Bewegingen

In dit hoofdstuk houden we ons bezig met bewegingen.
We beginnen met wat voorbeelden.

Planeetbanen zijn uitvoerig bestudeerd door Johannes Kepler met behulp van talloze waarnemingen van onder andere Tycho Brahe. Hij formuleerde wetten waaraan de beweging van een planeet voldoet. Zo ontdekte hij dat de planeten over ellipsvormige banen om de zon bewegen.

Een fiets rijdt. We volgen het ventiel van een van de wielen. Het verplaatst zich in de rijrichting en maakt gelijktijdig een cirkelbeweging. Het ventiel beschrijft een kromme baan: een cycloïde. Hieronder staat (een deel van) de cycloïde. De dikte van de band is verwaarloosd. De afmetingen zijn in cm.
Met de applet cycloïde zie je hoe de cycloïde ontstaat.

Wat is de diameter van de band?

De periode van de beweging is ongeveer $250$ cm.

Geef de lengte van de periode exact (met π) en ook in één decimaal nauwkeurig.

De fiets heeft een snelheid van $36$ km/u.

Bepaal de tijd waarin een periode doorlopen wordt.

Spiralen

Als je een wenteltrap op loopt, maak je een spiraalbeweging.
Hieronder zie je een dubbelspiraaltrap, in 1932 als nieuwe toegang tot het Vaticaans Museum gebouwd.

Erwin Gatz, Roma Christiana

aanzicht spiraal
Albrecht Dürer

Albrecht Dürer (1471-1528) was behalve schilder ook wiskundige. Geïnspireerd door de Italiaanse renaissancisten, behandelde Dürer diverse meetkundige problemen in Unterweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525). Hieruit komt nevenstaande aanzicht van een spiraal. In dit werk vind je ook hoe je regelmatige veelvlakken uit papier kunt vouwen.

In elk van de bewegingen die we hiervoor bekeken hebben speelt de cirkelbeweging een rol. Die nemen we in het volgende onder de loep.

Op de kermis staat een reuzenrad. Als het goed op gang is, draait het regelmatig één keer per minuut rond (linksom).
We volgen gondel $A$ . De hoogte van de gondel boven de grond varieert van $1$ tot $21$ meter. Op een zeker ogenblik is gondel $A$ $11$ meter hoog; dat tijdstip is $t = 0$ , zie figuur 1.
Hij gaat dan omhoog. Zijn hoogte $t$ seconden later noemen we $H (t)$ (meter). We nemen $0 \leq t \leq 120$ .

Voor welke $t$ geldt: $H (t) = 1$ ?

Wat is de gemiddelde hoogte van de gondel?
Op welke tijdstippen wordt die bereikt?

Maak een schets van de grafiek van $H$ .

Het is mogelijk heel precies te berekenen hoe hoog gondel $A$ is op een gegeven tijdstip. In figuur 2 staat een rechthoekige driehoek; $A$ is de plaats van de gondel op $t = 10$ , $M$ is het middelpunt van het rad. Van deze driehoek weet je een zijde en kun je hoek α berekenen.

Bereken $H (10)$ in drie decimalen.

Bereken $H (35)$ .

Bekijk een ‘spaak’ van het rad.

Over hoeveel graden per seconde draait een spaak?
We noemen dit de hoeksnelheid waarmee het rad ronddraait (in graden per seconde).

Bekijk een punt op de rand van het rad (bijvoorbeeld $A$ ).

Bereken exact hoe snel (in m/s) dit punt ronddraait.

De grafiek van $H$ uit opgave 2 op het interval $[60,120]$ is een herhaling van de grafiek van $H$ op $[0,60]$ ; preciezer gezegd: $H (t + 60) = H (t)$ , voor alle waarden van $t$ . Er is geen korter tijdsinterval waarin herhaling optreedt. We zeggen: de functie $H$ is een periodieke functie met periode $60$ .

Hieronder staat de grafiek van een periodieke functie $f$ .

Wat is de periode?

Bepaal $f (100)$ en $f (‐ 100)$ .

We bekijken de beweging van een kogeltje over de eenheidscirkel, dat is de cirkel met middelpunt $O (0,0)$ en straal $1$ . De hoeksnelheid van het kogeltje is $1 °$ /s (graad per seconde). De hoogte van het kogeltje boven de $x$ -as noemen we $h (t)$ , $t$ in seconden. Op $t = 0$ is het kogeltje in $(1,0)$ . De draairichting is positief, dat wil zeggen tegen de wijzers van de klok in.
We bekijken $h (t)$ voor $‐ 360 \leq t \leq 360$ .

We verdelen de cirkel in twaalf even lange stukken, zie figuur 2. Bij elk verdeelpunt horen twee tijdstippen $t$ uit het interval $[‐ 360,360]$ . (Bij het punt $(1,0)$ horen er drie.)

