Naar verwachting

Hieronder staat schematisch het inwendige van een speelautomaat. Bovenaan wordt in de trechter een balletje losgelaten. Dat rolt naar beneden en komt onderaan in een van de bakjes terecht. De speler ontvangt het bedrag dat op het bakje geschreven staat. We gaan ervan uit dat een balletje bij elke splitsing met gelijke kans naar links of naar rechts gaat.

Stel dat dit spel per jaar $40.000$ keer gespeeld wordt.

Hoe vaak zou je het balletje in het bakje $€ 100, -$ verwachten? En hoe vaak in elk van de andere bakjes?

Hoeveel zou de eigenaar van de automaat naar verwachting per jaar moeten uitbetalen?

Natuurlijk zal hij niet precies het bedrag uit onderdeel b moeten uitbetalen.

Wat is in theorie het maximale bedrag dat de eigenaar per jaar zou kunnen moeten uitbetalen? En het theoretisch minimale bedrag?

Om dit spelletje te mogen spelen moet je $€ 15, -$ betalen.

Is dit een aantrekkelijke prijs voor een speler om te spelen?

Na enige tijd verandert de eigenaar het spel. Op drie plaatsen zet hij een “stop”. Rolt het balletje daarin dan stopt het spel en er wordt niets uitbetaald. Het inwendige van de speelautomaat ziet er nu uit zoals hieronder te zien is.

Hoeveel moet de eigenaar nu naar verwachting per jaar uitbetalen?

Bij welke inzet is het net niet meer aantrekkelijk om het spel te spelen?

Sir Francis Galton (1822-1911)

Als we de speelautomaat schematisch weergeven, krijgen we een zogenaamd Galtonbord. Dat bestaat uit een aantal rijen pinnen. Bovenaan worden kogeltjes losgelaten; die vallen via de pinnen naar beneden. Als het een goed bord is, is voor elk kogeltje bij elke pin de kans $\frac{1}{2}$ om naar links of naar rechts te gaan. Onderaan worden de kogeltjes in bakjes opgevangen. In de middelste bakjes zullen de meeste kogeltjes komen, aan de uiteinden de minste.
Het bord is ontworpen door de Britse statisticus sir Francis Galton, en is naar hem genoemd. Het spel in opgave 8 is gebaseerd op dit idee.

Ga naar VU-Stat, Kansrekenen, Bord van Galton [niet beschikbaar in de online versie]. Of klik op deze link voor een GeoGebra-applet: Bord van Galton .

Maak een paar simulaties op borden van verschillende aantallen rijen. Varieer ook de kans dat een kogeltje naar rechts valt.

Bij wintersportvakanties gebeurt nogal eens een ongeluk. Daarvoor kun je je verzekeren. Om de verzekeringspremie te bepalen schatten verzekeringsmaatschappijen de kans op een ongeluk aan de hand van historische gegevens. Ongeveer $6 %$ van alle wintersporters raakt in meer of mindere mate gewond. De behandelingskosten variëren van enkele tientjes tot duizenden euro's; gemiddeld liggen de kosten per gewonde rond de $4000$ euro.
Per jaar gaan $100.000$ Nederlanders op wintersport. Laten we aannemen dat ze zich allemaal bij één verzekeringsmaatschappij verzekeren en dat deze maatschappij geen winst hoeft te maken.

Hoe hoog zal de verzekeringspremie per persoon moeten zijn, opdat de verzekerings maatschappij de verwachte kosten kan betalen?

Stel dat slechts de helft van de wintersporters zich verzekert.

Wat is nu de hoogte van de premie?

We bekijken opnieuw het spel van opgave 8.

In de tabel hieronder staan de kansen op de verschillende uitbetalingen.

Stel dat er $160$ keer gespeeld wordt.

Hoe groot is dan naar verwachting de totale uitbetaling?

Wat is de gemiddelde uitbetaling per keer?

Wat is de gemiddelde uitbetaling per keer als er $n$ keer gespeeld wordt?

Bij een experiment wordt een aantal geteld: dat noemen we $X$ .
Stel dat $X$ $n$ verschillende waarden kan aannemen; noem die $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ , $x_{n}$ .
De bijbehorende kansen noemen we $p_{1}$ , $p_{2}$ , $...$ , $p_{n}$ .

Zeg wat in opgave 11 de grootheid $X$ is.
En wat is $n$ ? Wat zijn de waarden $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ ? Wat zijn $p_{1}$ , $p_{2}$ , $...$ ?

Verwachtingswaarde

In bovenstaande notatie is $E (X) = p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} + ... p_{n} \cdot x_{n}$ de verwachtingswaarde van $X$ .
Als je de tabel van de kansverdeling kent (zoals in opgave 11):

kun je de verwachtingswaarde dus eenvoudig uitrekenen: vermenigvuldig elk van de mogelijke uitkomsten met de kans op die uitkomst en tel vervolgens de producten op.

