figuur 1

Functies van de vorm $y=A\cdot g^x$, $A\ne 0$ en $g$ zijn exponentiële functies.
Het getal $g$ heet groeifactor.

Voor $A=1$ krijg je de standaard-exponentiële functie met grondtal $g$.
In figuur 1 staan de grafieken van twee standaard-exponentiële functies.
Als $g>1$, dan $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }{g}^x=0$ en $\underset{x\to \infty }{\lim }{g}^x=\infty$.
De functie is stijgend.

Als $0<g<1$, dan $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }{g}^x=\infty$ en $\underset{x\to \infty }{\lim }{g}^x=0$.
De functies is dalend.

De $x$-as is horizontale asymptoot van de grafiek van $y=g^x$.
De grafieken van de functies $x\to g^x$ en $x\to {\left(\frac{1}{g}\right)}^x$ zijn elkaars spiegelbeeld in de $y$-as.
Het domein van de standaard-exponentiële functie is $ℝ$ en het bereik $<\mathrm{0,}\to >$.

figuur 2

De functie $y{=}^g\log \left(x\right)$ is de standaard-logaritmische functie met grondtal $g$, met $0<g<1$ of $g>1$.
In figuur 2 staan de grafieken van twee standaard-logaritmische functies.

Als $g>1$, dan $\underset{x\downarrow 0}{\lim }{}^g\log \left(x\right)=\mathrm{‐}\infty$ en $\underset{x\to \infty }{\lim }{}^g\log \left(x\right)=\infty$.
De functie is stijgend.
Als $0<g<1$, dan $\underset{x\downarrow 0}{\lim }{}^g\log \left(x\right)=\infty$ en $\underset{x\to \infty }{\lim }{}^g\log \left(x\right)=\mathrm{‐}\infty$.
De functie is dalend.

De $y$-as is verticale asymptoot van de grafiek van $y=\hspace{0.17em}{}^g\log \left(x\right)$.
Het domein van de standaard-logaritmische functie is
$<\mathrm{0,}\to >$ en het bereik $ℝ$. De grafieken van de functies $x\to {}^g\log \left(x\right)$ en $x\to {}^{\frac{1}{g}}\log \left(x\right)$ zijn elkaars spiegelbeeld in de $x$-as.

De grafieken van de standaard-exponentiële functie en de standaard-logaritmische functie met hetzelfde grondtal zijn elkaar spiegelbeeld in de lijn $y=x$.
Ze zijn elkaars inverse functie, dus:
$x{\to }^g\log \left(x\right)=y\to g^y=x$ en
$x\to g^x=y{\to }^g\log \left(y\right)=x$.

Afspraak
Voor positieve gehele getallen $n$ en positieve getallen $c$ is
$c^{\mathrm{‐}n}=\frac{1}{c^n}$ en $c^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{c}$.
De volgende rekenregels gelden.

1. $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$

2. $a^p:a^q=a^{p-q}$

3. ${\left(a^p\right)}^q=a^{p\cdot q}$

4. ${(a\cdot b)}^p=a^p\cdot b^p$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen $a$ en $b$ en willekeurige getallen $p$ en $q$.

1. ${}_{}{}^g\text{log}\left(x\right)+{}_{}{}^g\text{log}\left(y\right)=\hspace{0.17em}{}_{}{}^g\text{log}(x\cdot y)$

2. ${}^g\text{log}\left(x\right)-{}^g\text{log}\left(y\right)={}^g\text{log}\left(\frac{x}{y}\right)$

3. $r\cdot {}^g\text{log}\left(x\right)=\hspace{0.17em}{}^g\text{log}\left(x^r\right)$

4. ${}^g\text{log}\left(x\right)=$ $\frac{{}^a\text{log}\left(x\right)}{{}^a\text{log}\left(g\right)}$ (overstappen op een ander grondtal namelijk van $g$ op $a$)

De regels gelden voor alle positieve getallen $x$, $y$, $a$, $g$ en willekeurige getallen $r$, waarbij $a$ en $g$ niet $1$ mogen zijn.

Er is een getal, dat noemen we e, waarvoor geldt dat de helling van de raaklijn in het punt $(\mathrm{0,1})$ van de functie $x\to {\text{e}}^x$ gelijk aan $1$ is.
De inverse van deze functie noteren we met $x\to \ln \left(x\right)$, de natuurlijke logaritme.
Er geldt: