7.5 Logaritmen >

Hoofdstukken > Exponenten en logaritmen

Een bacteriekolonie verdubbelt elk uur. Op een gegeven moment zijn er $500$ bacteriën.
Hoe lang duurt het voordat de kolonie is uitgegroeid tot $3000$ bacteriën?
Het beantwoorden van deze vraag komt neer op het oplossen van de vergelijking $2^{t} = 6$ .
Met dit soort vragen houden we ons in deze paragraaf bezig.

Leg uit dat bovenstaande vraag inderdaad neerkomt op het oplossen van de vergelijking $2^{t} = 6$ .

Ga na dat de gezochte waarde van $t$ ligt tussen $2,5$ en $2,6$ .

Met een tabel op de GR kun je ook bepalen of $t$ ligt tussen $2,50$ en $2,51$ of tussen $2,51$ en $2,52$ ... of tussen $2,59$ en $2,60$ . Doe dat.

Dat inklemmen met behulp van een tabel op je GR is erg tijdrovend. Het kan eenvoudiger met de optie intersect.

Bepaal met intersect de waarde van $t$ afgerond op 3 decimalen.

De exacte oplossing van de vergelijking $2^{t} = 6$ noemen we ${}^{2} log (6)$
en de oplossing van $5^{t} = 10$ noemen we ${}^{5} log (10)$ .

Voorbeeld:

Hoe groot is ${}^{2} log (8)$ ?
Het is de exacte oplossing van de vergelijking $2^{x} = 8$ .
Omdat $8 = 2^{3}$ , geldt dus ${}^{2} log (8) = 3$ .
Ofwel: ${}^{2} log (8) = 3$ , want $2^{3} = 8$ .

Vul in:
${}^{2} log (32) = ...$ , want $2^{...} = 32$ .
${}^{3} log (81) = ...$ , want $3^{...} = 81$ .

Bepaal zo ook de volgende logaritmen zonder rekenmachine.

${}^{2} log (128)$	${}^{5} log (125)$	${}^{10} log (1000)$
${}^{3} log (27)$	${}^{4} log (64)$	${}^{0,5} log (0,25)$
${}^{10} log (0,1)$	${}^{4} log (\frac{1}{16})$	${}^{2} log (1024)$

Om de betekenis te kennen van ${}^{1} log (100)$ , vragen we ons af voor welk getal $t$ geldt: $1^{t} = 100$ .

Welk getal is dat?

$g^{t} = x$ is gelijkwaardig met ${}^{g} log (x) = t$ .
We nemen de getallen $g$ en $x$ positief en $g \neq 1$ .
$g$ heet het grondtal van de logaritme.

Nieuwe getallen

Soms komen logaritmen mooi uit. Zo is ${}^{3} log (9)$ geen nieuw getal: het is een andere schrijfwijze voor het getal $2$ .
Meestal komen logaritmen niet mooi uit. Zo kenden we het getal ${}^{3} log (10)$ nog niet. En het is wel even wennen aan nieuwe getallen. Zoiets heb je al eerder ervaren, namelijk toen je in de tweede of derde klas kennis maakte met wortels; en al op de basisschool toen je voor het eerst met breuken ging werken. Eigenlijk is er nu weer hetzelfde aan de hand. Vergelijk maar eens de vragen over breuken, wortels en logaritmen in de volgende opgave.

Welke getallen zijn geheel, welke niet?

$\frac{12}{3}$ , $\frac{11}{3}$ , $\sqrt[3]{8}$ , $\sqrt[3]{7}$ , ${}^{3} log (9)$ , ${}^{3} log (8)$

De logaritme met grondtal $10$ , dus ${}^{10} log (...)$ wordt erg vaak gebruikt. Zelfs zó vaak, dat afgesproken is dat het weggelaten mag worden en er een apart knopje voor op je rekenmachine zit.

$\log (...)$ betekent ${}^{10} log (...)$ .

