Experiment
Steek twee punaises door een karton op een afstand van ongeveer $7$ cm. Leg het karton op tafel, met de punten van de punaises omhoog.

Schuif een geodriehoek met de rechte hoek tussen de punaises. Laat de geodriehoek alle mogelijke posities innemen. Let op de baan die het hoekpunt bij de rechte hoek daarbij beschrijft.

Schuif een geodriehoek met een hoek van $45 °$ tussen de punaises. Laat de geodriehoek weer alle mogelijke posities innemen. Let op de baan die het hoekpunt bij de hoek van $45 °$ daarbij beschrijft.

De volgende stelling is ook te vinden in 4V deel 1 wiskunde b.

Stelling van Thales
Van een cirkel met middelpunt $M$ is $A B$ een middellijn. Verder is er een punt $C$ , verschillend van $A$ en $B$ .

Bewijs: als $C$ op de cirkel ligt, dan is $∠ A C B = 90 °$ .

(hint)

De lijn

C M

verdeelt driehoek

A B C

in twee gelijkbenige driehoeken.

Bewijs: als $∠ A C B = 90 °$ , dan ligt $C$ op de cirkel.

Thales van Milete
ca 624 - 547 v. Chr.

De stelling in opgave 68a wordt toegeschreven aan Thales van Milete (Milete was in de oudheid een Griekse stad in Klein Azië, tegenwoordig Turkije, ongeveer 80 km zuidelijk van Izmir).
Thales is een van de legendarische oude wijzen, een filosoof die als koopman in aanraking kwam met de Egyptische en Babylonische meetkunde van zijn tijd. Bij hem laat men in het algemeen de Griekse wetenschap beginnen. Er zijn allerlei anekdotes over hem in omloop. Zo zou Thales als eerste een zonsverduistering hebben voorspeld. Maar weinig is met zekerheid over hem bekend.

$A D$ en $B E$ zijn hoogtelijnen in driehoek $A B C$ . $M$ is het midden van zijde $A B$ .

Bewijs dat $D$ en $E$ even ver van $M$ afliggen.

Gegeven is driehoek $A B C$ . Bekijk de cirkels met middellijnen $A B$ en $A C$ . Die snijden elkaar behalve in $A$ nog in een tweede punt: $S$ .

Bewijs dat $S$ op de zijde $B C$ ligt.

$A B C D$ is een parallellogram.
Teken de loodlijnen uit $B$ op de zijden $D A$ en $D C$ ; teken de loodlijnen uit $D$ op de zijden $B A$ en $B C$ .

Bewijs dat de voetpunten van de loodlijnen de hoekpunten van een rechthoek zijn.

(hint)

Bewijs dat het een parallellogram is met even lange diagonalen.

Terminologie
$A$ en $B$ zijn twee punten van een cirkel. Hiernaast is boog $A B$ gekleurd.
Eigenlijk zijn er twee bogen $A B$ . Die vullen elkaar aan tot de hele cirkel.
Tegenover boog $A B$ is er een punt P op de cirkel gekozen. We zeggen dat hoek $A P B$ staat op de boog $A B$ .

Het is duidelijk dat, hoe groter de boog, des te groter de hoek is die op de boog staat. Als de hoek bijna $0 °$ is, is de booglengte ook bijna $0$ .

Wat weet je van de boog als de hoek $90 °$ is

Hoe zit het als de hoek $180 °$ is?

We bekijken enkele speciale gevallen. In de opvolgende plaatjes is de cirkel verdeeld in $3$ , $4$ , $6$ en $8$ even lange bogen.

Hoe groot is $b g (A B)$ in elk van deze gevallen?

Hoe groot is $∠ A P B$ in elk van deze gevallen?

Bij deze speciale gevallen was er iets moois aan de hand: $∠ A P B = \frac{1}{2} b g (A B)$ .
Iets dergelijks geldt algemeen. De grootte van een hoek hangt alleen af van de boog waarop hij staat! Deze stelling is centraal in de theorie over hoeken en bogen.
We gaan hem bewijzen.

Gegeven is een boog $A B$ van een cirkel met middelpunt $M$ . $P$ is een punt, ongelijk aan $A$ en $B$ .
Als $P$ op de cirkel ligt, tegenover boog $A B$ , dan geldt: $∠ A P B = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M B$ .
Om dit te bewijzen, onderscheiden we drie gevallen.

Bewijs de stelling als $P$ zo ligt dat $M$ op AP ligt.

Bewijs de stelling als $P$ zo ligt dat $M$ binnen driehoek $A P B$ ligt.

(hint)

Trek lijn

P M

door en pas twee keer de stelling van de buitenhoek toe.

Bewijs de stelling als $P$ zo ligt dat $M$ buiten driehoek $A P B$ ligt.

(hint)

Dezelfde tip als bij onderdeel b

Omkering van de stelling van de omtrekshoek
Gegeven is een boog $A B$ van een cirkel met middelpunt $M$ . $P$ is een punt, aan de kant van de lijn $A B$ waar boog $A B$ niet ligt. (Dat is in het plaatje de kant "boven" de lijn $A B$ .)

Stel dat $P$ buiten de cirkel ligt.
Bewijs dat dan $∠ A P B < \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$ .

(hint)

rbind

P

met

A

. De verbindingslijn snijdt de cirkel in punt

Q

.
Dan

∠ A P B < ∠ A Q B

. (Waarom?)

Stel dat $P$ binnen de cirkel ligt.

Bewijs dat dan $∠ A P B > \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$ .

