Hoofdstukken > Veranderingen en verbanden 1

Globale grafieken

Jan overlegt telefonisch met zijn vriendin Saskia over het huiswerk economie.
Jan: “Het aandeel "Fried Air" is in april constant gestegen, maar het verloor in de eerste week van mei vrijwel de hele winst van april. In de tweede en derde week van mei bleef het aandeel stabiel. In de laatste week van mei daalde het aandeel steeds sterker en eind mei was het bijna niets meer waard.”

Om het verhaal van Jan te kunnen volgen, schetst Saskia snel een globale grafiek: dat is een grafiek waarin je in een oogopslag het verloop kunt zien, zonder dat je de precieze waarden kent. Op de verticale as (en vaak ook op de horizontale as) staan meestal geen getallen. Het gaat niet om de details, maar alleen over het globale verloop van de grafiek.
Zie figuur.

Teken een globale grafiek bij elk van de volgende situaties.

De werkgelegenheid klimt langzaam uit het dal.
De groei van de Duitse economie neemt af.
De ijskappen van Groenland en Antarctica smelten in steeds hoger tempo.
De snelste stijging van het Rijnwater is voorbij.

We onderscheiden zes manieren waarop een grafiek zich kan ontwikkelen:

$•$ Constante stijging	$•$ Afnemende stijging	$•$ Toenemende stijging
$•$ Constante daling	$•$ Afnemende daling	$•$ Toenemende daling

Schets bij elk van deze vormen van verandering een globale grafiek.

De grafiek hiernaast staat ook op het werkblad.

Geef nauwkeurig de stukken aan met:
constante stijging, afnemende stijging, toenemende stijging, constante daling, afnemende daling en toenemende daling.

Hieronder staat een grafiek.

Je kunt uit de grafiek de toename van de kosten aflezen als $x$ toeneemt van $0$ tot $1$ , van $1$ tot $2$ , van $2$ tot $3$ , enzovoort.
Let op: een afname is ook een toename, maar een negatieve toename.

Lees de opeenvolgende toenames zo goed mogelijk af en zet ze in een tabel.

Om toenames duidelijk in beeld te krijgen, kun je een toenamediagram maken. Als $x$ toeneemt van $0$ tot $1$ , neemt $y$ toe met $65$ . Die toename geef je aan met een verticale streep (of knopspeld) bij $x = 1$ . Hieronder is een begin gemaakt met het maken van het toenamediagram. Deze figuur staat ook op het werkblad.

Maak het toenamediagram op het werkblad af.

Leg uit hoe je in dit (of elk ander) toenamediagram afnemende stijging kunt herkennen.

Leg uit hoe je in dit toenamediagram afnemende daling kunt herkennen.

Dezelfde vraag voor toenemende daling en toenemende stijging.

Hiernaast staan de globale grafieken van het temperatuurverloop in vijf steden gedurende een jaar. Horizontaal is het kalenderjaar uitgezet, verticaal de gemiddelde maandtemperatuur.

Van welke van de vijf grafieken weet je zeker dat ze bij een stad horen die op het noordelijk halfrond ligt?

Welke grafiek hoort bij de stad die het dichtst bij de evenaar ligt?

De vijf steden zijn: Amsterdam, Sydney, Paramaribo, Pretoria en Moskou.

Welke grafiek hoort bij welke stad?

Toenamediagrammen

Na een aanvaring zinkt een grote olietanker op $20$ km van de kust. Er dreigt een grote milieuramp want het schip verliest een enorme hoeveelheid olie. Het lukt niet om het gat in het schip te dichten, dus vormt de olie een steeds groter wordende (ronde) vlek. De grootte van de olievlek wordt door deskundigen nauwlettend in de gaten gehouden. De resultaten daarvan zie je in de grafiek.

Hoe noem je het type groei van de straal van de olievlek? Zie opgave 44 voor de zes typen.

Het is moeilijk aan de hand van deze grafiek te voorspellen hoe groot de olievlek is na $10$ dagen.
Om enig inzicht te krijgen in de omvang van de olievlek, gaan we kijken naar de groei van de straal van de vlek per dag.

Maak een tabel van de toename van de straal per dag, zoals hieronder:

dag	eerste	tweede	derde	vierde	vijfde
toename straal (in km)		$4$

De groei van de straal van de vlek kunnen we aangeven in een toenamediagram zoals hieronder.

Bij “ $2$ ” op de horizontale as zetten we hoeveel km de straal is toegenomen gedurende de tweede dag. Dat is door de stip aangegeven.

Maak het toenamediagram op het werkblad af.

Het toenamediagram helpt ons ook niet veel bij het voorspellen van de grootte van de olievlek na $10$ dagen. Misschien worden we wat wijzer als we in plaats van naar de straal van de olievlek naar de oppervlakte van de olievlek gaan kijken. We gaan er vanuit dat de vlek cirkelvormig is.

