1

Van 22000 zwangere vrouwen werd het gewicht bepaald. Hieronder staat het histogram.

a

Is het gewicht bij benadering normaal verdeeld?

De diastolische bloeddruk (ofwel onderdruk) van mensen tussen 30 en 70 jaar is ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 85 (mm Hg) en standaardafwijking 13 mm Hg.
12,4 % van de mensen tussen 30 en 70 jaar hebben een diastolische bloeddruk boven 100 mm Hg en 12,4 % van de mensen hebben een bloeddruk onder mm Hg.

b

Welke grens is dat?

c

Tussen welke waarden ligt de bloeddruk van de middelste 50 % van de mensen?

2

Anne heeft op haar computer maar één plaatje van een normale curve staan. Dat gebruikt ze bij elke opgave waarin sprake is van een normale verdeling.

a

Geef hierop commentaar.

Anne heeft bij een normale verdeling de z -waarde bepaald van de waarde waarboven 13 % ligt en ook de z -waarde van de waarde waaronder 13 % ligt.

b

Wat is het verband tussen deze twee z -waardes?

Stel je weet dat bij twee normale verdelingen met dezelfde standaardafwijking de percentages onder 50 respectievelijk onder 60 gelijk zijn.

c

Wat weet je dan van hun gemiddeldes?

Stel je weet dat bij twee normale verdelingen met gemiddeldes 50 en 60 de percentages onder 70 gelijk zijn.

d

Wat weet je dan van de standaardafwijkingen?

3

De diastolische bloedruk (ofwel onderdruk) van mensen tussen 30 en 70 jaar is ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 85 (mm Hg) en standaardafwijking 13 mm Hg.

a

Is de bloeddruk een continue of een discrete variabele?

b

Maak een histogram van de bloeddruk met klassengrenzen 50 , 60 , 70 , 80 , 90 , 100 , 110 , 120 .

Een arts noteert de bloeddruk als geheel getal.

c

Bij hoeveel procent van de mensen zal hij 85 noteren?

4

In de tabel staan de gemiddelde temperaturen per seizoen in De Bilt en de bijbehorende standaardafwijkingen.

seizoen

winter

lente

zomer

herfst

gemiddelde

2,7

8,7

16,4

10,0

standaardafwijking

1,8

1,0

1,0

1,0

Bereken de gemiddelde jaartemperatuur in De Bilt en de bijbehorende standaardafwijking.

5

Grabbelton
"Altijd prijs in de supergrabbelton" staat er bij een kraampje op de braderie. Tussen het zaagsel in de ton zijn tien plankjes verborgen: op zeven plankjes staat "2", op twee plankjes staat "5" en op één plankje staat "10". Na een inzet mag je twee plankjes grabbelen. Het hoogste getal dat op deze plankjes staat, is de uitbetaling X in euro's.

a

Ga na: P ( X = 5 ) = 1 3 .

b

Geef in een tabel de kansverdeling van X .

c

Bereken E ( X ) en Var ( X )

Hiernaast is het histogram getekend van de uitbetaling bij één keer spelen in de grabbelton met de tien plankjes. Je ziet dat het histogram er niet normaal verdeeld uitziet, integendeel!
Het histogram dat hoort bij vijftig keer spelen is goed te benaderen met een normale kromme.

d

Waarom?

e

Tussen welke twee bedragen ligt de totale uitbetaling bij vijftig keer spelen?

f

Hoe groot is de kans op de laagst mogelijke en hoe groot is de kans op de hoogst mogelijke uitbetaling?

T is de totale uitbetaling bij vijftig keer spelen in de grabbelton: T = X 1 + X 2 + + X 50 , waarbij X i de uitbetaling is bij de i -de keer spelen.

g

Bereken E ( T ) , Var ( T ) en sd ( T )

h

Bereken de kans op een totale uitbetaling tussen de 224 en 255 euro in vier decimalen.

