1

We beginnen met een vel A0-papier. We snijden het vel middendoor en leggen de twee vellen op elkaar. En herhalen dit snijden en stapelen telkens. Na de eerste keer snijden liggen er twee vellen A1-formaat op elkaar. Na twee keer snijden vier vellen A2-formaat, etc.

a

Uit hoeveel lagen bestaat de stapel na 12 keer snijden en stapelen? En na 25 keer snijden en stapelen?

Na 37 keer snijden en stapelen heb je een stapel van 2 37 lagen. Dit getal is zó groot dat de rekenmachine dit niet meer exact op het scherm weergeeft, maar de zogenaamde wetenschappelijke notatie gebruikt: je krijgt zoiets als 1.374389535 E 11 op je scherm.
Dat betekent 1,374389535 × 10 11 , ofwel een getal van 12 cijfers. Dat is meer dan een normale (grafische) rekenmachine aankan.
Hieronder staat een tabel met de exacte uitkomsten van 2 0 t/m 2 64 .

b

Kun je nog uitleggen waarom 2 0 = 1 ?

Kijk in de tabel naar de regelmaat van de eindcijfers.

c

Wat is het eindcijfer van 2 100 ? En van 2 2015 ?

Elk vel is 0,1  mm dik.

d

Hoe hoog is de stapel na 37 keer snijden en stapelen? Geef je antwoord afgerond in hele kilometers.

De afstand van de aarde tot de maan is (ongeveer) 300 000 km.

e

Bereken hoe vaak je zou moeten snijden en stapelen om de maan te bereiken.

Met behulp van de tabel kun je zonder veel te rekenen de exacte uitkomsten vinden van sommen die je rekenmachine niet meer exact kan. Je moet dan op de juiste plek in de tabel kijken voor het antwoord.

f

Bereken met behulp van de tabel de exacte uitkomsten:

  • 17 179 869 184 × 2

  • 17 179 869 184 × 8

  • 17 179 869 184 × 128

  • 1 073 741 824 2

  • 18 446 744 073 709 551 616 : 8

  • 18 446 744 073 709 551 616 : 16 777 216

Voorbeeld:

In de laatste opgave heb je o.a. gezien met de tabel:

  • 17 179 869 184 × 8
    = 2 34 × 2 3 = 2 37 = 137 438 953 472

  • 18 446 744 073 709 551 616 : 16 777 216
    = 2 64 : 2 24 = 2 40 = 1 099 511 627 776

  • 1 073 741 824 2
    = ( 2 30 ) 2 = 2 30 × 2 30 = 2 60 = 1 152 921 504 606 846 976

2

Bereken met de tabel hierboven op dezelfde manier:

a

8 388 608 × 2 048

b

536 870 912 × 8 589 934 592

c

8 388 608 : 2 048

d

8 589 934 592 : 536 870 912

e

67 108 864 2

f

8192 4

In opgave 3 heb je gezien dat geldt:

  • 2 k × 2 m = 2 k + m

  • 2 k 2 m = 2 k : 2 m = 2 k m

  • ( 2 k ) m = 2 k m

voor alle positieve hele getallen k en m .
Voor de tweede rekenregel geldt k > m .


Als we de tweede rekenregel ook toepassen als k < m krijgen we bijvoorbeeld: 128 1024 = 2 7 2 10 = 2 3 .
Maar we weten dat 128 1024 = 1 8 , dus blijkbaar geldt 2 3 = 1 8 .
Dus geldt 2 3 = 1 2 3 .

3
a

Vul de tabel verder in. Gebruik hierbij geen rekenmachine.

n

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

2 n

1 8

8

b

Schrijf als breuk, met behulp van de tabel met de machten van 2 .

  • 2 10

  • 2 20

  • 524 288 16 777 216

  • 4 096 1 073 741 824

c

Bereken met een rekenregel: 2 7 × 2 7 .
Hoeveel is 2 n × 2 n voor elk geheel getal n ?

Opmerking:

Bovenstaande rekenregels gelden natuurlijk niet alleen voor grondtal 2 , maar voor alle gehele getallen.

4

2 4 = 2 2 2 2 en 5 4 = 5 5 5 5 .
Dus: 2 4 5 4 = 2 2 2 2 5 5 5 5 = 2 5 2 5 2 5 2 5

a

Hoe groot is dus 2 4 5 4 ? (Schrijf als macht.)

b

Hoe groot is 3 7 2 7 ? (Schrijf als macht.)

c

Wat is het verband tussen a p , b p en ( a b ) p ?

d

Hoe groot is 6 4 3 4 ? (Schrijf als macht.)

e

Wat is het verband tussen a p , b p en ( a b ) p ?

We zijn in het voorgaande een aantal bekende rekenregels voor machten uit klas 4 tegengekomen. Wij herhalen een aantal opgaven.

Rekenregels voor machten:

  • a p a q = a p + q

  • a p a q = a p q (ofwel a p : a q = a p q )

  • ( a p ) q = ( a q ) p = a p q

  • a p b p = ( a b ) p

  • a p b p = ( a b ) p

Deze regels gelden voor alle positieve getallen a , b , p en q , waarbij p en q geheel zijn.

Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

5

Vereenvoudig met behulp van deze rekenregels voor machten. Schrijf tussenstappen op.

x 5 x 3 x 2 x 4

( y 5 ) 3 ( y 2 ) 4

( a 2 ) 5 a 3 a 13

( p q ) 5 p 2 q 3

x 3 64 x 2 ( 2 x ) 5

( 3 y 2 ) 4 81 y 3

( ( p 2 ) 3 ) 4 p 2 p 3 p 4

( a 2 b ) 3 a 5 b

( 6 a b 2 ) 3 2 ( 2 a ) 2 b 5

Voorbeeld:

8 2 k = 2 3 2 k = 2 3 + k
en 128 4 k = 2 7 ( 2 2 ) k = 2 7 2 2 k = 2 7 2 k

6

Schrijf zo ook als één macht van 2 . Schrijf tussenstappen op.
( k en m zijn positieve gehele getallen.)

