Hoofdstukken > Veranderingen en verbanden 1

Evenredigheden

Over (recht) evenredige en omgekeerd evenredige verbanden heb je al wat geleerd in vwo-4. Dat gaan we eerst herhalen.

Om een pannenkoek van $100$ gram te maken moet je bloem en melk gebruiken in de gewichtsverhouding $3 : 5$ .
Anne gaat zes van deze pannenkoeken maken.

Hoeveel bloem en hoeveel melk heeft ze daarvoor nodig?

Bekijk het nu algemener en noem het aantal pannenkoeken dat Anne gaat maken $n$ .

Druk de hoeveelheid bloem en de hoeveelheid melk die Anne voor $n$ pannenkoeken nodig heeft uit in $n$ .

Maak een tabel en teken de grafiek.

We noemen de hoeveelheid bloem $b$ en de hoeveelheid melk $m$ .

Bereken $m$ als $b = 360$ .
Bereken ook $b$ als $m = 360$ .

Geef een formule voor $m$ als functie van $b$ .

Hiernaast zie je alle euromunten.
De munten verschillen onderling, bijvoorbeeld de grootte van de munt. Alle munten zijn cirkelvormig. Hoe groter de munt, hoe groter de diameter, hoe groter de omtrek en hoe groter de oppervlakte.
Zie de tabel hieronder.

Je hebt in de onderbouw al geleerd: Omtrek cirkel $= 2 \cdot π \cdot r$ , waarbij $r$ de straal is (in mm) en $π$ de constante pi, $π \approx 3,14159...$ .

Je kunt ook een formule maken voor de omtrek $P$ , naar het Engelse perimeter, als functie van de diameter $d$ (in diameter).

Wat is die formule?

Neem de tabel over en vul de lege plekken in. Rond de waarden af op 2 decimalen.

Hoeveel keer zo groot is de diameter van de twee euromunt ten opzichte van de munt van 2 eurocent?
En hoeveel keer zo groot is de omtrek?
En hoe zit het met de diameters en de omtrekken van de één euromunt ten opzichte van de munt van 5 eurocent?

We vergelijken twee munten. Omdat de omtrek van beide munten $π$ keer de diameter is, moet de verhouding tussen de omtrekken gelijk zijn aan de verhouding tussen de diameters:
$P_{1} = π \cdot d_{1}$ en $P_{2} = π \cdot d_{2}$ , dan $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{π \cdot d_{1}}{π \cdot d_{2}} = \frac{d_{1}}{d_{2}}$
Toch heb je zojuist (zeer waarschijnlijk) niet precies dezelfde verhouding gevonden.

Leg uit hoe dat kan.

De variabele $y$ is evenredig met de variabele $x$ betekent:

Als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot, voor elk getal $k$
De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong $O (0,0)$
De bijbehorende formule is van de vorm $y = c \cdot x$ ;
De constante $c$ heet de evenredigheidsconstante.
(Maar eigenlijk is het gewoon de richtingscoëfficiënt van de lijn.)

$y$ is evenredig met $x$ noteren we met: $y \sim x$ .
In plaats van evenredig wordt ook de term recht evenredig gebruikt.

Een oud probleem over het getal $π$ vind je terug op de website van de wiskundemeisjes (www.wiskundemeisjes.nl).

Er zit een touw strak om de aarde, zoals een ring om een vinger. Het is een heel lang touw van meer dan 40.000 kilometer. Nu knip je het touw door en doe je er één meter extra touw tussen. Dan til je het touw overal een beetje op, zodat het op elke plek even ver van het aardoppervlak is.
Hoeveel ruimte is er nu tussen het touw en de aarde? Ongeveer zoveel als een elektron? Een bacterie? Een krant? Een kat? Een olifant?

(hint)

Maak een situatieschets en noem de straal van de aarde $r$ en de afstand tussen het opgetilde touw en aarde $x$ .

Een eurocent met een diameter van $16,25$ mm is de kleinste euromunt. In plaats van de aarde bij het touwprobleem nemen we deze kleinste euromunt: we nemen een passend touwtje om de euromunt maken we een meter groter en leggen die dan - met overal even grote afstand - om de euromunt heen.

Hoeveel ruimte is er nu overal tussen het touwtje en de munt?