6

Drie echtparen Arno en Anneke, Bob en Bea en Cor en Crissy hebben een dansclubje. Elke dinsdagavond gaan ze dansen. Wie met wie danst, wordt elke dinsdag opnieuw door het lot bepaald. X is het aantal mannen dat zijn eigen vrouw treft.

a

Ga na dat per dinsdag de volgende kansen gelden: P ( X = 0 ) = 1 3 , P ( X = 1 ) = 1 2 en P ( X = 3 ) = 1 6 .

b

Bereken E ( X ) en sd ( X ) .

Vandaag viert het dansclubje haar eerste lustrum: de afgelopen vijf jaar hebben ze geen dinsdagavond overgeslagen, in totaal 262 avonden. In totaal hebben ze 262 S is het aantal keer dat in de vijf jaar een man zijn eigen vrouw trof. S is bij benadering normaal verdeeld.

c

Bereken E ( S ) en sd ( S ) .

d

Bereken met deze normale benadering de kans dat niet meer dan 250 keer een man zijn eigen vrouw trof.

7

Een vulmachine vult pakken met (ongeveer) 1 kilogram suiker. Als de machine ingesteld staat op 1000 gram, zal het werkelijke gewicht van een pak normaal verdeeld zijn met gemiddelde 1000 gram en standaardafwijking 10 gram.

a

Toon aan dat bijna 7 % van de pakken een gewicht heeft van 985 gram of minder.

De EU-voorschriften betreffende vulgewichten zijn in Nederland vastgelegd in het zogenaamde Hoeveelheidsaanduidingenbesluit (de Warenwet). De bedoeling van deze normen is dat de consument niet onaangenaam verrast wordt door een artikel waar veel minder in zit dan er op de verpakking staat. De fabrikanten die zich aan deze normen houden, tonen dat door op de verpakking aan de inhoudsopgave de letter “e” toe te voegen.
In deze voorschriften worden de volgende begrippen gebruikt:

  1. nominale hoeveelheid: de hoeveelheid die op het pak vermeld staat (dus bijvoorbeeld 1 kg suiker),

  2. fout in minus: de hoeveelheid die de werkelijke inhoud kleiner is dan de nominale hoeveelheid.

Artikel 3 van de voorschriften zegt nu ongeveer het volgende:

  1. de werkelijke hoeveelheid mag gemiddeld niet kleiner zijn dan de nominale hoeveelheid,

  2. bij een statistische controle (steekproef) mag hoogstens 2% van de pakken een hoeveelheid bevatten die een grotere fout heeft dan de toegelaten fout in minus

Zie de tabel hieronder.

b

Lees af hoe groot de toegelaten fout in minus is van een 1 1 2 -literfles cola. En van een blikje cola van 33 cl.

Pakken koffie worden machinaal gevuld door een machine die bij elke ingestelde hoeveelheid een standaardafwijking heeft van 5 gram. Neem aan dat de gemiddelde hoeveelheid koffie in een pak gelijk is aan de ingestelde hoeveelheid. We bekijken de pondspakken ( 500 gram).

c

Bereken op welke hoeveelheid de machine moet worden ingesteld als aan beide eisen van artikel 3 voldaan moet worden.

Naast pondspakken zijn er ook nog halfpondspakken in de handel. Ook deze pakken moeten aan de EU-normen voldoen.

d

Onderzoek of de fabrikant bij halfpondspakken meer, minder of evenveel koffie verbruikt per nominaal gewicht van 1 kg vergeleken met pondspakken

8

Batterijen
De research afdeling van een fabriek heeft een nieuw type batterij ontwikkeld, dat bijzonder geschikt is voor het aandrijven van speelgoedmotortjes. Neem aan dat op elke productiedag de levensduur van de die dag geproduceerde batterijen normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 50 minuten. Het gemiddelde μ in minuten is afhankelijk van een aantal factoren in het fabricageproces. Omdat de fabrikant in reclameboodschappen beweert dat zijn batterijen erg lang meegaan, wil hij er voor zorgen dat hoogstens 7 % van de batterijen uit een dagproductie een levensduur heeft van minder dan 8 1 2 uur.

a

Bereken in minuten nauwkeurig de kleinste waarde van μ waarvoor dit nog het geval is.

