1

Een meer bevat $10.000$ m³ water waarin $10$ % verontreiniging is opgelost. Dus dat meer heeft $1000$ m³ verontreiniging en $9000$ m³ schoon water.
Om het water te zuiveren wordt elke week aan de ene kant $1000$ m³ water uit het meer gepompt en aan de andere kant wordt er $1000$ m³ zuiver water ingepompt. Er ontstaat meteen een goed mengsel.

a

Leg uit dat de hoeveelheid verontreiniging elke week $10$ % minder is dan de week ervoor.

Het aantal m³ verontreiniging $A$ neemt per dag exponentieel af.

b

Laat zien dat dit met groeifactor $0,985$ (in drie decimalen nauwkeurig) gebeurt.

c

Geef een formule voor $A$ uitgedrukt in $t$ , hierbij is $t$ het aantal dagen na het begin van de schoonmaak.

Na een aantal dagen is de hoeveelheid verontreiniging afgenomen tot $100$ m³.

d

Bereken dit aantal dagen, rond af op een geheel aantal.

e

Hoeveel duizenden m³ water is er dan ongeveer in het meer gepompt? Rond je antwoord af op een geheel aantal.

2

In een kweek wordt de hoeveelheid bacteriën bijgehouden.
$A (t)$ is de hoeveelheid (in microgram) na $t$ dagen.
$1$ microgram is $10^{‐ 6}$ gram.

$t$	$0$	$1$	$3$	$6$
$A (t)$	$1500$	$2400$	$6200$	$25200$

a

Ga na dat er sprake is van exponentiele groei.
Bepaal de groeifactor per dag.

b

Wat is de procentuele toename per dag?

c

Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per uur in één decimaal.

Een andere bacteriesoort groeit exponentieel in $3$ dagen van $200$ tot $600$ mg.

d

Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per dag in één decimaal.

e

Wat is de verdubbelingstijd van deze soort?
Geef je antwoord langs algebraïsche weg in uren, in één decimaal nauwkeurig.

3

figuur 1

Een geluidsbron (boormachine, piano) hoor je doordat die geluidsbron het trommelvlies in je oor in trilling brengt. Geluid is meestal samengesteld uit tonen van verschillende hoogte. De hoogte van een zuivere toon wordt bepaald door zijn trillingsgetal: hoe hoger het trillingsgetal, uitgedrukt in Hertz (Hz), hoe hoger de toon. Het trillingsgetal is het aantal trillingen per seconde. Het trillingsgetal van een aangeslagen stemvork is $440$ Hz.
ln de muziek werken we met octaven: het trillingsgetal van de hoogste toon in een octaaf is twee keer zo groot als het trillingsgetal van de laagste toon. Op een piano zitten op een octaaf dertien tonen (acht witte en vijf zwarte toetsen). Een moderne piano is zo gestemd dat de verhouding van de trillingsgetallen van een toon en de volgende toon steeds hetzelfde is. Zo'n piano heet gelijkzwevend gestemd (Bach wohltemperiertes Klavier). De zo ontstane toonladder heet chromatische toonladder.

a

figuur 2

Bereken het verhoudingsgetal dat in bovenstaande tekst genoemd wordt exact en in twee decimalen.

Om verschillende instrumenten in een orkest goed samen te laten spelen moet de absolute hoogte van de tonen vaststaan. Het trillingsgetal van de a (op de notenbalk met een G-sleutel tussen de tweede en derde lijn, zie figuur 2) is $440$ Hz.

b

Bereken het trillingsgetal van de centrale c (aangegeven in figuur 1.)

4

Op grote hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau $1000$ hectopascal. De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte. Op $5$ km hoogte is de luchtdruk ongeveer $500$ hectopascal.

a

Hoe groot is de luchtdruk op $1$ km hoogte?

De luchtdruk op hoogte $h$ km is $L (h)$ hectopascal.

b

Geef een formule voor $L (h)$ uitgedrukt in $h$ .

5

figuur 1

Hieronder staan in één figuur de overlevingsgrafieken van het fruitvliegje, de mens, de zoetwaterpoliep (hydra) en de oester. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt; bij elk van de vier soorten is begonnen met $1000$ exemplaren. Op de horizontale as is een lineaire schaal gebruikt; daarop is de relatieve leeftijd uitgezet (de maximale leeftijd van elke soort is gesteld op $1$ ).

figuur 1

De mens wordt hoogstens $100$ jaar oud.

a

Waar op de horizontale as staat jouw huidige leeftijd?

b

Bij welk van de vier soorten is de sterfte onder de jeugd het grootst?