(hint)

De oppervlakte van een cirkel is $π \cdot r^{2}$ , waarbij $r$ de straal van de cirkel is.

Neem de tabel over en vul de derde en vierde rij in.

dag	eerste	tweede	derde	vierde	vijfde
straal (in km)	$10,00$	$14,14$	$17,32$	$20,00$	$22,36$
opp. (in km²)
toename opp. (in km²)

Hoe ziet het toenamediagram van de oppervlakte van de olievlek eruit?

Wat zal de oppervlakte van de olievlek zijn na $10$ dagen?

Hoe groot zal de straal van de olievlek dus zijn na $10$ dagen?

Vind je het logisch dat de oppervlakte van de olievlek (min of meer) constant toeneemt?

Gegeven is de formule $y = x^{2}$ .

Vul de volgende tabel verder in:

Teken het bijbehorende toenamediagram.

Wat valt je op aan dit toenamediagram?

Gegeven is de formule $y = 3 x - 7$ .

Vul de volgende tabel verder in:

Teken het bijbehorende toenamediagram.

Wat valt je op aan dit toenamediagram?

Gegeven is de formule $y = 4 - x^{2}$ .

Vul de volgende tabel verder in:

Teken het bijbehorende toenamediagram.

Wat valt je op aan dit toenamediagram?

Opmerking:

In plaats van telkens ‘toename van $y$ ’ te schrijven, wordt ook hier vaak de notatie $Δ y$ gebruikt. Evenzo wordt met $Δ x$ bedoeld 'toename van $x$ '.

Hieronder staat het toenamediagram van een of andere grafiek. De grafiek begint in het punt $(0,2)$ .

Maak een schets van de bijbehorende grafiek.

Als je het goed hebt gedaan, dan heeft jouw grafiek een hoogste punt en een laagste punt. Zo’n hoogste punt noemen we een maximum en zo’n laagste punt heet een minimum.

Bij welke waarde van $x$ heeft de grafiek een maximum?

En bij welke waarde van $x$ heeft de grafiek een minimum?

Maak bij de onderstaande grafiek een toenamediagram met $Δ x = \frac{1}{2}$ .

In de grafiek zie je dat de functie maximaal is als $x = 2$ . Dit kun je ook aflezen uit het toenamediagram.

Hoe kun je in het algemeen uit een toenamediagram aflezen bij welke $x$ de functie ongeveer maximaal is?

Waarom kun je niet precies uit een toenamediagram aflezen bij welke $x$ het maximum van de functie ligt?

De grafiek heeft ook een minimum. Hoe kun je dit terugzien in het toenamediagram?

De formule $K = x^{3} - 10 x^{2} + 50 x$ geeft de kosten $K$ (in euro's) als er $x$ stuks van een product gemaakt worden. Het verloop van de grafiek zie je hieronder.

Bekijk de grafiek goed en kies telkens het juiste van de twee cursieve woorden.
Er is eerst sprake van toenemende/afnemende stijging en vervolgens van toenemende/afnemende stijging.

Bereken met de formule hoeveel de kosten toenemen, als de productie toeneemt van $0$ naar $1$ stuks, en van $1$ naar $2$ stuks. Controleer je antwoorden in de grafiek.

Bereken ook de overige toenames. Schrijf je antwoorden in een tabel:

Maak ook een toenamediagram bij deze grafiek.

Getekend is het toenamediagram van een variabele $y$ .

Verder is op tijdstip $t = 4$ gegeven dat $y = 5$ .

Hoe groot is $y$ als $t = 7$ ?

Bepaal ook hoe groot $y$ is als $t = 0$ .

Schets een grafiek die past bij het toenamediagram.

In een assenstelsel is een grafiek getekend (met $x$ op de horizontale as en $y$ op de verticale as). Van de grafiek zijn twee punten gegeven: $(1,1)$ en $(4,7)$ .

Bereken $\frac{Δ y}{Δ x}$ op het $x$ -interval $1 \leq x \leq 4$ , dat wil zeggen dat het beginpunt bij $x = 1$ en het eindpunt bij $x = 4$ ligt.

Op grond hiervan zijn er nog allerlei grafieken mogelijk.

Leg uit dat van onderstaande toenamediagrammen de linker drie mogelijk zijn bij de situatie die hierboven beschreven is.

Schets bij elk van de drie linker toenamediagrammen een mogelijke grafiek.

Bij het vierde toenamediagram ontbreekt het staafje bij $x = 3$ .

Bereken de lengte van dit ontbrekende staafje.

Opmerking:

Wil je nog wat extra oefenen met toenamendiagrammen, dan kan dat op een speelse manier met deze mini-loco: Mini-loco: toenamendiagrammen .