32 2 k

2 2 k

2 k 2 k

8 k

16 k 32 k

2 k 4 m

32 2 k

2 k 2

2 k + 1 2 k 1

8 k 8

32 k 16 k

4 m 2 k

7
a

Onderzoek welke van de volgende formules juist zijn voor elk natuurlijk getal n .

3 9 n = 27 n

3 9 n = 3 2 n + 1

4 n : 8 = ( 1 2 ) n

2 n + 2 n = 2 2 n

2 n + 2 n = 2 n + 1

3 n + 3 n + 3 n = 3 n + 1

Van de onjuiste formules kun je juiste formules maken door ze een klein beetje te veranderen.

b

Doe dat.

Een computer werkt en rekent uitluitend met nullen en enen. Het geheugen bestaat uit een allemaal bits die de waarde 0 of 1 aan kunnen nemen. Acht bits worden gegroepeerd in zogenaamde bytes, dus 8 bits vormen samen een byte.
Omdat 2 10 = 1024 1000 , worden 1024 bytes ook wel een kilobyte genoemd. Net zoals een kilogram gelijk is aan 1000 gram.
Dit kan soms verwarring geven: een kilobyte is dus niet precies 1000 bytes, maar net iets meer. Zo ook voor grotere waarden, zoals je in onderstaande tabel kunt zien.

De voorvoegsels als kilo, mega en giga betekenen in de digitale wereld vaak iets anders dan daarbuiten. Een foto die je maakt met je mobiele telefoon is vaak tussen 2 en 3 megabyte (MB) groot, dus tussen 2 × 2 20 = 2 097 152 en 3 × 2 20 = 3 145 728 bytes. Een SD-kaart in je mobiel heeft misschien zelfs een grootte van 32 gigabyte (GB): 32 × 2 30 bytes. Ondanks de mogelijke verwarring, werkt het als globale aanduiding prima.

Voorbeeld:

Deze benadering van 1024 door 1000 kan je helpen om de machten van 2 beter voor te kunnen stellen.
Zo is 2 33 = 2 3 × 2 30 = 8 × 2 30 , dus ongeveer 8 miljard (of 8 giga).

8

Geef op dezelfde manier als in het voorbeeld aan hoe groot de volgende machten van 2 ongeveer zijn. Gebruik de aanduidingen duizend, miljoen, miljard, ...

2 12

2 23

2 31

2 37

2 42

9

Muziek op cd's
Om muziek digitaal op een cd op te kunnen slaan worden geluidstrillingen omgezet in getallen. Elk getal wordt vervolgens weergegeven als een rijtje nullen en enen. Een rijtje van acht bits, dus acht keer een 0 of een 1, heet een byte. Het getal 18 bijvoorbeeld wordt daarbij weergegeven als 00010010.

a

Bereken hoeveel verschillende rijtjes van 8 bits er mogelijk zijn.

b

Bereken hoeveel verschillende rijtjes van 8 bits er mogelijk zijn met 3 enen en 5 nullen.

Voor veel muziek is het gebruikelijk om een seconde muziek vast te leggen in 44 100 rijtjes van 16 bits (van 2 bytes dus). Voor stereomuziek wordt het aantal rijtjes nog verdubbeld omdat er zowel voor de linker- als voor de rechterluidspreker een rijtje wordt vastgelegd.


De opslagcapaciteit van een cd is 783 megabyte (MB), waarbij we ervan uitgaan dat 1 megabyte 1 000 000 bytes is.

c

Bereken hoeveel minuten stereomuziek in theorie op een cd kan worden opgeslagen.

d

Wat is het antwoord op de vorige vraag als met de exacte waarde van een MB wordt gerekend?

Om rijtjes van 8 bits op een cd te zetten, vormt men elk rijtje van 8 bits om tot een code van 14 bits. Dit vermindert de foutgevoeligheid. Een voorbeeld van zo'n code van 14 bits is 10010010000000.
Aan deze codes wordt de eis gesteld dat tussen twee enen minstens twee nullen staan. Een code als 00101000000100 kan dus niet als code voorkomen omdat er tussen de eerste twee enen slechts één nul staat.
Door deze eis kan een code maximaal vijf enen bevatten.

e

Leg uit waarom een code niet zes enen kan bevatten.

10
a

Uit hoeveel cijfers bestaat het getal 123 45 als je het helemaal uit zou schrijven?

b

Bereken het laatste cijfer van 123 45 .

(hint)

Kijk naar de regelmaat van de eindcijfers van de rij 3 1 ,3 2 ,3 3 ,... .

11

Zie het knipseltje hiernaast.
We nemen in deze opgave één bacterie Rickettsia met lengte 0,1  μm en gaan ervan uit dat het aantal bacteriën zich per 20 minuten verdubbelt.

a

Laat met een berekening zien dat de totale lengte (‘kop-aan-staart’) van de bacteriën na 10 uur ruim 100 meter is.

De gemiddelde afstand van de aarde tot de maan is (ongeveer) 384 450 km.

b

Onderzoek met je grafische rekenmachine hoeveel uur het duurt totdat de totale lengte van de bacteriën (‘kop-aan-staart’) langer is dan de afstand aarde-maan. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren.