$T_2$

$20°\text{C}$ in $5$ uur; dat is $4°\text{C}$ per uur.

$\mathrm{‐18}°\text{C}$ in $10$ uur; dat is $\mathrm{‐1,8}°\text{C}$ per uur.

$8°\text{C}$ in $4$ uur; dat is $2°\text{C}$ per uur.

$15°\text{C}$ in $16$ uur; dat is $\mathrm{0,94}°\text{C}$ per uur.

$T_2$ hoort bij de luchttemperatuur, $T_1$ hoort bij de grondtemperatuur. De grond wordt warmer als de luchttemperatuur hoger is. Het temperatuurverloop van de grond loopt dus achter.

$52\times 5=260$ (en geen $365$, want in het weekend is er geen handel)

De prijs is gestegen van ongeveer $1200$ naar ongeveer $1720$. Als je voor $100$ dollar had gekocht, was het nu $\frac{1720}{1200}\cdot 100\approx 143$ dollar waard geweest. Dus je had ongeveer $43$ dollar winst gemaakt.

Met $\frac{1720-1200}{12}\approx 43$ dollar.

Met $\frac{1720-1200}{365}\approx \mathrm{1,42}$ dollar.

Overige Aziatische landen: groei van $\mathrm{1,4}$ naar $\mathrm{2,1}$ miljard, dus groei van $\mathrm{0,7}$ miljard;
Afrika: groei van $\mathrm{1,2}$ naar $\mathrm{1,8}$ miljard, dus groei van $\mathrm{0,6}$ miljard;
Chris heeft geen gelijk.

$\mathrm{1,4}$ mld op $\mathrm{11,5}$ mld (dus ongeveer $1$ op de $8$): $\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{11,5}}\times 100\text{\%}\approx 12\text{\%}$

$\mathrm{4,9}$ mld in $150$ jaar $\to$ $\mathrm{32,7}$ mln per jaar $\to$ bijna $90.000$ per dag $\to$ ongeveer $1$ per seconde.

De gemiddelde toename is: $\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{520}{364}\approx \mathrm{1,43}$.
(Of nauwkeuriger: $\frac{\mathrm{1717,28}-\mathrm{1197,98}}{364-0}\approx \mathrm{1,43}$.)

De gemiddelde toename is: $\frac{\Delta T_2}{\Delta t}=\frac{\mathrm{‐}4}{12}\approx \mathrm{‐}\mathrm{0,33}$.

De gemiddelde toename is: $\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{123}{3}=41$.

Gemiddelde snelheid per uur.

Van $3$ tot en met $11$ een toename van $1-2-2+3+3+2-1+4=8$, dus $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{8}{8}=1$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Van $x=3$ tot en met $x=7$; toename is $1-2-2+3=0$.

Op $[\mathrm{3,6}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{36-9}{6-3}=\frac{27}{3}=9$
Op $[\mathrm{0,10}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{100-0}{10-0}=\frac{100}{10}=10$
Op $[\mathrm{‐}\mathrm{2,2}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-4}{2-(\mathrm{‐}2)}=\frac{0}{4}=0$
Op $[\mathrm{‐}\mathrm{3,2}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-9}{2-(\mathrm{‐}3)}=\frac{\mathrm{‐}5}{5}=\mathrm{‐}1$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9-a^2}{3-a}=\frac{(3+a)(3-a)}{3-a}=3+a$

Gebruik de gevonden formule van vraag b: $3+a=2$ $\to$ $a=\mathrm{‐}1$.

Teken door het punt $(\mathrm{3,9})$ een lijn met richtingscoëfficiënt $3$ en lees het snijpunt van deze lijn af met de grafiek.

Teken door $(\mathrm{‐}\mathrm{1,1})$ een lijn met richtingscoëfficiënt $\mathrm{1,5}$ in de grafiek en lees de eerste coördinaat van het snijpunt af: $b=\mathrm{2,5}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{b^2-{(‐1)}^2}{b+1}=\frac{b^2-1}{b+1}=\frac{(b+1)(b-1)}{b+1}=b-1$;
dus $b-1=\mathrm{1,5}$ $\to$ $b=\mathrm{2,5}$

$\Delta y=b^2-a^2$

$\Delta x=b-a$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b+a)(b-a)}{b-a}=b+a$

$4$, $a+3$ en $3a$

$12$, $3a+9$ en $9a$

$2$, $a+1$ en $2a-2$

Op $[\mathrm{1,3}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12-2}{3-1}=\frac{10}{2}=5$; Op $[\mathrm{2,5}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{30-6}{5-2}=\frac{24}{3}=8$.

Op $[a\mathrm{,3}]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12-(a^2+a)}{3-a}=\frac{\mathrm{‐}{a}^2-a+12}{3-a}=\frac{(3-a)(a+4)}{3-a}=a+4$.

Op $[a,a+1]$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(a+1)}^2+(a+1)-(a^2+a)}{(a+1)-a}=\frac{2a+2}{1}=2a+2$.

Gemiddelde helling is $19$.

Gemiddelde helling is $17$ ; gemiddelde helling is $15$

$\Delta y=(8\cdot {\mathrm{1,1}}^2-{\mathrm{1,1}}^3)-(8\cdot 1^2-1^3)=\mathrm{1,349}$; $\Delta x=\mathrm{1,1}-1=\mathrm{0,1}$, dus
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{1,349}}{\mathrm{0,1}}=\mathrm{13,49}$
$\Delta y=(8\cdot {\mathrm{1,01}}^2-{\mathrm{1,01}}^3)-(8\cdot 1^2-1^3)=\mathrm{0,130499}$; $\Delta x=\mathrm{1,01}-1=\mathrm{0,01}$, dus
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{0,130499}}{\mathrm{0,01}}=\mathrm{13,0499}$
$\Delta y=(8\cdot {\mathrm{1,001}}^2-{\mathrm{1,001}}^3)-(8\cdot 1^2-1^3)=\mathrm{0,013004999}$; $\Delta x=\mathrm{0,001}$, dus
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{0,013004999}}{\mathrm{0,001}}=\mathrm{13,004999}$

De waarde $13$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(8\cdot {\mathrm{2,01}}^2-{\mathrm{2,01}}^3)-24}{\mathrm{2,01}-2}=\frac{\mathrm{0,200199}}{\mathrm{0,01}}=\mathrm{20,0199}$
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(8\cdot {\mathrm{4,01}}^2-{\mathrm{4,01}}^3)-64}{\mathrm{4,01}-4}=\frac{\mathrm{0,159599}}{\mathrm{0,01}}=\mathrm{15,9599}$
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(8\cdot {\mathrm{6,01}}^2-{\mathrm{6,01}}^3)-72}{\mathrm{6,01}-6}=\frac{\mathrm{‐}\mathrm{0,121000999}}{\mathrm{0,01}}=\mathrm{‐}\mathrm{12,1000999}$

-

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\mathrm{2,01}}^2-2^2}{\mathrm{2,01}-2}=\frac{\mathrm{0,0401}}{\mathrm{0,01}}\approx 4$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\mathrm{0,01}}^2-0^2}{\mathrm{0,01}-0}=\frac{\mathrm{0,0001}}{\mathrm{0,01}}\approx 0$; $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\mathrm{1,01}}^2-1^2}{\mathrm{1,01}-1}=\frac{\mathrm{0,0201}}{\mathrm{0,01}}\approx 2$; $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\mathrm{3,01}}^2-3^2}{\mathrm{3,01}-3}=\frac{\mathrm{0,0601}}{\mathrm{0,01}}\approx 6$

Ja.

Lijn 3.

$\mathrm{0,6}$

Teken met je geodriehoek eerst een lijn met de juiste helling en ga dan met je geodriehoek schuiven tot je de grafiek raakt. Zie figuur.

$x^2$ is, voor voor elke waarde van $x$, altijd $0$ of groter, dus is $\sqrt{x^2}$ ook altijd $0$ of groter. Als $x=0$, dan is ook $y=0$. Dus de grafiek heeft een minimum in het punt $(\mathrm{0,0})$.

Het zijn twee (halve) rechte lijnen die in het punt $(\mathrm{0,0})$ bij elkaar komen. Vanwege de knik tussen de twee lijnen is er geen helling in het punt $(\mathrm{0,0})$.

Neem $\Delta x=\mathrm{0,001}$:
$x=0$ geeft $y=0$
en $x=\mathrm{0,001}$ geeft $y=\mathrm{0,000000001}={10}^{\mathrm{‐}9}$
$\to$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{0,000000001}}{\mathrm{0,001}}={10}^{\mathrm{‐}6}\approx 0$.
Grafische rekenmachine, optie dy/dx geeft ook helling $=0$.

Voor negatieve waarden van $x$ is $y=x^3$ negatief en voor positieve waarden van $x$ is $y=x^3$ positief, dus links van $(\mathrm{0,0})$ ligt de grafiek onder de $x$-as en rechts van $(\mathrm{0,0})$ boven de $x$-as. Dus de grafiek heeft in het punt $(\mathrm{0,0})$ wel helling nul, maar toch geen minimum of maximum.

$0$ ; $40$ ; $80$ ; $120$ ; $160$

Per honderd eenheden komt er $120$ euro bij, dus per tien eenheden komt er $12$ euro bij. De kosten bij $310$ eenheden zijn dan $220+12=232$ euro.

De helling is ongeveer $80$. Per honderd eenheden komt er $80$ euro bij, dus per vijfentwintig eenheden komt er $20$ euro bij. De kosten bij $225$ eenheden zijn dan (ongeveer) $116+20=136$ euro.

De helling is ongeveer $160$. Per honderd eenheden gaat er $160$ euro af, dus per vijftien eenheden gaat er $24$ euro af. De kosten bij $385$ eenheden zijn dan (ongeveer) $380-24=356$ euro.