Neem de figuur over en schrijf bij elk verdeelpunt de juiste tijdstippen.

Bereken bij elk tijdstip de exacte hoogte. De tabel hieronder met exacte waarden kan je van pas komen.

Teken de grafiek van $h$ .

In de vierde klas ben je de functie $h$ ook tegen gekomen:
$\sin (t °)$ is hetzelfde als $h (t)$ .

Controleer enkele antwoorden van onderdeel b met de GR. Zet hem daarvoor in de stand 'Degree'.

Teken de grafiek van de functie $h$ op de GR.

$h (t)$ is de $y$ -coördinaat van het kogeltje op tijdstip $t$ .
We kunnen ook de $x$ -coördinaat van het kogeltje op tijdstip $t$ bekijken. In het hierboven genoemde hoofdstuk hebben we die $\cos (t °)$ genoemd.

Bereken $\cos (t °)$ bij de waarden van $t$ uit a. Geef de exacte waarden.

Teken de grafiek van de functie $b (t) = \cos (t °)$ op het interval $[‐ 360,360]$ .

Controleer je grafiek met de GR.

Een kogeltje beweegt met constante snelheid over een cirkel. Er is een verband tussen de snelheid waarmee dat kogeltje ronddraait, de straal van de cirkel en de hoeksnelheid van het kogeltje.
Neem aan dat de hoeksnelheid van het kogeltje $30 °$ /s is.

Wat is de snelheid van het kogeltje (in m/s) als de straal van de cirkel $1$ m is? Laat π in je antwoord staan.
En als de straal $3$ m is?
Wat is de straal van de cirkel als het kogeltje met een snelheid van $2 π$ m/s beweegt?

Wat is de hoeksnelheid van een kogeltje dat met snelheid $6$ m/s over een cirkel met straal $1$ m beweegt? Laat $π$ in je antwoord staan.

In een boekje over de molen van Oirsbeek staat het volgende.
De snelheid van de wiekuiteinden kan oplopen tot $120$ km per uur. Dit betekent dat elke halve seconde een wiek voorbij zoeft.

Hoe lang zijn de wieken van de molen?

Een Engelsman geeft zijn lengte in "inch", een Nederlander in “centimeter". Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we tot nu toe gebruikt hebben is de graad, (Degree op de GR). Een middelpuntshoek van $1 °$ hoort bij een cirkelboogje dat gelijk is aan het $360$ -ste deel van de cirkelomtrek. Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten. De verdeling van de cirkelomtrek in $360$ delen is afkomstig van de Mesopotamiërs.

Een andere manier om de grootte van een hoek te geven is: meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden als je het hoekpunt in het middelpunt legt. Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek in radialen, afgekort rad.

Een middelpuntshoek van $1$ rad hoort bij een cirkelboog die precies even lang is als de straal van de cirkel.

De standaardcirkelbeweging

Een kogeltje beweegt met een hoeksnelheid van $1$ rad/s.

Hoelang duurt één rondje? Laat π in je antwoord staan.

Welke hoek is groter: een hoek van $60 °$ of een hoek van $1$ rad?

Wat is de snelheid waarmee het kogeltje over de cirkel beweegt als de straal van die cirkel $1$ is?
En als de straal $r$ is?

Neem de omrekeningstabel over en vul in.

Opmerking:

Met de applet graden_radialen kun je het verband tussen graden en radialen nog eens goed bekijken.

Voor het in je hoofd omrekenen is het volgende handig.
Een gestrekte hoek is:

gemeten in graden: $180 °$ ;
gemeten in radialen: $π$ rad.

$180 °$ komt overeen met $π$ radialen.

Opmerking:

Als we $\sin (t)$ zonder eenheid opschrijven bedoelen we: $\sin (t rad)$ .

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging, dat wil zeggen:

het beweegt over de eenheidscirkel met hoeksnelheid $1$ rad/s in positieve richting,
op $t = 0$ is het in $(1,0)$ .

Hoelang duurt één rondje?

Met welke snelheid beweegt het kogeltje?

Ga na dat de $x$ -coördinaat op tijdstip $t$ gelijk is aan $\cos (t)$ en de $y$ -coördinaat gelijk aan $\sin (t)$ .

De grafieken van $x (t) = \cos (t)$ en $y (t) = \sin (t)$ verschillen weinig van de grafieken die je in opgave 4 hebt getekend.

Wat is het verschil?

Wat is de periode van de functies?

Je kunt de grafieken met de GR tekenen.

Doe dat. Zorg dat de GR in de stand Radian staat.

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Op tijdstip $t$ is het punt dan gedraaid over een hoek van $t$ radialen.

$\sin (t) =$	de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip $t$ ;
$\cos (t) =$	de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip $t$ .