We kijken nu naar het volume (of inhoud) van de euromunten.
Een munt heeft de vorm van een cilinder van zeer kleine hoogte. De inhoud van een cilinder bereken je, net als bij een balk, door de oppervlakte $G$ van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte $h$ .

De eerste drie euromunten zijn van hetzelfde materiaal gemaakt en hebben allemaal een dikte van $1,67$ mm.
Noem het volume van een euromunt $V$ .

Geef voor de eerste drie euromunten een formule voor het evenredige verband tussen $V$ en $G$ . Wat is de evenredigheidsconstante?

De oppervlakte van een cirkel kun je op de volgende manieren berekenen:

De oppervlakte van een cirkel is pi maal de straal in het kwadraat;
De oppervlakte van een cirkel is pi maal de halve diameter in het kwadraat.

De straal noemen we $r$ en de diameter $d$ .

Schrijf bovenstaande zinnen op in formulevorm. Laat $π$ in de formules staan en schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk (zonder haakjes).

Bereken de getallen op de plaats van de lege plekken in onderstaande tabel. Rond de getallen af op 2 decimalen.

Laat zien dat er bij de eerste drie euromunten een evenredig verband is tussen het gewicht en het volume. Bereken de evenredigheidsconstante afgerond op 4 decimalen.

De munten van $10$ , $20$ en $50$ cent zijn van hetzelfde materiaal gemaakt, maar van ander materiaal dan de eerste drie euromunten. In de tabel hierboven is het volume en het gewicht van deze munten weergegeven.

Onderzoek of er bij deze drie munten ook sprake is van een evenredig verband tussen gewicht en volume. Zo ja: bereken de evenredigheidsconstante afgerond op 4 decimalen. Zo nee, geef een verklaring.

De ribbe van een kubus noemen we $r$ .
De totale oppervlakte (van de zes grensvlakken) van de kubus noemen we $O$ en de inhoud $V$ .

Druk $V$ en $O$ uit in $r$ .

Laat zien dat $O^{3} = 216 \cdot V^{2}$

(hint)

Druk $216 \cdot V^{2}$ en $O^{3}$ beide in $r$ . Kijk zo nodig terug in het hoofstuk 'exponenten en logaritmen'.

Neem aan: $V = 5$ .

Bereken $O$ in drie decimalen nauwkeurig.

Laat zien dat $O = 6 \cdot V^{\frac{2}{3}}$ ( $= 6 \sqrt[3]{V^{2}}$ ).

Er zijn ook evenredigheden zonder dat er sprake is van een lineair verband tussen de grootheden.

In opgave 37 zagen we dat $O^{3} = 216 \cdot V^{2}$ .
We zeggen dan:
$O^{3}$ is evenredig met $V^{2}$ , met evenredigheidsconstante $216$ .
Ofwel: $O^{3} ~ V^{2}$ .
Maar ook zagen we: $O = 6 \cdot V^{\frac{2}{3}}$ .
We zeggen dan:
$O$ is evenredig met $V^{\frac{2}{3}}$ , met evenredigheidsconstante $6$ .
Ofwel: $O ~ V^{\frac{2}{3}}$ .

Bij dieren bestaat er een soortgelijk verband (zie opgave 37) tussen de oppervlakte en het volume: We kijken dan naar de huidoppervlakte $H$ (in dm²) en het lichaamsgewicht $G$ (in kg).
Er geldt: $H = c \cdot \sqrt[3]{G^{2}}$ .
Hierbij hangt de evenredigheidsconstante $c$ af van de diersoort. De constante $c$ is naar de Duitse bioloog Meeh, de Meeh-coëfficiënt genoemd, omdat hij hierover voor het eerst publiceerde in de jaren 1879 en 1894. Omdat men in die tijd nog niet over geavanceerde meetmethoden beschikte, verrichtte Meeh bij 16 mensen huidoppervlakte-metingen door de huid stukje voor stukje met millimeterpapier te bedekken. Zo vond hij voor de mens: $c = 11,2$ .

Bereken jouw huidoppervlakte met de formule van Meeh.

Laat zien dat uit $H = 11,2 \cdot \sqrt[3]{G^{2}}$ volgt:
$G^{2} = 0,0007 H^{3}$ .

Druk $G$ uit in $H$ . Schrijf het resultaat in de vorm:
$G = c \cdot \sqrt{H^{3}}$ , met $c$ in drie decimalen nauwkeurig.