De grafiek van de mens is maar een gemiddelde. Je zou een aparte grafiek kunnen maken voor ontwikkelingslanden en rijke landen.

c

Hoe zouden die twee grafieken liggen ten opzichte van dit gemiddelde?

d

Welk getal moet er op de verticale as halverwege $1$ en $10$ staan? En halverwege $100$ en $1000$ ?

De zoetwaterpoliep kan hoogstens $60$ dagen oud worden. We beginnen weer met $1000$ exemplaren.
Het aantal dat $x$ dagen of langer leeft, noemen we $H (x)$ .

e

Hoe groot is $H (20)$ ? En $H (30)$ ?

De grafiek van $H$ is een rechte lijn, dankzij de logaritmische schaal op de verticale as. $H$ is dan een exponentiële functie van $x$ .

f

Wat is de groeifactor per $20$ dagen? En per dag (in twee decimalen)?
Stel een formule op voor $H$ als functie van $x$ .

6

In het onderstaande artikel uit de Volkskrant is sprake van een enorme groei van de nijlbaars in het Victoriameer. In $25$ jaar tijd is het aantal nijlbaarzen toegenomen van $400$ in 1960 tot $400$ miljoen in 1985. Veronderstel dat er geen maatregelen tegen de nijlbaars zijn getroffen.
Dan zal de groei exponentieel zijn.

a

Bereken hoeveel nijlbaarzen er waren halverwege de periode 1960 - 1985, dus na $12,5$ jaar.

b

Bereken de groeifactor per jaar in drie decimalen en stel een formule op voor het aantal nijlbaarzen $N$ , $j$ jaar na 1960.

c

Met hoeveel procent neemt het aantal nijlbaarzen per jaar toe? En met hoeveel procent per dag? Let op: dagpercentage $\neq \frac{1}{365} \cdot$ jaarpercentage.

d

Bereken langs algebraïsche weg in welk jaar er $500.000$ nijlbaarzen waren.

7

Oplopende rente
Bank A adverteert met de volgende aanbieding:
1e jaar $3,00$ % rente
2e jaar $3,25$ % rente
3e jaar $3,40$ % rente
4e jaar $3,55$ % rente
5e jaar $5,00$ % rente
Wie spaargeld inlegt bij bank A voor een periode van $5$ jaar, krijgt dus het eerste jaar $3,00$ % rente, het tweede jaar $3,25$ % en het derde jaar $3,40$ % en zo verder.
Neem aan dat bank B een vast rentepercentage per jaar aanbiedt voor een periode van $5$ jaar.

Iemand wil een bedrag inleggen bij een bank voor een periode van $5$ jaar.

Onderzoek bij welk vast rentepercentage per jaar van bank B hij bij beide banken hetzelfde eindbedrag in handen krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

8

Het warmteverlies van een dier hangt af van zijn huidoppervlakte: via een grotere huid gaat meer warmte verloren dan via een kleinere huid. De warmteproductie hangt af van zijn volume: een groot dier produceert meer warmte dan een klein dier. Biologen vergelijken daarom de huidoppervlakte $H$ (in m²) met het lichaamsgewicht $G$ (in kg). Het verband tussen $H$ en $G$ wordt gegeven door de formule
$H = c \cdot G^{\frac{2}{3}}$ .
De constante $c$ hangt af van de vorm van het dier en is dus per diersoort verschillend. Een paar voorbeelden: $c_{koe} = 0,09$ , $c_{aap} = 0,12$ , $c_{schaap} = 0,08$ en $c_{muis} = 0,09$ .

Voor een koe en een muis geldt dus $H = 0,09 \cdot G^{\frac{2}{3}}$ . Een koe weegt gemiddeld $500$ kg, een muis $0,05$ kg.

a

Bereken de huidoppervlakte van een koe en van een muis.

b

Hoe verhouden zich de lichaamsgewichten van een koe en een muis? En hoe de huidoppervlakten?

Stel dat van een diersoort twee formaten voorkomen. De formaten hebben dezelfde vorm, dus ook dezelfde constante $c$ . Het grote formaat is $8$ keer zo zwaar als het kleine formaat.

c

Hoe verhouden zich dan de huidoppervlakten van de twee formaten?