Hieronder zie je de grafiek van de functie sinus en cosinus.
Door de invoer zoals gewoonlijk $x$ te noemen in plaats van $t$ , kunnen we die functies zó noteren: $y = \sin (x)$ en $y = \cos (x)$ .

Opmerking:

De grafiek van de functie sinus is een voorbeeld van een ideale golf. Andere ideale golven, zoals bijvoorbeeld de grafiek uit opgave 2, kunnen met behulp van de functie sinus beschreven worden. Dergelijke grafieken noemen we sinusoïden. Het aanzicht van een spiraal (zie de tekening van Dürer) is een sinusoïde. In de applet sinus en cosinus kun je mooi zien hoe de grafieken van sin en cos uit de cirkelbeweging ontstaan.

Hoe verandert de grafiek van $y = \sin (x)$ als je de hoeksnelheid van het kogeltje halveert?
Welke formule hoort bij die grafiek?
Controleer je formule op de GR.

Hoe verandert de grafiek van $y = \sin (x)$ als je het kogeltje niet over de eenheidscirkel laat lopen, maar de straal half zo groot neemt (de hoeksnelheid is $1$ rad/s)?
Welke formule hoort bij die grafiek?
Controleer je formule op de GR.

Een kogeltje dat de standaardcirkelbeweging maakt, bevindt zich op tijdstip $t$ in het punt $(\cos (t), \sin (t))$ .
We schrijven dit vaak als: ${\begin{cases} x (t) = \cos (t) \\ y (t) = \sin (t) \end{cases}$ of korter ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = \sin (t) \end{cases}$ .
We noemen dit: de bewegingsvergelijkingen van het kogeltje, ook wel een parametervoorstelling van de baan die het kogeltje beschrijft: de coördinaten van de plaats van het kogeltje zijn functies van de parameter $t$ .
Zoek uit hoe je de standaardcirkelbeweging op je GR kunt maken.
Zorg dat de GR in de stand Radian staat.

Teken de standaardcirkelbeweging op de GR. Zorg voor een vierkant scherm. Let op de waarden van de parameter in het WINDOW-menu.

Als je de waarde van de parameter laat lopen van $0$ tot $2 π$ , krijg je precies één volle cirkelbeweging.
De GR berekent een aantal punten van de cirkel. Dit aantal hangt af van stapgrootte die je voor de parameter gekozen hebt. Vervolgens worden deze punten met elkaar verbonden door rechte lijntjes. Als je de stapgrootte te groot maakt, krijg je geen vloeiende cirkel op het scherm.

Probeer de stapgrootte en het interval voor de parameter zó in te stellen dat je een vijfpuntige ster krijgt zoals in de figuur.

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de vijfpuntige ster die op de cirkel liggen (in drie decimalen).

Cirkelbewegingen

In de volgende opgaven experimenteren we wat met cirkelbewegingen.

We veranderen de standaardcirkelbeweging op één punt: het kogeltje moet met de wijzers van de klok meedraaien.

Hoe moet je de $x (t)$ en $y (t)$ veranderen?

Controleer met de GR of je veranderingen goed zijn.

Schets de grafiek van $y$ . ( $y (t)$ op de verticale en $t$ op de horizontale as).
Hoe ontstaat de grafiek van $y$ uit de grafiek van de functie sinus?

We veranderen de standaardcirkelbeweging: de baan van het kogeltje moet een cirkel met straal $2$ worden. De omlooptijd van een rondje blijft $2 π$ . Het startpunt (dat wil zeggen de plaats op $t = 0$ ) is $(2,0)$ .

Hoe moet je $x (t)$ en $y (t)$ veranderen?

Controleer met de GR of het klopt.

Schets de grafiek van $y$ .
Hoe ontstaat de grafiek van $y$ uit de grafiek van de functie sin?

We bekijken de beweging met parametervoorstelling ${\begin{cases} x = \cos (3 t) \\ y = \sin (3 t) \end{cases}$ .

Hoe ziet de baan eruit? (Probeer het antwoord te geven zonder GR te gebruiken.)

Wat is de hoeksnelheid?

Wat is het startpunt?

$y = \sin (3 t)$ .

Hoe ontstaat de grafiek van deze functie uit de grafiek van de functie $y = \sin (t)$ ?

Het kogeltje beweegt weer over de eenheidscirkel met een hoeksnelheid van $1$ rad/s, in positieve zin, maar is overal één seconde later, dan bij de standaardcirkelbeweging het geval is.

Geef de bijbehorende parametervoorstelling.

(hint)

Als

t = 1

, dan is het kogeltje in

(\cos (0), \sin (0))

, als

t = 2

, dan is het kogeltje in

(\cos (1), \sin (1))

, als

t = 7

, dan is het kogeltje in

(\cos (6), \sin (6))

, ... .

Controleer je antwoord met de GR.