Voorbeeld:

$\log (100) = {}^{10} log (100) = 2$ , want $10^{2} = 100$ .
$\log (0,001) = {}^{10} log (0,001) = ‐ 3$ , want $10^{‐ 3} = \frac{1}{1000} = 0,001$ .

Vul in:
$log (1.000.000) = ...$ , want $10^{...} = 1.000.000$ .

Bepaal zo ook de volgende logaritmen zonder rekenmachine.

$log (1000)$	$log (0,1)$	$log (1.000.000.000)$
$log (0,0001)$	$log (10)$	$log (1)$

Maar wat als het niet mooi uitkomt? Hoe groot is ${}^{3} log (8)$ ?
Je kunt het omzetten: ${}^{3} log (8) = t$ betekent $3^{t} = 8$ .
Met de GR (met intersect) kun je dan de waarde van $t$ vinden: $t \approx 1,892789261$ , dus ${}^{3} log (8) \approx 1,892789261$ .

Het is nogal omslachtig om dit telkens zo te moeten doen. Gelukkig kan je GR het ook direct: met de functie logBASE.
(Daarbij wordt door de GR waarschijnlijk de Amerikaanse notatie gebruikt, waarbij het grondtal op een andere plaats genoteerd wordt: $\log_{3} (8)$ .)
Zoek zelf (of met behulp van je docent) uit hoe het precies werkt op jouw GR.

Een andere manier is door gebruik te maken van de volgende rekenregel die we verder niet uitleggen of bewijzen. Je mag het wel gewoon gebruiken.

${}^{g} log (x) = \frac{\log (x)}{\log (g)}$ .
Dus bijvoorbeeld: ${}^{3} log (8) = \frac{\log (8)}{\log (3)}$ .

Benader met je rekenmachine de waarden van de volgende logaritmen, afgerond op 3 decimalen.

${}^{5} log (10)$

${}^{7} log (2,5)$

${}^{0,15} log (152)$

Evenzo voor de volgende logaritmen.

$log (5)$	$log (50)$	$log (500)$
$log (0,5)$	$log (0,05)$	$log (0,005)$

Welke regelmaat valt je op bij onderdeel b?

Met de ${}^{10} log$ van een getal kun je meteen zien hoe groot het getal ongeveer is.
Als $\log (x) = 2,4$ , dan is $x$ groter dan $10^{2} = 100$ en kleiner dan $10^{3} = 1000$ .
Dus $100 < x < 1000$ .
Andersom:
De uitkomst van $\log (7138)$ zit tussen $\log (1000) = 3$ en $\log (10000) = 4$ , dus $3 < \log (7138) < 4$ .

Tussen welke machten van tien zit $x$ als $\log (x) = 5,21$ ?
En als $\log (x) = ‐ 2,7$

Bepaal zonder rekenmachine tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen de uitkomst zit van $\log (98,321)$ .
En $\log (0,000256)$ ?

John Napier

John Napier, ook bekend onder de naam John Neper (Edinburgh, 1550-1617), was een Schotse wiskundige die vooral naam heeft gemaakt met zijn uitvinding van de logaritmen. John studeerde enige tijd aan de St Andrews universiteit maar verbleef ook geruime tijd in andere landen van Europa. Hij was een overtuigd protestant en vooral gepassioneerd door de theologie. In 1593 publiceerde hij een religieus werk met de titel Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John dat in het Nederlands, Frans en Duits werd vertaald zodat hij ook bekend werd op het vasteland. De wiskunde beoefende hij voornamelijk als een liefhebberij.
Bron: Wikipedia

Voorbeeld:

Met behulp van de logaritme kunnen we nu allerlei vraagstukken eenvoudig algebraïsch oplossen.

