Het grondtal van de exponentiële functie variëren

Gegeven is de functie $f : x \to 2^{x}$ .

Er geldt: $8^{x} = 2^{\dots \cdot x}$ .

Welk getal moet ingevuld worden?
Door welke vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van
$g : x \to 8^{x}$ uit die van $f$ ?

Er geldt: $3^{x} = 2^{x \cdot {}^{2} \log (3)}$ .

Leg dat uit.

Gegeven is de functie $h : x \to 3^{x}$ . Uit het vorige onderdeel volgt: $h (x) = f ({}^{2} \log (3) \cdot x)$ .

Door welke vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van $h$ uit die van $f$ ?

Er geldt: $2^{x} = e^{x \cdot \ln (2)}$ .

Laat dat zien.

Door welke vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van de functie $f$ uit de grafiek van $x \to e^{x}$ ?

De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte:
$L = A \cdot e^{‐ 0,14 h}$ .
$L$ is de luchtdruk in hectopascal,
$A$ is de luchtdruk op zeeniveau,
$h$ is de hoogte in km (boven zeeniveau).
$A$ is gemiddeld $1015$ ; die waarde nemen we voor $A$ .

Bereken de luchtdruk op een hoogte van $5$ km.

Bereken op welke hoogte de luchtdruk $280$ hectopascal is.

Neem over en vul steeds het juiste getal in, afgerond op twee decimalen:

$L = 1015 \cdot 2^{\dots \cdot h}$ ;
$L = 1015 \cdot 10^{\dots \cdot h}$ ;
$L = 1015 \cdot {(\dots)}^{h}$ .

Je ziet dat je even goed met $e^{\dots}$ , als met $2^{\dots}$ of met $10^{\dots}$ kunt werken. Het doet er dus niet zo veel toe welk grondtal je neemt. Het enige voordeel van grondtal e is dat de afgeleide van $y = e^{x}$ mooi is.

Alle exponentiële functies zijn 'gelijkwaardig'
Alle standaard-exponentiële functies ontstaan uit elkaar door een horizontale vermenigvuldiging (ten opzichte van de $y$ -as).
Je kunt van elk grondtal overstappen op elk ander grondtal met de formule: $g = a^{{}^{a} log (g)}$ , dus $g^{x} = a^{x \cdot {}^{a} log (g)}$ .
In het bijzonder: $g^{x} = e^{x \cdot \ln (g)}$ .

De afgeleide van

x \to g^{x}

We hebben gezien: $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ en $\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$ . Bij andere grondtallen is de afgeleide minder mooi. We weten al dat $\frac{d}{d x} g^{x} = c \cdot g^{x}$ , waarbij $c$ de helling in het punt $(0,1)$ van de functie $y = g^{x}$ is. In het vervolg zullen we de precieze waarde van $c$ vinden en zullen we $\frac{d}{d x} {}^{g} \log (x)$ bepalen.

Differentieer de functies $x \to e^{2 \cdot x}$ , $x \to e^{\sqrt{7} \cdot x}$ en $x \to e^{p \cdot x}$ (hierbij is $p$ een of andere constante).

In opgave 47d heb je gezien: $2^{x} = e^{x \cdot \ln (2)}$ .
Hieruit en uit het vorige onderdeel volgt dan: $\frac{d}{d x} 2^{x} = \ln (2) \cdot 2^{x}$ .

Ga dat na.

Wat we in opgave 49b hebben gedaan voor $g = 2$ kunnen we kopiëren voor elk ander grondtal.
Als $f : x \to$ $g^{x} = e^{x \cdot \ln (g)}$ , dan $f^{'} (x) = e^{x \cdot \ln (g)} \cdot \ln (g) = g^{x} \cdot \ln (g)$ .

$\frac{d}{d x} g^{x} = \ln (g) \cdot g^{x}$

Voorbeeld:

De afgeleide van $y = x \cdot 2^{x}$ is: $y^{'} = 2^{x} + x \cdot \ln (2) \cdot 2^{x}$ (productregel);
de afgeleide van $y = 2^{\sqrt{x}}$ is $y^{'} = 2^{\sqrt{x}} \cdot \ln (2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{2^{\sqrt{x}} \cdot \ln (2)}{2 \sqrt{x}}$ (kettingregel).

Differentieer:

$y = 10^{‐ x}$	$y = \frac{2^{x}}{x}$
$y = 2^{x} \cdot x \sqrt{x}$	$y = x \cdot 3^{2 x}$

Gegeven is de functie $y = 2^{x}$ .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt $(2,4)$ is exact $\ln (16)$ .

Toon dat aan.

Bepaal de exacte waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt $(‐ 1, \frac{1}{2})$ .
Schrijf je antwoord in de vorm $\ln (\dots)$ .

Het grondtal van de logaritmische functie variëren

Gegeven zijn de functies
$f : x \to {}^{2} \log (x)$ , $g : x \to {}^{4} \log (x)$ , $h : x \to {}^{8} \log (x)$ en
$p : x \to {}^{\frac{1}{2}} \log (x)$ , $q : x \to {}^{\frac{1}{4}} \log (x)$ , $r : x \to {}^{\frac{1}{8}} \log (x)$ .
Hieronder staan hun grafieken.

Neem over en vul in: ${}^{4} \log (x) = \frac{{}^{2} \log (x)}{\dots} = \dots \cdot {}^{2} \log (x)$ .
Door welke vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van $g$ uit die van $f$ ?

Door welke vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van $h$ uit die van $f$ ? Licht je antwoord toe.

Hoe ontstaat de grafiek van $p$ uit die van $f$ ? Licht je antwoord toe.

Gegeven is de functie $f : x \to {}^{2} \log (x)$ .

Neem over en vul in: ${}^{2} \log (x) = \frac{\ln (x)}{\dots} = \frac{1}{\dots} \cdot \ln (x)$

Teken de grafieken van $f$ en $\ln$ in één window op je GR.

Hoe ontstaat de grafiek van $f$ uit die van de natuurlijke logaritme-functie $x \to \ln (x)$ ?

Alle logaritmische functies zijn gelijkwaardig
Je kunt van elk grondtal overstappen op elk ander grondtal.
De grafieken van logaritmische functies ontstaan uit elkaar door verticale vermenigvuldigingen (ten opzichte van de $x$ -as).

De grafiek van de functie $f : x \to {}^{2} \log (x)$ wordt één eenheid omhoog geschoven en vervolgens horizontaal (ten opzichte van de $y$ -as) met $2$ vermenigvuldigd.

Geef een passende, zo eenvoudig mogelijke formule van de functie die de beeldfiguur als grafiek heeft.

Een hoogtemeter is een apparaatje dat bergwandelaars wel gebruiken om te bepalen hoe hoog ze zich bevinden. Ze stellen het apparaatje in bij hun vertrek. Zeg dat een wandelaar vertrekt op hoogte $635$ m; daar was de luchtdruk $950$ hectopascal. Als nu ergens tijdens de wandeling de luchtdruk $790$ hectopascal is, dan geeft de hoogtemeter aan: $1960$ m. Er geldt namelijk de formule: $h = 50 - 7,2 \cdot \ln (L)$ .
$L$ is de luchtdruk in hectopascal,
$h$ is de hoogte in km.

Ga na dat de aangegeven hoogte van $1960$ meter bij luchtdruk $790$ hectopascal in overeenstemming met de formule is.

Kloppen de hoogte en luchtdruk aan het vertrek ook met de formule?

Wat is de luchtdruk op een hoogte van $2000$ meter?

Schrijf de formule in de gedaante: $h = 50 - \dots \cdot {}^{2} \log (L)$ .

Schrijf de formule in de gedaante: $h = 50 - \dots \cdot \log (L)$ .

Schrijf de formule in de gedaante: $h = 50 - {}^{\dots} \log (L)$ .

Laat zien dat de formule in overeenstemming is met de formule $L = 1015 \cdot e^{‐ 0,14 h}$ , zie opgave 48.

Je ziet dat je even goed met $\ln$ , als met ${}^{2} \log$ of met $\log$ kunt werken. Het doet er dus niet zo veel toe welk grondtal je neemt. Het enige voordeel van grondtal $e$ is dat de afgeleide van $y = \ln (x)$ mooi is.

De afgeleide van

x \to {}^{g} \log (x)

Differentieer:

$f : x \to 2 \cdot \ln (x)$ , $g : x \to \frac{\ln (x)}{2}$ , $h : x \to \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Laat zien dat uit a volgt: $\frac{d}{d x} {}^{2} \log (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (2)}$ .

$\frac{d}{d x} {}^{g} \log (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (g)}$

Het bewijs in de voorgaande opgave voor $g = 2$ kun je eenvoudig generaliseren.

Voorbeeld:

De afgeleide van $f : x \to \sqrt{\log (x)}$ is:
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\log (x)}} \cdot \frac{1}{x \cdot \ln (10)}$ (kettingregel).
De afgeleide van $g : x \to x \cdot \log (x)$ is:
$g^{'} (x) = \log (x) + x \cdot \frac{1}{x \cdot \ln (10)} = \log (x) + \frac{1}{\ln (10)}$ (productregel).

Opmerking:

We schrijven ${}^{2} \log^{2} (x)$ in plaats van ${({}^{2} \log (x))}^{2}$ om haakjes uit te sparen, zoals we eerder ook al afgesproken hebben om ${sin}^{2} (x)$ te schrijven in plaats van ${(sin (x))}^{2}$ .

Differentieer:

$y = {}^{2} \log (x^{2} + 1)$	$y = {}^{2} \log (e x)$
$y = \log (\frac{x + 1}{x - 1})$	$y = \log^{2} (x)$