1

Gegeven zijn de lijnen $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = t (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array})$ en
$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 5 \\ ‐ 1 \end{array}) + t (\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array})$ .

a

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ .

b

Geef van beide lijnen een vergelijking.

De gegeven richtingsvectoren van $k$ en $m$ zijn niet even lang.

c

Zoek twee even lange richtingsvectoren en tel ze op.

d

Waarom is de somvector richtingsvector van een van de bissectrices van $k$ en $m$ ?

$(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array})$ is pv van een van de bissectrices.

e

Ga dat na.

f

Geef een vergelijking van de andere bissectrice.

g

Laat met een berekening zien dat een punt $P (‐ 2 + 2 t, ‐ 2 + t)$ op de bissectrice even ver van $k$ als van $m$ ligt.

2

Een wiel met diameter $2$ (dm) wordt met constante snelheid een rechte helling af gerold. De helling gaat door $A (8,0)$ en $B (0,6)$ .

Op tijdstip $t = 0$ is het middelpunt $M$ van het wiel op de $y$ -as. $M$ heeft een snelheid van $1$ dm/s). In de figuur is een deel van de baan van het middelpunt gestippeld.

a

Bereken de coördinaten van $M$ op $t = 0$ .

b

Geef de coördinaten van het middelpunt $M$ van het wiel op tijdstip $t$ .

c

Bereken op welk tijdstip het wiel de grond (de $x$ -as) raakt.

3

We bekijken het vermoeden uit de intro als $A B C$ een gelijkbenig rechthoekige driehoek is.
Neem aan dat $P$ op zijde $A C$ ligt en $Q$ het punt $B$ is. $R$ is de projectie van $P$ op zijde $B C$ .

Als het vermoeden juist is, dan moet $A B + A P = B R \cdot \sqrt{2}$ .

a

Waarom? Laat zien dat inderdaad het geval is.

Neem aan dat $P$ op zijde $B C$ ligt en $Q$ het punt $A$ is. $R$ is de projectie van $P$ op zijde $A B$ en $M$ het midden van $B C$ .
Als het vermoeden juist is, dan moet $A R = A S + M P \sqrt{2}$ .

b

Waarom? Laat zien dat inderdaad het geval is.

Er zijn ook nog randgevallen: $P = B$ en $Q = C$ bijvoorbeeld of $P = A$ en $Q = M$ .

c

Wat moet je in deze gevallen laten zien?

Alle andere gevallen zijn tot bovenstaande te herleiden.

d

Ga dat na.

4

$k_{α}$ de lijn door $O (0,0)$ met hellingshoek α. $m_{α}$ is de lijn door $A (4,0)$ met hellingshoek $α + \frac{1}{2} π$ .

a

Bepaal met GeoGebra de baan van het snijpunt $S$ van $k_{α}$ en $m_{α}$ als α toeneemt van $0$ tot $2 π$ .

Zeg dat $y = t x$ een vergelijking is van $k_{α}$ .

b

Stel een vergelijking op van $m_{α}$ .

c

Geef twee vergelijkingen voor het snijpunt $(x, y)$ van $k_{α}$ en $m_{α}$ en leid hieruit een vergelijking in $x$ en $y$ af waarin $t$ niet voorkomt.
Laat zien dat de baan een cirkel is. Wat is het middelpunt en wat is de straal?

5

In de volgende gevallen snijden de lijnen $k$ en $m$ elkaar onder een hoek die we $ϕ$ noemen.

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt en $\cos (ϕ)$ .

$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} ‐ 1 \\ 1 \end{array})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 1 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} ‐ 1 \\ 1 \end{array})$	en	$m : 2 x + y + 1 = 0$
$•$ $k : 2 x + 3 y = 31$	en	$m : 3 x - 4 y + 13 = 0$

6

Een punt $P$ is op tijdstip $t$ in $(6 + 2 t,3 - t)$ .

Bereken op drie verschillende manieren (zie opgave 40 en 41) exact op welk tijdstip $t$ het punt $P$ het dichtst bij de oorsprong $O$ is.

7

Gegeven zijn de lijnen $k$ en $m$ door $O$ met richtingsvectoren $\vec{v} = (\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix})$ . Verder is $\vec{y} = (\begin{array}{l} 0 \\ 9 \end{array})$ .

a

Neem de figuur over op roosterpapier en ontbind $\vec{y}$ langs de lijnen $k$ en $m$ .

Er zijn getallen $a$ en $b$ zó, dat $\vec{y} = a \cdot \vec{v} + b \cdot \vec{w}$ .

b

Bereken de getallen $a$ en $b$ exact.

Gegeven is $\vec{u} = (\begin{array}{l} 4 \\ 9 \end{array})$ . Er zijn getallen $p$ en $q$ zó, dat $\vec{u} = p \cdot \vec{v} + q \cdot \vec{w}$ .

c

Bereken $p$ en $q$ exact met behulp van het inproduct.

8

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $8 x - 15 y = 120$ .

De lijn snijdt de $x$ -as in $A$ en de $y$ -as in $B$ .

a

Bereken de coördinaten van $A$ en $B$ .

b

Bereken de oppervlakte van driehoek $O A B$ .

c

Bereken met behulp van het vorige onderdeel de afstand van $O$ tot $k$ .

d

Bereken de coördinaten van het punt op de $x$ -as dat ook op afstand $7 \frac{1}{17}$ van $k$ ligt.

Het punt $P$ ligt op de lijn $8 x + 15 y = 480$ en de oppervlakte van driehoek $P A B =$ oppervlakte driehoek $O A B$ .

e

Bereken de coördinaten van $P$ (twee mogelijkheden).

9

De lijnen $k : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ en $m : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 3 \end{matrix})$ snijden elkaar loodrecht.
Op de $x$ -as ligt een punt dat twee keer zo ver van $k$ als van $m$ ligt.

Bereken de coördinaten van dat punt exact.
Doe dat op twee manieren: met en zonder afstandsformule.

10

In het Kröller-Müller museum hangt het kunstwerk Hoe hoeker hoe platter van Ger van Elk, zie linker figuur.
Geïnspireerd hierdoor hebben we de volgende vragen.

In rechter figuur is $O$ de oorsprong, $A$ het punt $(9,0)$ en $B$ het punt $(0,9)$ . Er zijn tien hoeken getekend (inclusief die met hoekpunt $O$ en de gestrekte hoek $A B$ . De hoekpunten liggen regelmatig verdeeld tussen $O$ en het midden van $A B$ .

a

Bereken de grootte van de hoek bij het tweede verdeelpunt vanaf $O$ in graden nauwkeurig.
Gebruik het inproduct.

b

Bereken exact de coördinaten van het punt $P$ tussen $O$ en het midden van $A B$ waarvoor hoek $A P B = 120 °$ .

11

Gegeven zijn de punten $A (‐ 1,1)$ , $B (3, ‐ 1)$ , $C (‐ 3,0)$ en $D (6,3)$ .

a

Geef een pv van lijn $A B$ en een vergelijking van lijn $C D$ .

b

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen $A B$ en $C D$ exact.

c

Bereken de hoek tussen de lijnen $A B$ en $C D$ exact.

d

Kun je de hoek tussen de lijnen $A B$ en $C D$ ook op een elementaire manier berekenen?