Het gemiddelde rendement van een aandelenfonds is $1,15$ % per maand. Hoe lang duurt het voordat de waarde is verdubbeld? Geef je antwoord in jaren en maanden nauwkeurig.
Oplossing:
De vergelijking ${1,0115}^{t} = 2$ moet worden opgelost.
$\to$ $t = {}^{1,0115} log (2) \approx 60,62$ maanden.
Dus het duurt $5$ jaar en $1$ maand.
Online shoppen zorgt voor explosieve groei pakketvervoer: In 2015 leverden de pakketvervoerders $208$ miljoen pakketten binnen Nederland af, een stijging van $11,3$ % ten opzichte van 2014. (bron: www.acm.nl)

In welk jaar wordt de grens van een half miljard pakketten bereikt als de groei zich op dezelfde manier doorzet?
Oplossing:
De vergelijking $208 \cdot {1,113}^{t} = 500$ moet worden opgelost.
$\to$ ${1,113}^{t} = \frac{500}{208} \approx 2,4038...$
$\to$ $t = {}^{1,113} log (2,4038...) \approx 8,2$ jaar na eind 2015, dus in het jaar 2024.

Opmerking:

Als niet gevraagd wordt om het probleem 'algebraïsch' op te lossen, dan mag je bovenstaande vergelijkingen ${1,0115}^{t} = 2$ en $208 \cdot {1,113}^{t} = 500$ ook met je GR op een andere manier oplossen, bijvoorbeeld met de optie intersect, de solver of inklemmen met een tabel.
Je mag dan zelf kiezen wat je op dat moment het handigst lijkt.

Een kapitaal van € $5432$ staat uit tegen $10$ % rente per jaar op de bank. De groei van het kapitaal is exponentieel.

Geef een formule voor het kapitaal $K (t)$ in euro na $t$ jaar.

Zodra het kapitaal is aangegroeid tot € $10.000$ wordt het van de bank gehaald.

Bereken algebraïsch hoe lang dat duurt (in maanden nauwkeurig).

Controleer je antwoord op de vorige vraag door deze tijdsduur ook met de GR uit te rekenen (dus niet algebraïsch).

Uit wikipedia.
In 1804 woonden er één miljard mensen op de wereld. In 1927 waren dat twee miljard. Eind jaren $50$ in de vorige eeuw groeide de wereldbevolking tot drie miljard personen. Op 11 juli 1987 werd het Kroatische jongetje Matej Gaspar symbolisch uitgeroepen tot vijfmiljardste wereldburger.
Op 19 juli 1999 werd volgens de Verenigde Naties de $6$ miljardste mens geboren. Een jongen uit Sarajevo kreeg de eer. Dit was uiteraard een symbolische keuze, omdat het niet was na te gaan wie daadwerkelijk de zesmiljardste wereldburger werd. De VN koos voor Sarajevo om te tonen dat de regio zich herstelde. Op 31 oktober 2011, iets meer dan $12$ jaar later, werd de $7$ miljardste mens geboren.
Men schatte in 1999 dat de wereldbevolking elk jaar toeneemt met $1,9$ %.

Als er in 1999 de $6$ miljardste mens geboren werd en de schatting van 1,9% juist is, hoeveel mensen zouden er dan $12$ jaar later zijn?

Uit bovenstaande volgt dat in 1804 de verdubbelingstijd van de wereldbevolking $123$ jaar was.

Bereken algebraïsch de verdubbelingstijd bij een groeipercentage van $1,9$ % per jaar. Geef je antwoord in jaren nauwkeurig.

Controleer je antwoord op de vorige vraag door deze tijdsduur ook met de GR uit te rekenen (dus niet algebraïsch).

Een glasplaat van $1$ cm dikte neemt $20$ % van het erop vallend licht weg.

Leg uit dat door een glasplaat van $2$ cm dikte $64$ % van het licht wordt doorgelaten.

Hoeveel procent van het licht wordt doorgelaten door een glasplaat van $x$ cm?

Bereken algebraïsch hoe dik je een glasplaat moet maken om slechts $40$ procent van het licht door te laten (in mm nauwkeurig).
Controleer je antwoord door het ook niet algebraïsch met je GR uit te rekenen.