(hint)

Als bij onderdeel a

$A B C D E$ is een regelmatige vijfhoek.

Bewijs dat $∠ E A D = ∠ D A C$ .

Laat zien dat de stelling van Thales een speciaal geval is van de stelling van de omtrekshoek.

$A$ , $B$ en $P$ zijn punten op de cirkel met middelpunt $M$ .
We zeggen dat hoek $A P B$ op boog $A B$ staat.
Er geldt:
$∠ A M B = 2 \cdot ∠ A P B$ .
Omgekeerd geldt:
als $P$ buiten de cirkel ligt, dan: $∠ A M B > 2 \cdot ∠ A P B$ .
als $P$ binnen de cirkel ligt, dan: $∠ A M B < 2 \cdot ∠ A P B$ .

$A$ , $B$ , $C$ en $D$ liggen op een cirkel zo dat $A B ∥ C D$ .

Bewijs dat boog $A D$ en boog $B C$ even lang zijn.

Twee lijnen snijden elkaar loodrecht binnen een cirkel. De snijpunten verdelen de cirkelomtrek in vier stukken.

Bewijs dat de twee tegenover elkaar liggende stukken samen de helft van de cirkelomtrek zijn.

Bekijk het grensgeval dat de lijnen elkaar niet binnen de cirkel loodrecht snijden, maar op de cirkelrand.

Leg uit dat je daarmee opnieuw de (omgekeerde) stelling van Thales hebt bewezen.

$A B C$ is een gelijkbenige driehoek met tophoek $C$ . $D$ ligt op boog $A B$ van de omgeschreven cirkel, tegenover $C$ .

Bewijs dat $D C$ bissectrice is van hoek $A D B$ .

Gegeven is driehoek $A B C$ met zijn omgeschreven cirkel. De middelloodlijn van $A B$ snijdt de cirkel in het punt $S$ , tegenover $C$ .

Bewijs dat $C S$ bissectrice is van hoek $A C B$ .

Twee cirkels met gelijke straal snijden elkaar in de punten $P$ en $Q$ . Een lijn door $P$ snijdt de ene cirkel ook nog in $A$ en de andere ook nog in $B$ .

Bewijs dat $A$ en $B$ even ver van punt $Q$ afliggen.

Gegeven zijn drie punten $A$ , $B$ en $C$ die niet op een rechte lijn liggen.

Teken alle punten $P$ , zo dat $∠ A P B = ∠ A C B$ .

Gegeven is een cirkel met middelpunt $M$ . De lijn $l$ raakt in het punt $P$ aan de cirkel. $A$ is een ander punt van de cirkel.
De hoek die $l$ maakt met de koorde $A P$ noemen α.

Bewijs dat $∠ A M P = 2 α$ .

(hint)

Druk de grootte van beide hoeken uit in

∠ A P M

Je kunt de situatie in opgave 84 als volgt zien als limietgeval van de stelling van de omtrekshoek.
Benader het punt $P$ met een rij punten $B_{n}$ op een cirkel.
Er geldt:

$∠ B_{n} P A$ nadert willekeurig dicht tot α,
$∠ B_{n} M A$ nadert willekeurig dicht tot $∠ P M A$ ,
$∠ B_{n} M A = 2 \cdot ∠ B_{n} P A$ voor elke $n$ .

Dus $∠ P M A = 2 \cdot α$ .

Gegeven een koorde van een cirkel en de raaklijn in een eindpunt van de koorde.
De hoek tussen raaklijn en koorde is de helft van de boog waarop de koorde staat.

We kunnen de hoek tussen de raaklijn in $P$ en de koorde $A P$ dus beschouwen als een omtrekshoek die staat op de boog $A P$ . De stelling van de omtrekshoek geldt dus ook voor deze situatie.
We zullen hieraan refereren als het limietgeval.

Driehoek $A B C$ heeft hoeken van $50 °$ , $60 °$ en $70 °$ . In de hoekpunten worden de raaklijnen aan de omgeschreven cirkel getekend. Die sluiten een driehoek in.

Bereken de hoeken van die driehoek.

Driehoek $A B C$ heeft hoeken van $50 °$ , $60 °$ en $70 °$ . De bissectrices van de hoeken snijden de omgeschreven cirkel in de punten $P$ , $Q$ en $R$ .

Bereken de hoeken van driehoek $P Q R$ .

Van een vierkant is A een hoekpunt en zijn M, N en P middens van zijden. In het vierkant is de ingeschreven cirkel getekend. Er zijn twee lijnen getekend. De ene lijn gaat door A en M; de andere gaat door P en is evenwijdig aan de eerste lijn. De lijnen snijden twee bogen van de cirkel af; die zijn in de figuur gekleurd.

Bewijs dat die bogen even lang zijn.

Vlinderstelling
De vier punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ liggen in deze volgorde op een cirkel. Trek de lijnen $A B$ , $B D$ , $D C$ en $C A$
Dan ontstaat een "vlinder"-figuur, bestaande uit twee driehoeken.

Bewijs dat deze driehoeken gelijkvormig zijn.

Twee cirkels snijden elkaar in de punten $A$ en $B$ . Het punt $P$ beweegt over de ene cirkel. De lijn door $A$ en $A$ snijdt de andere cirkel in $Q$ .
We bekijken de driehoek $P Q B$ .
Hieronder zijn deze driehoeken getekend voor twee verschillende posities van $P$ .

Bewijs dat de driehoeken gelijkvormig zijn.