Een schapenvacht heeft een oppervlakte van $1,4$ m².

d

Bereken een schatting van het gewicht van het schaap.

Je kunt een formule maken waarme je direct van de oppervlakte van de schapenvacht kunt uitrekenen wat de (vermoedelijke) massa van het schaap was.

e

Geef zo'n formule voor $G$ uitgedrukt in $H$ .

Grotere dieren kunnen gemakkelijker extreme kou verdragen dan kleine dieren.

f

Kun je dat gezien de formule verklaren?

9

Een groot kerkorgel telt soms wel enkele duizenden orgelpijpen. De pijpen zijn gegroepeerd in registers. Zo’n register is een rij van ruim $50$ pijpen van verschillende lengte. Een deel van een register is hiernaast afgebeeld.
Een register onderscheidt zich van andere registers door vorm en materiaal van de pijpen. Elk register klinkt daardoor anders. Bij het bouwen van een orgel moet voor elke pijp de juiste lengte bepaald worden. De berekening van de lengtes gaat per register en kan als volgt beschreven worden.
Nummer de pijpen van klein naar groot: $0$ , $1$ , $2$ , …
Als de kleinste pijp lengte $L_{0}$ heeft, dan moet voor de lengte $L$ van de pijp met nummer $n$ gelden: $L = L_{0} \cdot 2^{\frac{n}{12}}$ ( $L$ en $L_{0}$ in mm).

a

Toon aan dat per register voor elke pijp (behalve de kleinste) geldt: de lengte van die pijp is ongeveer $6 %$ groter dan de lengte van zijn voorganger.

Voor het verkrijgen van de juiste klank is onder andere het verband tussen de lengte ( $L$ ) en de diameter ( $D$ ) van de pijpen van belang. Voor elk register is dat verband anders. Sommige orgelbouwers hanteerden vroeger een vuistregel die neerkwam op: per register moet voor de pijpen het quotiënt $\frac{D}{L^{0,75}}$ dezelfde uitkomst hebben.

Van een zeker register heeft de pijp met nummer $16$ een lengte van $500$ mm en een diameter van $60$ mm.

b

Bereken welke diameter de pijp met nummer $30$ uit hetzelfde register volgens de vuistregel moet hebben. Rond het antwoord af op gehele millimeters.

Onderzoekers hebben lengte en diameter van een aantal pijpen van een ander register opgemeten en de resultaten uitgezet op dubbellogaritmisch papier. Zie de figuur hiernaast.

Een van de onderzochte pijpen had een lengte van $410$ mm.

c

Welk punt uit de grafiek is deze pijp?
Lees zo nauwkeurig mogelijk de diameter van deze pijp af uit de grafiek.

Als je een rechte lijn door de punten trekt, dan gaat deze lijn door de punten $(150,15)$ en $(1500,100)$ .
Bij deze lijn hoort een formule in de vorm $D = a \cdot L^{b}$ .

d

Bereken de waarden van $a$ en $b$ , afgerond op 3 decimalen.

10

Een normale chocoladereep weegt zonder verpakking $160$ gram. Dat is het netto gewicht. De afmetingen van deze reep zijn $20 \times 4 \times 1,5$ cm.
De fabrikant maakt van dezelfde soort chocolade ook minirepen waarvan alle afmetingen de helft zijn van de normale reep.

a

Bereken het nettogewicht van zo'n minireep.

De chocoladerepen worden verpakt in zilverpapier met daaromheen nog een gekleurd papiertje. (De overlappende delen van het zilverpapier laten we buiten beschouwing.)

b

Laat met een berekening zien dat je voor de normale reep minimaal $232$ cm² zilverpapier nodig hebt.
Hoeveel cm² zilverpapier heb je minimaal nodig voor de minireep?

De fabrikant wil ook 'reuzerepen' op de markt brengen. Ze overwegen twee mogelijkheden, waarbij in beide gevallen de reuzereep een vergroting is van de oorspronkelijke reep.

een reuzereep met een gewicht van $480$ gram.
een reuzereep waarvoor je een stuk zilverpapier met een oppervlakte van $500$ cm² voor nodig hebt om het in te pakken.

c

Onderzoek met een berekening bij welke van deze twee mogelijkheden de reep het meeste chocola bevat.