Schets de grafiek van $y = \sin (t - 1)$ .
Hoe krijg de grafiek van deze functie uit de grafiek van de functie sinus?

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. We verplaatsen de cirkel: het middelpunt wordt $(2,3)$ . Het startpunt is dan $(3,3)$ ; de hoeksnelheid blijft $1$ rad/s.

Geef de bijbehorende parametervoorstelling.

Controleer je antwoord met de GR.

Schets de grafiek van $y = 3 + \sin (t)$ .
Hoe ontstaat de grafiek van deze functie uit de grafiek van de functie $y = \sin (t)$ ?

Bekijk de cirkelbewegingen geparametriseerd door: ${\begin{cases} x = 2 \cos (3 t) - 1 \\ y = 2 \sin (3 t) + 4 \end{cases}$ en ${\begin{cases} x = 2 \cos (3 t + \frac{2}{3} π) - 1 \\ y = 2 \sin (3 t + \frac{2}{3} π) + 4 \end{cases}$ .

Geef van beide bewegingen het middelpunt en de straal van de baan en de hoeksnelheid waarmee de baan doorlopen wordt.
Controleer je antwoorden met de GR.

Beide bewegingen gaan over dezelfde cirkel, met dezelfde hoeksnelheid.

Teken die cirkel en geef daarop aan waar de bewegingen beginnen (dus zijn op $t = 0$ ).

Opmerking:

De tweede beweging in opgave 18 loopt steeds een boog van $\frac{2}{3} π$ radialen ( $120 °$ ) vóór op de eerste beweging.
We zeggen: de fasehoek bij de tweede beweging is $\frac{2}{3} π$ radialen (ten opzichte van de eerste beweging).
De fasehoek bij de eerste beweging is $0$ radialen.

We bekijken de volgende bewegingen.

Het startpunt is de plaats waar het kogeltje is op $t = 0$ .

Bepaal bij elke beweging de fasehoek.

Maak elk van de bovenstaande cirkelbewegingen op de GR.

$ω$ , $r$ , $ϕ$ , $a$ en $b$ zijn getallen, $ω \neq 0$ , $r > 0$ .
Dan zijn: ${\begin{cases} x = a + r \cdot \cos (ω t + ϕ) \\ y = b + r \cdot \sin (ω t + ϕ) \end{cases}$
de bewegingsvergelijkingen van een kogeltje over de cirkel met straal $r$ en middelpunt $(a, b)$ .
De hoeksnelheid is $ω$ .
De fasehoek is $ϕ$ .

Een punt heeft coördinaten $(a, b)$ .

Wat zijn de coördinaten van het spiegelbeeld van dat punt in de lijn met vergelijking $y = x$ ?

Bekijk de beweging met parametervoorstelling ${\begin{cases} x = \sin (t) \\ y = \cos (t) \end{cases}$ .
De baan is de eenheidscirkel.

Bepaal met behulp van a het startpunt, de richting en de hoeksnelheid.

Wat zijn de waarden van $ω$ , $r$ , $ϕ$ , $a$ , en $b$ die bij deze beweging horen?

Volgens c moet gelden: $\sin (t) = \cos (\frac{1}{2} π - t)$ en $\cos (t) = \sin (\frac{1}{2} π - t)$ .

Controleer dat met de GR door de grafieken van de functies $x (t) = \cos (\frac{1}{2} π - t)$ en $y (t) = \sin (\frac{1}{2} π - t)$ te tekenen.

Voor alle waarden van $t$ geldt:
$\sin (t) = \cos (\frac{1}{2} π - t)$ en $\cos (t) = \sin (\frac{1}{2} π - t)$ .

Het equivalent voor deze formules voor hoeken uitgedrukt in graden is:
$\sin (α) = \cos (90 ° - α)$ en $\cos (α) = \sin (90 ° - α)$ .

Hoe kun je deze formules controleren in een rechthoekige driehoek voor $0 ° < α < 90 °$ ?

Geef de bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van een secondewijzer die lengte $2$ heeft en als draaipunt de oorsprong. Kies als startpunt $(0,2)$ en reken de tijd in seconden.

Bekijk de volgende bewegingen. Probeer de baan te beschrijven en controleer je antwoord met de GR.
Verklaar het resultaat.

${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = 2 \sin (t) \end{cases}$

${\begin{cases} x = 2 \cos (t) \\ y = 2 \cos (t) \end{cases}$

Opmerking:

Je moet de exacte waarden van sinus en cosinus van de bijzondere hoeken goed kennen.
En straks ook van de tangens, waarbij voor elke hoek $α$ geldt $\tan (α) = \frac{\sin (α)}{\cos (α)}$ .
Dit kun je op een speelse oefenen met de mini-loco 'sin, cos en tan exact' . Je krijgt telkens andere hoeken, dus speel het meerdere keren.