$E (X)$ kun je zien als een theoretisch gemiddelde: je neemt het gemiddelde van de mogelijke waarden, rekening houdend met de kansen waarmee ze voorkomen.
Als je het experiment bij herhaling uitvoert, zal de gemiddelde waarde (hoogst waarschijnlijk) dicht bij $E (X)$ liggen.

De letter $E$ komt van expectatio.

De redenering is als volgt.
Voer in gedachten het experiment een (groot) aantal keren uit, zeg $N$ keer.
Dan zal naar verwachting $p_{1} \cdot N$ keer de waarde $x_{1}$ optreden, $p_{2} \cdot N$ keer de waarde $x_{2}$ , enzovoort.
De gemiddelde uitkomst is $\frac{p_{1} \cdot N \cdot x_{1} + p_{2} \cdot N \cdot x_{2} + ...}{N}$ en dat is gelijk aan $p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} + ...$ , de verwachtingswaarde van $X$ .

Ga naar VU-Stat, Simulaties, Dobbelstenen.

Werp $300$ keer met één dobbelsteen. Noteer hoe vaak elk van de aantallen ogen optreedt. Bereken met behulp van deze frequenties hoe groot de verwachtingswaarde van het aantal ogen is.

De verwachtingswaarde van het aantal ogen bij het werpen met een dobbelsteen kun je ook met de theoretische kansen berekenen.

Doe dat.

Werp $300$ keer met drie dobbelstenen en let op de som van de ogen bij een worp.

Welke waarden kan die som aannemen?

Elke mogelijke waarde komt een zeker aantal onder die $300$ keer voor (eventueel $0$ keer).

Bereken met behulp van deze frequenties hoe groot de verwachtingswaarde van de som van de aantallen ogen is.

Merk op dat je nu niet zo gemakkelijk kunt zeggen wat de theoretische kansen op de verschillende ogensommen zijn. Dus is de verwachtingswaarde van de ogensom van drie dobbelstenen niet zo eenvoudig met de tabel van de kansverdeling te vinden. We komen hier verderop op terug.

Reisbureaus bieden vlak voor vertrek zogenaamde last minute-reizen aan. Ze proberen door de prijzen te verlagen het vliegtuig en/of hotel op die manier alsnog vol te krijgen. Reizen die normaal bijvoorbeeld $€ 800, -$ kosten, kunnen dan geboekt worden voor $€ 550, -$ . Wie zou dat niet willen? Maar dit kan alleen als er nog plaatsen over zijn. Dus als je gokt op zo’n last minuteaanbieding, loop je het risico dat er geen plaats is.
Familie Jansen telt vier personen en wil komende zomer naar Turkije. Zo'n reis kan in april geboekt worden voor $€ 800, -$ per persoon. Vorig jaar zomer zag de familie een last minuteaanbieding van deze reis voor $€ 550, -$ per persoon. Neem aan dat de kans $0,60$ is dat deze aanbieding dit jaar weer komt (met plaats voor vier personen). Als de aanbieding niet komt, zal de familie, om toch naar Turkije te kunnen, een duurdere lijnvlucht moeten boeken van $€ 900, -$ per persoon.

Welk advies zou jij de familie Jansen geven: in april boeken of wachten tot de zomer? Ondersteun je advies met verwachtingswaarden.

In een doos zitten zes ballen: twee witte en vier zwarte. Uit die doos nemen we aselect drie ballen. $X$ is het aantal witte ballen als met terugleggen getrokken wordt, $Y$ is het aantal witte ballen als er zonder terugleggen getrokken wordt.

Geef in een tabel de kansverdeling van $X$ en bereken $E (X)$ .

Geef in een tabel de kansverdeling van $Y$ en bereken $E (Y)$ .

Anne speelt Mens-erger-je-niet. Ze heeft geen pionnen op het speelbord. Zodra ze een zes heeft gegooid met de dobbelsteen, mag ze een pion op het bord zetten. Daar zit ze dus op te wachten. Het kan zijn dat ze meteen de eerste beurt een zes gooit (dan heeft ze geluk), maar het kan ook zijn dat ze een heleboel beurten moet wachten alvorens haar dobbelsteen $6$ ogen geeft.
Het aantal beurten dat Anne nodig heeft om een zes te gooien noemen we $X$ .

Wat is de kans dat $X$ gelijk is aan $3$ ?

Welke waarden kan $X$ aannemen?

Maak een tabel van de kansverdeling van $X$ voor de eerste vijf waarden.

Hoe groot is de kans dat $X$ groter is dan $8$ ?

Hoe groot schat jij dat $E (X)$ is?

Controleer je schatting met een simulatie: ga naar VU-Stat, Simulaties, Random Generator, Gooien tot (bij Model).

In onderdeel f heb je een idee gekregen hoe groot de verwachtingswaarde $E (X)$ ongeveer is.
Het is niet eenvoudig $E (X)$ exact te berekenen. Daarvoor gebruiken we een speciale truc.
Anne gaat beginnen; het duurt gemiddeld $E (X)$ beurten voordat ze de eerste zes gooit. Er kunnen twee dingen gebeuren.

