1

a

$2 x - y + 2 t + 1 = 0$

b

-

c

Voor $t = x + y$ invullen in $2 x - y + 2 t + 1 = 0$ geeft:
$2 x - y + 2 (x + y) + 1 = 0 \Leftrightarrow 4 x + y + 1 = 0$

2

a

Op de lijn $y = 1$ .

b

Elimineer $t$ bijvoorbeeld als volgt:
Vul voor $t x = y$ in in $y = ‐ t x + 2$ , dit geeft: $y = ‐ y + 2 \Leftrightarrow y = 1$ .

c

Als $x = 1$ en $y = 1$ , dan $t = 1$ ,
als $x = 1$ en $y = 10$ , dan $t = \frac{1}{10}$ , dus je moet $t$ het interval $[\frac{1}{10},1]$ laten doorlopen.
Je kunt het snijpunt van de twee lijnen in $t$ uitdrukken. Je vult voor $y = t x$ in de vergelijking van $k$ in en je vindt: $x = \frac{1}{t}$ en $y = 1$ .

3

a

Als je bij $k_{t}$ voor $y = 0$ neemt, hangt de $x$ -waarde niet van $t$ af. Die is in alle gevallen $‐ 1$ , dus de lijnen $k_{t}$ gaan alle door $(‐ 1,0)$ .
Voor de lijnen $m_{t}$ moet je ook $y = 0$ nemen, je krijgt het punt $(1,0)$ .

b

-

c

$A$ is het punt waar alle lijnen $k_{t}$ doorheen gaan en $B$ is het punt waar alle lijnen $m_{t}$ doorheen gaan, dan is hoek $A S_{t} B$ recht voor alle waarden van $t$ , want het product van de richtingscoëfficiënten van $k_{t}$ en $m_{t}$ is $‐ 1$ . Dus liggen de punten $S_{t}$ op de cirkel met middellijn $A B$ (stelling van Thales).

d

Invullen in bijvoorbeeld de vergelijking van $k_{t}$ :
$\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} + t y + 1 = 0 \Leftrightarrow t y = - \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} - 1$ $= \frac{‐ t^{2} + 1 - t^{2} - 1}{t^{2} + 1}$ , dus $t y = \frac{‐ 2 t^{2}}{t^{2} + 1} \Leftrightarrow y = \frac{‐ 2 t}{t^{2} + 1}$ .
$x = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}$ en $y = \frac{‐ 2 t}{t^{2} + 1}$ invullen in de vergelijking van $m_{t}$ , klopt!

e

Er is geen waarde van $t$ waarvoor je het punt $(1,0)$ krijgt.

4

a

-

b

Middelpunt $A$ en straal $4$ : vergelijking ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 16$ .

c

$∠ O A S_{α} = 180 ° - 2 α$ , dus uit de hoeksom van driehoek $O A S_{α}$ volgt $∠ A S_{α} O$ $=$ α.

d

Omdat driehoek $O A S_{α}$ gelijkbenig is, volgt: $A S_{α} = 4$ voor elke waarde van $α$ , dus dat de afstand van $S_{α}$ tot $A$ steeds $4$ is.

5

a

-

b

Middelpunt $M (2,2)$ en straal $2 \sqrt{2}$ .

c

De driehoeken $O M A$ , $O M S$ en $S M A$ zijn gelijkbenig.
$∠ M S O = ∠ M O S$ $= 45 ° - α$ , dus (hoekensom in driehoek $M O S$ ): $∠ O M S = 90 ° + 2 α$ , dus $∠ A M S = 2 α$ , dus $∠ M A S = \frac{1}{2} (180 ° - 2 α) = 90 ° - α$ , (hoekensom in driehoek $M A S$ ).
Dus $∠ S A O = 45 ° + 90 ° - α$ en $∠ S A X = 45 ° + α$ .

6

a

-

b

Evenwijdig als $3 α - α$ een veelvoud van $180$ graden is, dus als α $= 0$ , $90$ , $180$ , $270$ graden.
Loodrecht op elkaar als $3 α - α$ gelijk is aan $90$ , $270$ , $450$ , ... graden.
Dus α $= 45$ , $135$ , $225$ , $315$ graden.

7

a

Van $k_{t}$ : $O (0,0)$ , van $m_{t}$ : $A (‐ 2,0)$ .

b

-

c

$y = p {(x + 1)}^{2} - 1$ , $O (0,0)$ op de parabool, dus $p = 1$ .

d

$x = t$ en $y = t^{2} + 2 t$ .
Als je dit in de vergelijkingen van $k_{t}$ en $m_{t}$ invult, klopt het.

e

Uit $y = t (x + 2)$ en $y = (t + 2) x$ volgt $t = x$ . Dit invullen in bijvoorbeeld $y = t (x + 2)$ geeft: $y = x (x + 2)$ .