Er draaien negen planeten om de zon (Pluto tellen wij als 'dwergplaneet' gewoon mee). Onze aarde doet 1 jaar over één omloop. Mercurius en Venus doen korter over een rondje, de andere planeten doen er langer over. Algemeen: hoe verder een planeet van de zon staat, des te langer is zijn omlooptijd. Aan de astronoom Johannes Kepler (1571-1630) danken we de volgende formule:
$T = 0,2 \cdot R^{1 \frac{1}{2}}$ . Hierin is $R$ de afstand tot de zon in miljoenen km en is $T$ de omlooptijd in dagen.

De aarde is (gemiddeld) $149,5$ miljoen km van de zon verwijderd.

Bereken hiermee de omlooptijd. Klopt het redelijk?

Saturnus is veel verder van de zon verwijderd dan de aarde:
$1427$ miljoen km.

Bereken de omlooptijd van Saturnus in jaren.

$T^{2}$ is evenredig met $R^{3}$ .

Hoe groot is de evenredigheidsconstante?

Omgekeerd evenredig

Uit het boek "rekenen is leuker dan (als) je denkt" van Marjolein Kool en Ed de Moor:
Neem twee velletjes van 20 bij 30 centimeter, vouw elk velletje in vieren en vorm daarvan een vierkante koker. Maar let op: de ene koker maakt u door het blaadje in de lengte te vouwen, de ander door het blad in de breedte te nemen. Plak de koker vast met wat plakband. U heeft nu twee kokertjes, allebei gevormd uit hetzelfde hoeveelheid verpakkingsmateriaal.
Zie de figuur.

Welk kokertje heeft de grootste inhoud? Maak een keuze zonder nog te gaan rekenen.

Bereken van beide koker de inhouden. Was je gevoel juist?

Voor beide kokers is evenveel verpakkingsmateriaal gebruikt. De inhouden verschillen echter vrij veel.

Hoe groot is het verschil tussen de inhouden?
Hoeveel keer zo groot is de inhoud van de grootste ten opzichte van de kleinste? Had je dat verwacht als je naar de figuur kijkt?

Als we de kokers dicht maken, met een bodem en een deksel, dan is de hoeveelheid verpakkingsmateriaal niet helemaal gelijk.

Hoe verhouden zich dan de hoeveelheid gebruikt materiaal?

De vorm van een verpakking maakt dus wel degelijk uit: met dezelfde hoeveelheid verpakkingsmateriaal kun je verpakkingen maken met verschillende inhouden. Om hierover na te denken, is niet geheel onbelangrijk in het kader van duurzaamheid.
In de volgende opgaven draaien we het om: bij een vaste inhoud, willen we de afmetingen van de verpakking berekenen waarbij er zo weinig mogelijk verpakkingsmateriaal gebruikt wordt.

We gaan uit van een (balkvormig) doosje met een inhoud van $400$ cm³.
Omdat de inhoud gelijk is aan hoogte maal oppervlakte geldt:
$400 = h \cdot G$ .

Wat gebeurt er met de vorm van het doosje als de hoogte afneemt? Wat gebeurt er met de vorm als de grootte van het grondvlak afneemt?

Neem de tabel over en vul de tweede rij van de tabel in.

Wat gebeurt er met de oppervlakte van de bodem als de hoogte wordt gehalveerd?

De formule $400 = h \cdot G$ schijven we in de vorm $h = \frac{400}{G}$ .

Teken (met behulp van je GR) de grafiek van $h$ als functie van $G$ (dus $h$ verticaal en $G$ horizontaal).
Welke naam heeft deze grafiek?

Als je de oppervlakte van de bodem onbeperkt laat toenemen, snijdt de grafiek dan de horizontale as?

Als je de hoogte van het doosje onbeperkt laat toenemen, snijdt de grafiek dan de verticale as?

De variabele $y$ is omgekeerd evenredig met de variabele $x$ betekent:

Als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $k$ keer zo klein, voor elk getal $k$ (en andersom)
De grafiek is een hyperbool, of een deel van een hyperbool
De bijbehorende formule is van de vorm $y = \frac{c}{x}$
De constante $c$ heet de evenredigheidsconstante.
De formule kun je herschrijven tot $x \cdot y = c$
$y ~ \frac{1}{x}$ , want je kunt schrijven $y = c \cdot \frac{1}{x}$
(in woorden: $y$ is evenredig met 'het omgekeerde van $x$ ')

We bekijken nu balkvormige verpakkingen waarvan de bodem een vierkant is en de inhoud nog steeds $400$ cm³.
Er geldt $h = \frac{400}{G}$ .
Dus: de hoogte en de oppervlakte van de bodem van het doosje zijn omgekeerd evenredig.

Neem de tabel over en vul het verder in.

Zie je in de tabel meer omgekeerde evenredigheden? Zo ja, geef ook een formule.

We noemen de breedte van de vierkante bodem van het doosje $x$ . Dan geldt voor de hoogte van het doosje:
$h = \frac{400}{x^{2}}$ .

Leg dat uit.

De vier opstaande rechthoekige grensvlakken van het doosje zijn alle vier even groot. Voor de oppervlakte $A$ van een opstaande rechthoek van het doosje geldt:
$A = x \cdot \frac{400}{x^{2}}$ .

Laat zien dat de oppervlakte $A$ omgekeerd evenredig is met de breedte van de bodem $x$ .

De totale oppervlakte $T$ van het doosje kun je berekenen met de formule:
$T = 2 x^{2} + \frac{1600}{x}$ .

Leg dat uit.

Uit de tabel blijkt dat de totale oppervlakte het kleinst is voor $x$ in de buurt van $7$ .

Zoek met je GR uit voor welke waarde van $x$ dit het geval is. Rond je antwoord af op 2 decimalen.
Hoe hoog is het doosje dan? En wat valt je op?

(hint)

Teken de grafiek van $T$ en gebruik de optie 'minimum' van je GR

Evenredigheden herkennen in een tabel

Bij een evenredig verband geldt $y = c \cdot x$ voor een of andere constante $c$ , dus $\frac{y}{x} = c$ .
Dit kun je goed gebruiken om in een tabel te zien of er sprake is van een evenredig verband: je voegt een rij toe waarbij je telkens de waarde van $y$ deelt door de bijbehorende waarde van $x$ en kijkt of er telkens (ongeveer) hetzelfde uitkomt.

Voorbeeld:

Een bedrijf produceert magnetische stickers, die gebruikt worden bij planborden. De prijs hangt af van de oppervlakte.

Je ziet nu direct dat de prijs evenredig is met de oppervlakte, want de quotiënten $\frac{p}{A}$ zijn telkens gelijk.
Je hebt ook meteen de formule en de evenredigheidsconstante gevonden: $\frac{p}{A} = 0,006$ , ofwel $p = 0,006 A$ .

Bij een omgekeerd evenredig verband geldt iets soortgelijks:
$y = \frac{c}{x}$ voor een of andere constante $c$ , dus $x \cdot y = c$ .
Om te onderzoeken of er in een tabel sprake is van een omgekeerd evenredig verband, voeg je een rij toe waarbij je telkens het product neemt van $x$ en $y$ en kijkt of er telkens (ongeveer) hetzelfde uitkomt.

Voorbeeld:

Lampen verbruiken energie, die afgerekend wordt per killowattuur (kWh). Bij spaarlampen met verschillende vermogen (wattage) is onderzocht hoe lang ze kunnen branden op één kWh.

Je ziet nu direct dat de tijdsduur bij benadering omgekeerd evenredig is met het vermogen, want de producten $P \cdot t$ zijn telkens ongeveer gelijk aan $1000$ .
Je hebt ook meteen de formule en de evenredigheidsconstante gevonden: $P \cdot t = 1000$ , ofwel $t = \frac{1000}{P}$ .

Voorbeeld:

Maar soms is in de tabel niet het verband tussen $x$ en $y$ weergegeven, zoals in de tabel hieronder.

Je ziet dat $y^{2}$ omgekeerd evenredig is met $x$ .
Er geldt $y^{2} = \frac{16}{x}$ dus $y = \sqrt{\frac{16}{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$ of $y = 4 \cdot x^{‐ 0,5}$ .

Hieronder staan een aantal tabellen.
Onderzoek telkens of er sprake is van een evenredig verband, omgekeerd evenredig verband, lineair verband of exponentieel verband tussen de twee rijen in de tabel.
Geef telkens een formule voor $y$ als functie van $x$ .