10.5 Domein en bereik >

Hoofdstukken > Exponentiële functies

Gegeven is de functie $f : x \to \ln (x^{2} - 1)$ . Hiernaast staat de grafiek.

$f (0)$ bestaat niet, waarom niet?

Voor welke getallen $x$ bestaat $f (x)$ wel?

$g$ is de functie met $g (x) = \ln (x + 1) + \ln (x - 1)$ .

Hoe krijg je de grafiek van $g$ uit die van $f$ ?

Bereken de nulpunten van $f (x)$ .

De grafiek van $f$ heeft twee asymptoten.

Welke? Schrijf de bijbehorende limieten op.

Opmerking:

$\ln (x + 1) + \ln (x - 1)$ en $\ln ((x + 1) (x - 1))$ zijn niet hetzelfde.
De tweede vorm bestaat voor meer waarden van $x$ .
Voor díe waarden van $x$ waarvoor beide vormen bestaan zijn ze hetzelfde.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \ln (\frac{| e x |}{x^{2} + 1})$ . Hiernaast staat de grafiek.

Voor welke $x$ bestaat $f (x)$ ?

Voor $x > 0$ geldt: $f (x) =$ $1 + \ln (x) - \ln (x^{2} + 1)$ .

Laat dat zien.

Bereken $f^{'} (x)$ voor $x > 0$ .

De grafiek van $f$ is symmetrisch in de $y$ -as.

Wat betekent dit voor het verband tussen $f^{'} (x)$ en $f^{'} (‐ x)$ ?

Bereken de maxima van $f (x)$ exact.

Welke waarden kan $f (x)$ aannemen?

Gegeven is een functie $f$ .
Alle waarden van $x$ waarvoor $f (x)$ bestaat, vormen het domein van de functie $f$ .
Alle waarden die $f (x)$ aan kan nemen, vormen het bereik van de functie $f$ .

We breiden de intervalnotatie uit.

Het interval $[‐ 1,2]$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 \leq x \leq 2$ ;
het interval $〈 ‐ 1,2 〉$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 < x < 2$ ;
het interval $〈 ‐ 1,2]$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 < x \leq 2$ ;
het interval $[‐ 1,2 〉$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 \leq x < 2$ ;
het interval $〈 \leftarrow,2]$ bestaat uit de getallen $x$ met $x \leq 2$ ;
het interval $〈 ‐ 1, \to 〉$ bestaat uit de getallen $x$ met $x > ‐ 1$ ;
enzovoort.
Hoe je zo'n interval in beeld kunt brengen, zie hiernaast.
Het interval $〈 ‐ 1,2]$ noemen we links-open, rechts-gesloten.

Voorbeeld:

Zie opgave 58.
Het domein van de functie $f$ bestaat uit de intervallen
$〈 \leftarrow, ‐ 1 〉$ en $〈 1, \to 〉$ .
Het domein van de functie $g$ is het interval $〈 1, \to 〉$ .

Het bereik van de functies $f$ en $g$ is $ℝ$ de verzameling van alle (reële) getallen.
Zie opgave 59.
Het domein van de functie $f$ bestaat uit de intervallen $〈 \leftarrow,1 〉$ en $〈 1, \to 〉$ .
Het bereik van de functie $f$ is het interval $〈 \leftarrow,1 - \ln (2)]$ .

Opmerking:

Het bereik van een functie vind je meestal door de extremen (maxima en minima) uit te rekenen en een schets van de grafiek te maken.

Geef het domein en het bereik van de volgende functies, gebruik de interval-notatie.

$f : x \to 1 - x^{2}$	$g : x \to \frac{2 x}{x - 1}$
$h : x \to \sqrt{x - 2}$	$k : x \to 1 + 2^{x}$

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \ln (2 e^{2} - \frac{e^{2}}{x^{2} + 1})$ .
De grafiek staat hiernaast.

Bereken langs algebraïsche weg de extreme waarde van $f (x)$ . Dit kan zonder differentiëren.

Wat is $\lim_{x \to \infty} f (x)$ en wat $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ ? Licht je antwoord toe.

Welke asymptoot heeft de grafiek van $f$ ?

Geef het domein en het bereik van $f$ .

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \ln (\frac{e x}{x + 1})$ .
Hieronder is de grafiek getekend.

Het lijkt erop dat de grafiek een horizontale asymptoot heeft. Daarvoor moet je $\lim_{x \to \infty} f (x)$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ berekenen.

Bereken die limieten langs algebraïsche weg.

Bepaal langs algebraïsche weg het domein van $f$ .

Zo te zien geldt: $\lim_{x ↓ 0} f (x) = ‐ \infty$ en $\lim_{x ↑ ‐ 1} f (x) = \infty$ .

Verklaar dat.

Om het domein van een logaritmische functie te bepalen, moet je vaak uitzoeken voor welke $x$ een uitdrukking in $x$ positief is. In het volgende voorbeeld laten we zien hoe je zoiets doet.

Voorbeeld:

Voor welke $x$ geldt: $\frac{x + 2}{x^{2} - 1} > 0$ ?
$\frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ is positief als:

$x + 2 < 0$ en $x^{2} - 1 < 0$ , óf
$x + 2 > 0$ en $x^{2} - 1 > 0$ .

Dus

Dit kan niet, óf
$‐ 2 < x < ‐ 1$ of $x > 1$ .

Het kan ook anders.
$\frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ wisselt van teken als $x + 2$ of $x^{2} - 1$ van teken wisselt, dus als $x = ‐ 2$ of als $x = \pm 1$ .
Vervolgens teken je met de GR de functie $f$ met $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ .
Zo vind je: $\frac{x + 2}{x^{2} - 1} > 0 \Leftrightarrow ‐ 2 < x < ‐ 1$ of $x > 1$ .

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = {}^{2} \log (\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4})$ .
De grafiek staat hieronder.

Bepaal het domein van $f$ .

Geef de horizontale en verticale asymptoten van $f$ met de bijbehorende limieten.

Bereken langs algebraïsche weg voor welke $x$ geldt:
$f (x) < 1$ .

Voor welke waarden van $p$ heeft de vergelijking $f (x) = p$ geen oplossingen?
Licht je antwoord toe.