Een controleur merkt dat bij het wisselen van een serie batterijen per ongeluk twee nieuwe batterijen bij een groepje van tien lege terecht zijn gekomen. Omdat aan de buitenkant niet zichtbaar is welke de nieuwe zijn, zit er niets anders op dan de batterijen een voor een door te meten totdat de twee nieuwe zijn teruggevonden.

b

Bereken de kans dat hij in totaal vier van de twaalf batterijen moet doormeten

9

In 1972 spande een groep vrouwen een proces aan tegen een fabriek in Texas die apparaten voor airconditioning produceert. Deze fabriek nam alleen nieuwe personeelsleden in dienst die langer waren dan 170,0 cm, De vrouwen waren bij hun sollicitatie afgewezen, omdat ze niet aan deze eis voldeden.
De advocaat van de vrouwen benadrukte het discriminerende karakter van de aanstellingsvoorwaarde door te stellen dat 91,0 % van alle Amerikaanse vrouwen tussen 18 en 65 jaar niet lang genoeg was om aangenomen te kunnen worden. Dit percentage ontleende hij aan een onderzoek van het Amerikaanse ministerie van Volksgezondheid.
Neem aan dat de lengte van de Amerikaanse vrouwen in de betreffende leeftijdsgroep normaal verdeeld is met gemiddelde μ = 160,4 cm en standaardafwijking σ .

a

Toon aan dat σ = 7,2 cm.

De groep Amerikaanse vrouwen tussen 18 en 65 jaar die langer zijn dan 170,0 noemen we V . De mediaan van de lengte van de vrouwen in V noemen we even M E D .

b

Hoeveel procent van de vrouwen in V is langer dan M E D ?

c

Toon aan dat M E D = 172,6 cm (uitgaande van σ = 7,2 cm en μ = 160,4 cm).

De vertegenwoordiger van de fabriek bij het proces noemde het percentage van 91 sterk overdreven. Het door de tegenpartij aangehaalde onderzoek stamde uit 1948. De gemiddelde lengte van volwassenen was volgens hem in de periode 1948-1972 flink toegenomen. Hij ondersteunde zijn betoog met het resultaat van een recent onderzoek. In een aselecte steekproef van 1000 vrouwen tussen 18 en 65 jaar werd bij 113 vrouwen een lengte gemeten van meer dan 172,6 cm.
Neem aan dat de standaardafwijking ongewijzigd is, dus σ = 7,2 cm.

d

Wat is de gemiddelde lengte van de Amerikaanse vrouw volgens dit recente onderzoek?

De advocaat van de vrouwen gaf toe dat het door hem aangehaalde onderzoek wat verouderd was en de gemiddelde lengte van de vrouwen waarschijnlijk was toegenomen. Hij bleef echter benadrukken dat ook in 1972 nog steeds een grote meerderheid van de Amerikaanse vrouwen op grond van hun lengte door het bedrijf zou worden afgewezen.
Stel dat voor 1972 gold: μ = 164,0 cm en σ = 7,2 cm.

e

Bereken het percentage Amerikaanse vrouwen in de genoemde leeftijdsgroep dat in 1972 niet lang genoeg was voor een functie bij de fabriek.

10

Intelligentie is een van de factoren die een rol spelen bij het met succes volgen van een schoolopleiding. In 1938 gebruikte een onderwijskundige onderstaande grafiek, waarin de mate van intelligentie (uitgedrukt in IQ) werd gekoppeld aan soorten opleidingen en mogelijke beroepen.

Het gemiddelde IQ is 100 ; 27 1 2 % heeft een IQ kleiner dan 90 .

a

Laat zien dat hieruit volgt: de standaardafwijking σ = 16,7 .

b

Bereken hoeveel procent van de bevolking in 1938 in staat werd geacht om ten minste de MTS te volgen.

c

Bereken hoeveel procent in aanmerking kwam voor de HBS, maar niet voor het Gymnasium.