Anne werpt meteen een zes; dan duurt het $1$ beurt. Dit gebeurt met kans $\frac{1}{6}$ .
Of Anne werpt niet meteen een zes; dan duurt het gemiddeld nog $E (X)$ beurten, dus in totaal $E (X) + 1$ beurten. Dit gebeurt met kans $\frac{5}{6}$ .

Dus is de gemiddelde duur $\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{5}{6} \cdot (E (X) + 1)$ .
We hebben nu de vergelijking $E (X) = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{5}{6} \cdot (E (X) + 1)$ .

Bereken hieruit $E (X)$ .

De somregel voor de verwachtingswaarde

In twee warenhuizen is gedurende een doordeweekse dag bijgehouden hoelang de mensen met hun boodschappen voor de kassa moesten wachten, afgerond op halve en hele minuten.

Zo moesten bijvoorbeeld in winkel A $20 %$ van de klanten $1$ minuut wachten. Met deze gegevens maken we een model: we nemen aan dat bovenstaande verdeling voor iedere doordeweekse dag geldt. Voor iedere klant geldt in dit model dus dat de kans dat hij $1$ minuut in winkel A moet wachten $0,20$ is. Voor de andere wachttijden en voor winkel B worden op dezelfde wijze de kansen gedefinieerd.

Bereken de verwachtingswaarde van de wachttijd voor winkel A. Ook voor winkel B.

Een klant bezoekt beide winkels.

Bereken de kans dat hij in de winkels even lang moet wachten.

De totale wachttijd $W$ voor iemand die beide winkels bezoekt, varieert van $0,5$ tot en met $3,5$ minuut.

Maak een tabel van de kansverdeling van $W$ .

Bereken de verwachtingswaarde van $W$ .

De som van je twee antwoorden van a is – als het goed is – exact gelijk aan je antwoord van d. Als je daar even over nadenkt, is dat nogal logisch.

Waarom?

Op een dobbelsteen is de som van de ogen op twee tegenover elkaar liggende kanten $7$ . Het aantal ogen dat boven komt noemen we $X$ , het aantal ogen dat onder komt $Y$ .
Verder bekijken we de som $S = X + Y$ .

Hoe groot is $Y$ , als $X = 2$ ?

Welke waarden kan $X$ aannemen? En $Y$ ? En welke waarden kan $S$ aannemen?

Bereken $E (X)$ , $E (Y)$ en $E (S)$ .

Geldt: $E (S) = E (X) + E (Y)$ ?

Iemand werpt met twee dobbelstenen. $X_{1}$ is het aantal ogen dat hij met de ene dobbelsteen werpt en $X_{2}$ het aantal ogen met de andere dobbelsteen.
$S = X_{1} + X_{2}$ is de som van de aantallen ogen. Zie opgave 7 voor de kanstabel voor $S$ .

Hoe groot is $E (X_{1})$ ? En hoe groot is $E (X_{2})$ ?

Bereken $E (S)$ .

Geldt $E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2})$ ?

Somregel voor de verwachtingswaarde
Bij een experiment worden twee aantallen geteld. De verwachtingswaarde van de som van twee aantallen is gelijk aan de som van de verwachtingswaarden van de twee afzonderlijke aantallen. Dit geldt ook als de uitkomsten van de twee aantallen van invloed zijn op elkaar (zie opgave 18).
De regel geldt ook bij meer dan twee aantallen; bijvoorbeeld, als $S = X_{1} + X_{2} + X_{3}$ , dan $E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + E (X_{3})$ .

Deze somregel maakt berekeningen vaak veel eenvoudiger. Bijvoorbeeld bij opgave 13 wisten we dat $E (X_{1}) = E (X_{2}) = 3,5$ ; zonder de kansverdeling van $S = X_{1} + X_{2}$ uit te rekenen, weten we dat $E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2}) = 3,5 + 3,5 = 7$ .
In opgave 13d hebben we door simulatie de verwachtingswaarde van de som van de ogen bij drie dobbelstenen kunnen schatten. Met de somregel weten we nu dat die verwachtingswaarde precies $10,5$ is.

De verwachtingswaarde van het aantal geboortes per dag is in Nederland $482$ (gegevens van 2010 t/m 2015).

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal geboortes in een week?

Wat heeft dit met bovenstaande somregel te maken?

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal geboortes per uur?

Wat heeft dit met bovenstaande somregel te maken?

Bridge wordt gespeeld met een pak van $52$ kaarten, waaronder dertien hartenkaarten. Een speler krijgt hieruit dertien kaarten. Het aantal hartenkaarten dat hij bij de eerste kaart krijgt is natuurlijk $0$ of $1$ .

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten bij de eerste kaart.

De verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten bij de zesde kaart is hetzelfde. Dat is logisch want de zesde kaart is met dezelfde kans een harten als de eerste.

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten bij de dertiende kaart.

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten dat de speler krijgt?