11

De Amerikaanse scholiere Britney Crystal Gallivan is het als eerste gelukt om een lang stuk toiletpapier 12 keer dubbel te vouwen. Ze heeft ook een formule gevonden om de minimale lengte van een lang stuk papier van dikte $t$ te berekenen om deze $n$ keer telkens in dezelfde richting dubbel te vouwen:
$L = \frac{1}{6} π t \cdot (2^{n} + 4) (2^{n} - 1)$ . Hierbij zijn $L$ en $t$ in dezelfde lengte-eenheid, bijv. beide in mm.

Het stuk (speciaal) toiletpapier voor haar recordpoging had een lengte van (ongeveer) $1200$ meter.

a

Bereken de dikte van het toiletpaper, in mm en met twee decimalen.

b

Hoe lang moet het papier (van dezelfde dikte) zijn om het $15$ keer dubbel te vouwen? Geef je antwoord afgerond op hele kilometers.

c

Hoe vaak zou je volgens deze formule een lang vel papier met dikte $0,1$ mm van $10$ km lengte kunnen dubbelvouwen?

12

Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden.
In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is $121 °$ C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur hieronder zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus. De figuur staat ook op het werkblad.

Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op $1$ miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft. Bij de grafiek in de figuur hoort een formule van de vorm:
$N_{t} = 10^{6} \cdot 2^{‐ r \cdot t}$ . Hierin is $N_{t}$ het aantal bacteriën na $t$ minuten en is $r$ de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.

Met behulp van de figuur kun je berekenen dat de sterftefactor $r$ van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan $2,2$ .

a

Toon dat met een berekening aan.

De $D$ -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot $10$ % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de $D$ -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.

b

Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de $D$ -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze $D$ -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.

Men heeft ook van andere bacteriën de $D$ -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze $D$ -waarde gelijk aan $2,55$ minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met $1$ miljoen bacteriën.

c

Teken deze overlevingsgrafiek in de figuur op het werkblad. Licht je werkwijze toe.

13

Het debiet is de hoeveelheid water die er wordt afgevoerd per tijdseenheid, meestal per seconde, door bijvoorbeeld een rivier, afvoerbuis of goot.
We bekijken de resultaten van een Amerikaans onderzoek naar het debiet van rivieren.
Bij de metingen is de maat voet (‘foot’) gebruikt: $1$ foot (ft) is $30,48$ cm.

Hieronder zie je een grafiek met het verband tussen het debiet (Discharge) en de oppervlakte van de dwarsdoorsnede (Cross Sectional Area) gemeten bij een groot aantal rivieren.
De eenheid ‘cfs’ bij ‘Discharge’ betekent ‘kubieke voet per seconde’, ofwel ft³/s. De eenheid ‘sq. ft’ bij de oppervlakte betekent ‘vierkante voet’, ofwel ft².

a

Laat zien: $1 m^{2} \approx 10,76 {ft}^{2}$ en $1 m^{3} \approx 35,31 {ft}^{3}$

Door de meetpunten is een rechte lijn getrokken die het verband tussen het debiet en de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van een rivier aangeeft.

b

Bereken met behulp van de figuur op het werkblad zo nauwkeurig mogelijk het debiet van een rivier met een dwarsdoorsnede van $50$ m². Geef je antwoord afgerond op hele m³/s.

We noemen het debiet $D$ (in ft³/s) en de oppervlakte $A$ (in ft²). Dan geldt voor de lijn door de meetpunten:
$A = 1,0286 \cdot D^{0,8805}$
In de praktijk wil je vaak weten wat het debiet is bij een bepaalde rivier met bekende oppervlakte van de dwarsdoorsnede.

c

Schrijf de formule in de vorm $D = p \cdot A^{q}$ . Rond daarbij de waarden van $p$ en $q$ af op 4 decimalen.

14

Druk $x$ uit in $y$ . Schrijf het resultaat in de vorm $x = a \cdot y^{b}$ , met $a$ en $b$ getallen in twee decimalen nauwkeurig.
Let op: niet tussendoor afronden!

a

$y = 4 \cdot x^{2}$

b

$y = 27 \cdot x^{3}$

c

$y = 6,2 \cdot x^{1,2}$

d

$y = 0,21 \cdot x^{0,7}$

e

$3,1 \cdot y = 2,4 \cdot x^{1,25}$

f

$y^{2} = 3 \cdot x^{4}$

g

$y^{2,7} = 5 \cdot x^{0,8}$

h

$7,2 \cdot y^{1,1} = 4,8 \cdot x^{2,9}$