewijs dat deze cirkels door één punt gaan.
Noem de top van de driehoek die op BC staat: .
Bewijs dat , en ' op één lijn liggen.
Het is niet noodzakelijk dat de driehoek die op de zijden van gezet worden gelijkzijdig zijn. We zetten willekeurige driehoeken op de zijden met tophoeken , en (dat zijn de hoeken tegenover respectievelijk , en ).
Wat weet je van , en als de omgeschreven cirkels van deze driehoeken door één punt gaan?
Op één cirkel
Vier cirkels snijden elkaar twee aan twee in twee punten.
De "buitenste" snijpunten zijn
,
,
en
,
de "binnenste"
snijpunten zijn
,
,
en
.
Bewijs: als , , en op één cirkel liggen, dan liggen , , en ook op één cirkel.